W Tp 1.510π6D1N 3 mm51MPa
16
D13161π.5 5110M 6P N amm53.1mm
2、在两轴长度相等、材料相同的情况下， 两轴重量之比等于两轴横截面面积之比，即：
A空 A实
π(D2 d2) 4
π4D12
902 852 53.12
0.31
讨论：由此题结果表明，在其它条件相同的情况 下，空心轴的重量只是实心轴重量的31%，其节 省材料是非常明显的。
例题7.1 图示传动轴，转速 n300r min，A轮为
主动轮，输入功率 NA10 kW，B、C、D为从动 轮，输出功率分别为
NB4.5 kW， NC3.5 kW
ND2.0 kW，试求各段扭矩。
解：1、计算外力偶矩
M e A 9 5 4 9 N n A 9 5 4 9 3 0 1 0 0rk W m in 3 1 8 .3N m
制成，外径 D90 mm ，壁厚 2.5 mm ，
工作时的最大扭矩 T1.5Nm，
若材料的许用切应力 60 MPa，
试校核该轴的强度。
解：1、计算抗扭截面系数 主传动轴的内外径之比
d9022.50.944
D 90
抗扭截面系数为
W p 1 D 6 3 ( 1 4 ) 1 ( 6 9 0 ) 3 ( 1 0 .9 4 4 4 )m m 3 2 9 5 1 0 2 m m 3
7.5 等直圆轴扭转时的变形及刚度条件
7.5.1 圆轴扭转时的变形
轴的扭转变形用两横截面的相对扭转角：
d T dx GIp
d T dx GIp
当扭矩为常数，且 G
I
也为常量时，
p
相距长度为l的两横截面相对扭转角为
d T dx Tl
l
l GIp
GIp
rad
式中 G I p 称为圆轴扭转刚度， 它表示轴抵抗扭转变形的能力。
WP
IP D432D3
D/2
D 2
16
空心圆极惯性矩轴：
IP AA 2 d A 2d 2 D 23 d 3 2 (D 4 d 4 )3 D 2 4( 1 4 )
式中 d 为空心圆轴内外径之比。
D
空心圆的抗扭截面系数 WPDIP /21D 63(14)
极惯性矩的量纲是长度的四次方， 常用的单位为mm4 抗扭截面系数的量纲是长度的三次方， 常用单位为mm3
T Ip
得到圆轴扭转横截面上 任意点切应力公式
当 R 时，表示圆截面边缘处的切应力最大
max
T Ip
T Wp
R
式中 W p 称为抗扭截面系数。
它是与截面形状和尺寸有关的量。
7.3.2 极惯性矩和抗扭截面系数
实心圆截面的极惯性矩：
IPA
A 2d A2
D 2 0
3d
D 4 3 2
抗扭截面系数为：
2、分段计算扭矩，分别为
T 1M eB143.2N m （图c） T2M eBM eA 143.2N m -318.3N m -175N m（图d） T 3 M eD 6 3 .7N m （图e）
T 2 ，T 3 为负值说明实际方向与假设的相反。
3、作扭矩图 T 175Nm
max
7.3 等直圆轴扭转时横截面上的切应力
对一般传动轴
0.5 (o) m ~1.0(o) m
对于精密机器的轴
0.15 (o) m ~0.30(o) m
7.3.1 实心圆轴横截面上的应力 1、变形几何关系
⑴ 变形后，圆轴上所有的横截面均保持为平面， 即平面假设；
⑵ 横截面上的半径仍保持为直线； ⑶ 各横截面的间距保持不变。
d
dx
2、物理关系
G
G
Gd
dx
3、静力学关系
A dA T
Gd 2dAT dx A
A2dA Ip 称截面的极惯性矩
d T dx GIp
相对扭转角的正负号由扭矩的正负号确定， 即正扭矩产生正扭转角，负扭矩产生负扭转角。 若两横截面之间T有变化，或极惯性矩变化，亦 或材料不同（切变模量G变化），则应通过积分 或分段计算出各段的扭转角，然后代数相加，即：
n
Tili
i1 G i I pi
对于受扭转圆轴的刚度通常用相对扭转角沿杆
长度的变化率用 表示，称为单位长度扭转角。
建筑力学课件8
7.2 圆轴扭转时横截面上的内力及扭矩图 7.2.1 扭矩 平衡条件
M x 0
T Me
内力偶矩T称为扭矩
扭矩的单位：
N m 或 kNm
扭矩的正负号规定为：自截面的外法线向截面看， 逆时针转向为正，顺时针转向为负
扭矩图
常用与轴线平行的x坐标表示横截面的位置，以与 之垂直的坐标表示相应横截面的扭矩，把计算结果 按比例绘在图上，正值扭矩画在x轴上方， 负值扭矩画在x轴下方。这种图形称为扭矩图。
7.4 等直圆轴扭转时的强度计算
7.4.1 圆轴扭转强度条件 工程上要求圆轴扭转时的最大切应力不得超过
材料的许用切应力 ，即
max
上式称为圆轴扭转强度条件。
T Wp
max
试验表明，材料扭转许用切应力
塑性材料 0.5~0.6
脆性材料 0.8~1.0
例题7.2 汽车的主传动轴，由45号钢的无缝钢管
即：
d T
dx GIp
7.5.2 圆轴扭转刚度条件
对于建筑工程、精密机械，刚度的刚度条件：
max
在工程中 的单位习惯用（度/米）表示， ，
将上式中的弧度换算为度，得：
max
G TIp
max
180
π
对于等截面圆轴，即为：max
Tmax GIp
180
π
许用扭转角的数值，根据轴的使用精密度、 生产要求和工作条件等因素确定。
2、计算轴的最大切应力
m axW Tp12 .5 9 51 0 16 02 N m m m m 3 50.8M Pa
3、强度校核
m ax50.8M P a
主传动轴安全
例题7.3 如把上题中的汽车主传动轴改为实心 轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定实 心轴的直径，并比较空心轴和实心轴的重量。
解：1、求实心轴的直径，要求强度相同，即实心 轴的最大切应力也为51 M Pa ，即
M e B 9 5 4 9 N n B 9 5 4 9 3 0 4 0 .5 rk m W in 1 4 3 .2N m
M e C 9 5 4 9 N n C 9 5 4 9 3 0 3 0 .5rk m W in 1 1 1 .4N m M e D 9 5 4 9 N n D 9 5 4 9 3 0 2 0 .0 rk m W in 6 3 .7N m