“几何直观”在小学数学计算教学的运用与研究海盐县六里小学 吴 国【内容摘要】在以往的计算教学中，我们在课堂上常常将重点放在学生对算法的掌握上，以培养学生数学学习的基本技能；而对于算理的教学则相对弱化。

而现在我们老师已经认识到算理的重要作用，也重视算理的教学，但又面临这样的困惑：算理对学生而言，常常很抽象、深奥、费解，这给学生理解和教师的教学带来诸多挑战，教学中怎样有效落实？有没有办法让算理更形象化，直观化，具体化？笔者提出用几何直观帮助学生理解算理，本文通过借助几何直观，帮助理解数量关系、借助几何直观，帮助建立数学模型、借助几何直观，发现算式间的关系等三方面来阐述如何借助几何直观理解算理。

【关键词】 几何直观 计算教学 算理在上学期有上级教育主管部门进行期末教学质量的检测中，三年级期末检测卷上出现了这样一道题（图1）：图1 检测后，笔者随后对自己班35名学生的答题情况进行了谈话统计，结果如下：学中常常存在这样的现象：1．老师在课堂上常常将重点放在学生对算法的掌握上，力求学生熟练掌握计算方法，达到一定的计算速度和准确度，以培养学生数学学习的基本技能；而对于算理的教学则相对弱化。

2．我们老师已经认识到算理的重要作用，也重视算理的教学，但又面临这样的困惑：算理对学生而言，常常很抽象、深奥、费解，课堂教学中怎样才能有效落实？那么，在计算教学中，我们该如何站在学生的视角，根据学生的思维特点，为学生理解抽象的算理提供一个形象的载体？怎样在算理和算法之间架起一座直通的、有效的桥梁？笔者通过对新课标的认真研读，认为在计算教学时教师不妨将几何直观落实到位，发挥几何直观对理解算理的作用。

新课标的论述是“几何直观主要是指利用图形描述和表示（ ） 表示（ ） 1 3× 2 5 6 5 6%分析问题。

借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。

几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。

”这句话清晰的表明了我们可以利用几何直观描述分析问题，把复杂的数学问题变得简明、形象，借助几何直观探索解决问题的思路。

所以，几何直观可以帮助我们有效的理解计算的算理。

《数学课程标准（2011年版）》在第二学段的“数学思考”目标中明确提出了让学生“感受几何直观的作用”的要求，这就突出强调了几何直观在学生建立数学概念、理解数学算理过程中的地位和作用。

那么如何发挥几何直观对理解算理的作用呢？笔者通过实践研究，认为可从以下几方面实施：一、借助几何直观，帮助理解数量关系数学是研究数量关系、空间形式及其关系的学科，通过数形结合的方法研究问题，可以让数量关系与图形的性质的问题很好地转化。

1.借助图形, 理解数量关系借助于图形直观，能启迪思路，为学生创造了一个自己主动思考的机会，体验和感受数学发现的过程。

【片断】《乘法的初步认识》（出示图2）图2师：每行画几个，画几行。

列式算算一共画了几个生1：每行画了5个，画了5行，算式是5+5+5=15生2：还可以列乘法算式：5×3=15……师：像这样的一副图，它的排列很整齐，像这样的称为行，每一行有5个圆，有这样的3行，我们就说是3个5，加法算式：5+5+5=15，乘法算式：3×5=15，这样的称为列，每一列有3个圆，有这样的5列，就是5个3，加法算式：3+3+3+3+3=15，乘法算式：5×3=12师：同一幅图通过不同的角度看到了不同的几个几，这里3×5=15，5×3=12上述片段，借助学生生熟悉的几何直观图，形象地展示乘法的意义，使抽象的乘法算式让学生真实地看到了，还有什么疑惑可言？正如《标准》所述“借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象…..帮助学生理解数学”。

同时，可以用这些简单的图形帮助学生更清楚的理解乘法算式中各部分的数量关系。

2.借助操作，感知数量关系数学教学中的操作，不是为了操作而操作。

具体的操作活动和背后的数学知识密切联系在一起，因此，要善于利用操作，帮助学生实现数学知识由表面到深层的理解，发展思维能力。

【片断】《有余数除法》：师：如果我们拿刚才的11们先在脑子里搭一搭，再动手画一画，看看和脑子里想的是不是一样？然后用算式表示出来。

生1÷3=3 (2)生2÷5=2 (1)师：如果我们继续拿12根、13根、14根、15几根呢？请你们先在脑子里搭一搭，再用算式表示出来。

（生独立活动，交流反馈）师：如果我们来搭三角形，余下的根数可能比3多吗？搭五边形呢？你发现了什么？（生自由说，讨论得出余数必须比除数小。

）在这里，通过动手操作丰富了学生的活动经验，使动手操作之后的表征真正成为学生积极参与数学活动、形成数学形式化的有效中介，使他们更好地理解余数比除数小的关系。

3.借助画图，建立数量关系通过画图能直观地显示题意，有条理地表示数量，便于发现数量之间的关系，从而形成解题的思路。

恰当选用线段图、示意图、集合图等等，可以帮助学生找到解题的方法。

在数学学习时，应该帮助学生从小养成一种用直观的图形语言，刻画、思考问题习惯。

【片断】《求一个数的几分之几是多少》出示算式：15 ×14师：请同学通过画图的方法来表示上述这个算式所表示的意思。

（交流：展示并讲评学生成果图3。

）图3上述案例中，通过让学生画图，使学生很快发现了求一个数的几分之几是多少的数量关系，以及如何解题的方法。

二、借助几何直观，帮助建立数学模型数学知识就像是一张纵横交错的网，每个知识点都是一个节点，一条条知识链连接起了一个个的节点，从而形成了一张密密的“知识网”。

通过几何直观我可以让这些“知识网”形成一个固定的数学模型，从而帮助学生掌握计算方法。

【片断】《笔算乘法》出示6个运动员训练后羽毛球的个数（图4）：图 4 学生提出问题：“训练后一共剩下多少个？”师：你准备怎么解答？ 生：先算赵、孙、钱共有几个，算式是12×3；再算王、陈、张共有几个，算式是21×3。

师：对于21×3你是怎么算出来的？写在草稿本上。

生展示不同的算法：①21+21+21=63；②20×3=60,1×3=3,60+3=63；③竖式计算，如下：（请学生介绍竖式） 师：“3”是怎么来的？为什么写在个位上？“6”是怎么来的？为什么写在十位上？知道每个数表示的意义吗?(生回答)师：“3”在横式中、在图中分别表示哪个部分？“6”在横式中、在图中分别表示哪个部分？(根据学生回答逐步出示图5)王芳（21） 陈圆（21） 张晴（21）图5上述片段中，教师通过几何直观建立起了横式、竖式之间的数学模型，使学生的认识和思维融会贯通，这样重要且恰到好处的穿梭联系，能触及知识各部分之间的联系，对学生而言，不可或缺。

三、借助几何直观，发现算式间的关系对算式的理解本来是比较抽象的，算式间的关系就更是抽象中的抽象了。

所以在小学里，学生能计算、能知道算式的意思已经是很不错的，算式间的关系我们几乎不敢恭维。

可是，在用几何直观来教学计算后，竟然会有惊喜出现。

1.变化对比，凸显结构赵阳 孙虹（12）（12） 王芳 陈圆 （21） （21） 钱凡 张晴（12） （21） 2 1× 3 2 1 × 3 6 3 20 × 3 = 60 1 × 3 = 3【片断】《乘法分配律》师：（出示图6）谁会列综合算式求出一共摆了多少块？生回答，得到两个算式“3×5+4×5”和“（3+4）×5”。

师：分别说说这两种方法先求什么，再求什么？生：第一种是白方块和灰方块分开算，然后再求一共多少块。

（根据回答演示图7） 生：第二种是先求出一共有7行，再求一共多少块。

（根据回答演示图8）6图8师：你觉得这两个算式结果相同吗？为什么？生：相等，因为都是在算方块的总个数。

师总结：算式的形式不同但表示的意思相同，都是表示了7个5块。

左右相等，我们就可以用等号把两个算式连起来，连接成一组等式。

上述片段中通过几何直观的运用，唤醒了学生的生活经验，通过让学生用两种方法列式，发现了算式间的关系，得到了乘法分配律的研究雏形也，使学生理解规律的特定模型。

2.变化对比，辨析对错【片断】《小数乘法》在新授环节，我让学生计算1.3× 1.2，在汇报计算过程中，有学生提出了这样的方法： 1× 1+ 0.3× 0.2。

这时我出示如下图9：图9通过图中学生明白知道1× 1+ 0.3× 0.2是涂色部分，而1.3× 1.2是整个图形的面积，它们是不相等的。

这样学生对这类题目就不会再出错了。

3.变化对比，探索规律【片断】《怎样求几个数（后一个数是前一个数的12）的和》 我先出示：12 + 14 + 18 ，13 + 16 + 112 + 124 ，14 + 18 + 116 + 132。

让学生观察：上述三个算式有什么共同的特点？学生会发现后一个数是前一个数的12。

34总个数行方块总个数计算：12 +14+18？引导学生在一个正方形里表示出这个算式的意思？展示：选择典型的图进行展示，如右图。

观察：结合图观察算式与计算结果，你发现了什么规律？通过观察有人会说“求几个数（后一个数是前一个数的12）的和＝1－最后一个数”。

但马上有学生提出异议，13+16+112+124，按照刚才的方法计算结果是2324，用通分的方法计算结果是1524即58。

14+18+116+132，按照刚才的方法计算结果是3132，用通分的方法计算结果是1532。

我就引导学生画图：用图表示这两个算式的意思。

展示：选择两幅典型的图进行展示（如右图）。

思考：结合图认真思考，刚才的说法应该怎样进行修改？得出“求几个数（后一个数是前一个数的12）的和＝第一个数×2－最后一个数”。

请每个人先写一个类似的算式，再按照第二种方法进行计算，然后用通分和画图的方法进行验证……利用变化对比的方法，学生很快探索出了“怎样求几个数（后一个数是前一个数的12）的和”的规律。

4.变化对比，多元理解【片断】《小数除法》教师在课堂上让学生探索“5.1÷0.3”，当学生出现困难时（图10），教师为学生准备了三道提示题：温馨提示1：铅笔每支0.3元，小红有5.1元，她能买几支铅笔？温馨提示2：一条彩带长5.1米，如果每0.3米剪成一段，可以剪几段？温馨提示3：5.1里面有多少个0.3，你能圈圈看吗？（图11）图10 图11 图121 . 70. 35 . 1在老师的引导下，学生借助生活原型（提示1和提示2）为例进行了说明商应该为17，尔后，学生依靠在几何直观（提示3）上圈一圈（图12），对算理进行了解释：5.1里面有51个0.1, 0.3里面有3个0.1，看5.1里面有几个0.3，实际上就是算51里面有多少个3，结果为17。