目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)引言 (1)1.1确界存在定理的证明 (1)1.2 确界存在定理证明单调有界定理 (3)1.3单调有界定理证明区间套定理 (3)1.4 区间套定理证明有限覆盖定理 (4)1.5有限覆盖定理证明聚点定理 (4)1.6聚点定理证明致密性定理 (5)1.7致密性定理证明柯西收敛准则 (5)1.8柯西收敛准则证明确界存在定理 (6)致谢 (7)参考文献 (7)关于实数完备性相关定理等价性的研究数学与应用数学专业学生xxx指导教师 xxx摘要：实数集的完备性是实数集的一个基本特征，它是微积分学的坚实的理论基础。

可以从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性，因此有多个实数集的完备性基本定理。

与之相关的七个基本定理（确界存在定理、单调有界定理、区间套定理、致密性定理、聚点定理、闭区间有限覆盖定理以及柯西收敛准则）是彼此等价的。

本文主要是讨论证明这七个定理的等价性。

在这里我们首先论证确界存在定理，然后由此出发依次论证实数系的其它六个基本定理，并最终形成一个完美的论证“环”。

关键词：实数集完备性基本定理等价性证明Research about the equivalence theorems of completeness of realnumbersStudent majoring in Mathematics and Applied Mathematics .Bing LiuTutor Shixia LuanAbstract: Completeness of the set of real numbers is its basic character, and it is stable theory background of calculus. It can be described and depicted in different angles, so there are considerable fundamental theorems about it. Fundamental Theorems of seven related about completeness of the set of real numbers，which are existence theorem of supremum, monotone defined management,interval sequence theorem,Bolzano-Weierstrass theorem, convergence point theorem,Heine-Borel theorem and Cauchy convergence rule are Equivalent. This paper is to discuss the proof of the equivalence of the seven theorems. Here we first Prove the existence theorem of supremum, then prove the other correlative theorems based of existence theorem of supremum and form a ideal proof “loop”.Key words: set of real numbers，completeness，fundamental theorem，equivalence，proof.引言：我们知道实数的完备性在理论上有很大的价值，与之相关的七个基本定理从不同的角度描述了实数的基本性质。

并且这七个基本定理是相互等价的，在这里我们先证明出实数的确界存在定理，然后以此为基础顺次证明其他的六个定理最后再回到确界存在定理得到一个完美的“环”状结构的证明。

本文的论证结构为确界存在定理证明单调有界定理证明区间套定理证明有限覆盖定理证明聚点定理证明致密性定理证明柯西收敛准则证明确界存在定理。

1实数完备性相关定理的论证1.1确界存在定理的证明确界存在定理：有上（下）界的非空子集必有上（下）确界。

现证明有上界的非空实数集必有上确界。

证明：任意一个实数x 可以表示成[]()x=x x +，其中[]x 表示x 的整数部分，我们将（x ）表示成无限小数形式：()123x 0.,n a a a a = 其中12,,,n a a a 中的每一个数字都是0,1 ，，9，中的某一个，若（x ）是有限小数，则在后面接上无限个零。

这成为实数的无限小数表示。

注意无限小数()123p 0000p a a a a a ≠ 0.与无限小数()1230.1999p a a a a - 0.是相等的，为了保持表示的唯一性，我们约定在（x ）的无限小数表示中不出现后者。

这样，任何一个实数集合S 就可以由一个确定的无限小数表示：[](){}012301230.|,0.,.n n aa a a a a x a a a a x x S +==∈设数集S 有上界，则可令S 中元素的整数部分的最大者为0α，并记[]{}00S =x |x .x S α∈=并且显然0S 不是空集，并且对于任意x ∈S ，只要0x ∉S ，就有x<α，再考察数集0S 中的元素的无限小数表示中第一位小数的数字，令他们中的最大者为1α，并记{}101S x x S x α=∈并且第一位小数为。

显然1S 也不是空集，并且对于任意x S ∈，只要1,x S ∉就有010.x αα<+。

一般的，考察数集1n S -中的元素的无限小数表示中第n 位小数的数字，令它们中的最大者为n α，并记{}1n n n S x x S x n α-=∈并且的第位小数为。

显然n S 也不为空集，并且对于任意x S ∈,只要n x S ∉，就有0120.n x αααα<+ 。

不断的做下去，我们得到一列非空数集01n S S S S ⊃⊃⊃⊃⊃ ，和一列数012,,,,,n αααα ，满足{}0;0,1,2,,9,k Z k N αα+∈∈∈ 。

令012=+0.,n βαααα 下面我们分两步证明β就是S 的上确界。

（1） 设S ，则或者存在整数00n ≥，使得0n x S ∉，或者对任何整数0n ≥有n x S ∈. 若0n x S ∉，便有00120.n x ααααβ<+≤ ；若()n x S n N ∈∀∈，由S n 的定义并逐个比较x 与β的整数部分及每一位小数，即知x β=，所以对任意的x β=，有x β≤，即β是数集S 的上界。

(2)对于任意给定的0ε>，只要将自然数0n 取得充分大，便有110n ε<，取00n x S ∈，则β与0x 的整数部分及前0n 位的小数是相同的，所以00110n x βε-≤<，即任何小于β的数βε-不是数集S 的上界。

即β是数集S 的上确界。

同理可证非空有下界的数集必有下确界。

1.2 确界存在定理证明单调有界定理单调有界定理：间调有界实数列必有极限。

单调有界定理还可描述为：若{}n x ⊂R 是单调增加的有界数列，则必有极限，且lim sup{}n n n x x →∞=。

若{}n x ⊂R 是单调减少的有界数列，则必有极限，且lim inf{}n n n x x →∞=。

若{}n x ⊂R 是一单调增加的无界数列，则规定lim n n x →∞=+∞,否则若{}n x ⊂R 是一单调减少的无界数列，则规定lim n n x →∞= -∞,证明：设数列{}n x 是单调增加的，即12n x x x ≤≤≤≤ ，且∃M ，使得i x ≤M, i=1,2, 。

{}n x 是非空的有界实数集，由确界存在定理知，{}n x 有上确界，记为α：α=sup{}n n N x +⊂。

由上确界的等价定义1知，{}i i x x ∀∈，i=1,2, ,有i x α≤成立；并且对0ε∀>,∃N ，使得N x αε-<,故当n>N 时，由{}n x 的单增性知：N n x x αε-<≤，∴N n x x αε-<≤ααε≤<+，即n x αε-<，由极限的定义得：lim n n x α→∞==sup{}n n N x +⊂。

若{}n x 是单调下降的，可用上面类似的方法证明。

1.3单调有界定理证明区间套定理区间套定理：设[,]n n a b ，n=1,2, 是一列有界闭区间，满足(Ⅰ)n N ∀⊂,都有11n n n n a a b b ++≤<<,即11[,][,]n n n n a b a b ++⊂；(Ⅱ) lim()0n n n b a →∞-=，则|ξ∃,R ⊂使得lim lim n n n n b a ξ→∞→∞==，且ξ是一切闭区间的惟一公共点：1[,]{}n n i a b ξ∞== 。

证明：由条件(Ⅰ)知：数列{}n a 是单调增加且有上界1b (实际上，i b (i N +∈)都是{}n a 的上界).同理也可知数列{}n b 是单调减小且有下界1a (其实，i b (i N +∈也都是{}n b 的下界)。

由上述的单调有界定理得，数列{}n a 与{}n b 都收敛，设lim n n a ξ→∞=，由条件(Ⅱ)知lim lim()n n n n n n b b a a →∞→∞=-+=lim()lim n n n n n b a a →∞→∞-+=0+ξ=ξ，且有sup {}n a =ξ=inf {}n b ，∴n n a b ξ≤≤，n=1,2, ，即ξ属于所有的闭区间[,]n n a b 。

若ζ∃也属于所有的闭区间[,]n n a b ，则同样可得：n n a b ζ≤≤，n=1,2, ，当n →∞时，由极限的夹逼性得，lim lim n n n n b a ζξ→∞→∞===，由此即说明了区间套的公共点是惟一的。

1.4 区间套定理证明有限覆盖定理有限覆盖定理：设H 为闭区间[,]a b 的一个（无限）开覆盖，则从H 中可选出有限个开区间来覆盖[,]a b 。

证明：（反证法）假设定理的结论不成立，即不能用H 中有限个开区间来覆盖[,]a b ,将[,]a b 等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖，记这个子区间为[]11,a b , 则[]11,[,]a b a b ⊂且()1112b a b a -=-.再将[]11,a b 等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖，记这个子区间为[]22,a b ,则[]2211,[,]a b a b ⊂且()22212b a b a -=-． 重复上述步骤并不断进行下去，则得到一个闭区间列[]{},n n a b ,它满足[][]11,,,1,2,3,n n n n a b a b n ++⊃=02n n n b ab a --=→ ()n →∞ 即[]{},n n a b 是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H 中有限个开区间来覆盖。