【提示】 空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一
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个是距离． 2．在柱坐标系中，方程 ρ＝1 表示空间中的什么曲面？ 在球坐标系中，方程 r＝1 分别表示空间中的什么曲面？ 【提示】 ρ＝1 表示以 z 轴为中心，以 1 为半径的圆柱 面；球坐标系中，方程 r＝1 表示球心在原点的单位球面．
M 的直角坐标． 【解】 设 M 的直角坐标为(x，y，z)．
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5π 5π 3 x＝rsin φcos θ＝3sin cos ＝ ， 6 3 4 5π 5π 3 3 则y＝rsin φ sin θ＝3sin 6 sin 3 ＝－ 4 ， 5π 3 3 z＝rcos φ＝3cos 6 ＝－ 2 . 3 3 3 3 3 ∴点 M 的直角坐标为(4，－ 4 ，－ 2 )．
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y 又 tan θ＝ ＝1， x π ∴θ＝4. π 因此点 C 的柱坐标为( 2，4，0)．
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(2)由 r＝ x2＋y2＋z2＝ 12＋12＋0＝ 2. z ∴cos φ＝ ＝0， r π ∴φ＝ . 2
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一点到原点的距离和两个角刻画点的位置． (2)空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系都是空间坐标 系，空间点的坐标都是三个数值的有序数组.
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点的柱坐标与直角坐标互化
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(1)设点 M 的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标 系中的坐标． (2)设点 N 的柱坐标为(π，π，π)，求它的直角坐标．
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3．空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系的联系和区别
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有哪些？
【提示】 (1)柱坐标系和球坐标系都是以空间直角坐标 系为背景，柱坐标系中一点在平面 xOy 内的坐标是极坐标， 竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同；球坐标系中，则以
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将点的球坐标化为直角坐标
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3 3 已知点 M 的球坐标为(2，4π，4π)，求它的直角 坐标．
x＝rsin φcos θ，y＝rsin φ sin θ， 【思路探究】 球坐标 ――――――――――――――→ z＝rcos φ 直角坐标
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球坐标系(或空间极坐标系)． 有序数组(r，φ，θ)叫做点 P 的球坐标，记做 P(r，φ，θ)， 其中 r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π)．
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3．空间直角坐标与柱坐标的转化
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空间点 P(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为 x＝ρcos θ， y＝ρsin θ， z＝z . 4．空间直角坐标与球坐标的关系
求 ρ；
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y 也可以利用 ρ ＝x ＋y ，求 ρ.利用 tan θ＝ ，求 θ，在求 θ 的 x 时候特别注意角 θ 所在的象限，从而确定 θ 的取值． 2．点的柱坐标和直角坐标的竖坐标相同．
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根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标：
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π π 故点 C 的球坐标为( 2， ， )． 2 4
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柱坐标系、球坐标系的应用
π π 已知点 P1 的球坐标是 P1(2 3， ， )，P2 的柱 3 4 π 坐标是 P2( 6， ，1)，求|P1P2 |. 6
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x＝rsin φcos θ， 坐标为(r，φ，θ)，再利用变换公式y＝rsin φ sin θ， z＝rcos φ. θ，φ.
求出 r，
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y z 2．利用 r ＝x ＋y ＋z ，tan θ＝ ，cos φ＝ .特别注意由 x r
2 2 2 2
直角坐标求球坐标时，应首先看明白点所在的象限，准确取 值，才能无误．
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若本例中条件不变，求点 C 的柱坐标和球坐标． 【解】 易知 C 的直角坐标为(1,1,0)．
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设点 C 的柱坐标为(ρ，θ，0)，球坐标为(r，φ，θ)，其中 0≤φ≤π，0≤θ<2π. (1)由于 ρ＝ x2＋y2＝ 12＋12＝ 2.
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【思路探究】 (1)已知直角坐标系中的直角坐标化为柱 x＝ρcos θ， 坐标，利用公式y＝ρsin θ， z＝z，
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求出 ρ，θ 即可．
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(2) 已知柱坐标系中的柱坐标化为直角坐标，利用公式
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空间点 P(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换公式为
x＝rsin φcos θ， y＝rsin φ sin θ， z＝rcos φ
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.
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1．要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什 么限制？
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因此，点 N 的直角坐标为(－π，0，π)．
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1．由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点 x＝ρcos θ， M 的柱坐标为(ρ，θ，z)，代入变换公式 y＝ρsin θ， z＝z，
2 2 2
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空间点的直角坐标化为球坐标
已知长方体 ABCD － A1B1C1D1 中，底面正方形
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ABCD 的边长为 1，棱 AA1 的长为 2，如图 1－4－3 所示， 建立空间直角坐标系 Axyz，Ax 为极轴，求点 C1 的直角坐标 和球坐标．
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1．柱坐标系
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图 1－4－1 如图 1－4－1 所示， 建立空间直角坐标系 Oxyz. 设 P 是空 间 任 意 一 点 ． 它 在 Oxy 平 面 上 的 射 影 为 Q ， 用 (ρ ， θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标， 这时点 P 的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示．
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1．根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系， 首先要明确点的球坐标(r，φ，θ)中角 φ，θ 的边与数轴 Oz， Ox 的关系，注意各自的限定范围，即 0≤φ≤π， 0≤θ<2π. 2．化点的球坐标(r，φ，θ)为直角坐标(x，y，z)，需要运
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2．球坐标系
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图 1－4－2
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建立如图 1－4－2 所示的空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空 间任意一点，连接 OP，记 |OP|＝r，OP 与 Oz 轴正向所夹的 角为 φ.
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x＝ρcos θ， y＝ρsin θ， 求出 x，y，z 即可． z＝z， 【自主解答】 (1)设 M 的柱坐标为(ρ，θ，z)，
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1＝ρcos θ， 则由1＝ρsin θ， z＝1，
π 解之得，ρ＝ 2，θ＝4.
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π 因此，点 M 的柱坐标为( 2，4，1)．
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(2)设 N 的直角坐标为(x，y，z)， x＝ρcos θ， 则由y＝ρsin θ， z＝z， x＝－π， ∴y＝0， z＝π. x＝πcos π， 得y＝πsin π， z＝π，
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四
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柱坐标系与球坐标系简介
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课标 解读
1.了解柱坐标系、球坐标系的意 义，能用柱坐标系、球坐标系 刻画简单问题中的点的位置． 2．知道柱坐标、球坐标与空间 直角坐标的互化关系与公式， 并用于解题.
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图 1－4－3
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【思路探究】 先确定 C1 的直角坐标，再根据空间直角 坐标系与球坐标系的联系，计算球坐标． 【自主解答】 点 C1 的直角坐标为(1,1， 2)．
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设 C1 的球坐标为(r， φ， θ)， 其中 r≥0,0≤φ≤π， 0≤θ<2π， 由 x＝rsin φcos θ，y＝ rsin φ sin θ， z＝rcos φ， 得 r＝ x2＋y2＋z2＝ 12＋ 22＋12＝2.