知识点1 轴对称图形如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴;这时,我们也说这个图形关于这条直线的轴对称。

知识点2 对称轴的性质1.对称轴是一条直线。

2.在轴对称图形中，对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等。

3.在轴对称图形中，沿对称轴将它对折，左右两边完全重合。

4.图形对称例1下面哪些图形是轴对称图形？画出轴对称图形的对称轴。

例2.推理游戏：下面应该是什么图形？知识点3线段垂直平分线定义及其性质定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

性质1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。

2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。

逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

3.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。

例3．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=6，则线段PB的长度为（）A．3 B．5 C．6 D．8解析：∵直线CD是线段AB的垂直平分线，∴PB=PA，∵PA=6，∴PB=6．答案C．例4如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（）A．ED=CDB．∠DAC=∠BC ．∠C ＞2∠BD ．∠B+∠ADE=90°分析：∵DE 是线段AB 的垂直平分线，∴AD=BD ．∴∠B=∠BAD，∠ADE=∠BDE．∴∠B+∠ADE=90°答案D课堂练习11．点A ，B 关于直线a 对称，P 是直线a 上的任意一点，下列说法不正确的是（ ）A ．直线AB 与直线a 垂直B ．直线a 是点A和点B 的对称轴C ．线段PA 与线段PB 相等D ．若PA=PB ，则点P 是线段AB 的中点2.三角形中到三边的距离相等的点是（ ）A ．三条边的垂直平分线的交点B ．三条高的交点C ．三条中线的交点D ．三条角平分线的交点3.已知A 和B 两点在线段EF 的中垂线上，且∠EAF=100°，∠EBF=70°,则∠AEB 等于( )A 、95°B 、15°C 、95°或15°D 、170°或30°4.已知：如图，线段AB 垂直平分线段CD 则AC ＝ 。

若线段AB,CD 互相垂直平分，则AC= 。

D第四题第五题5．已知：如图，∠O=34°,BD垂直平分AO，求∠ABC的度数.6.已知：如图，AC=BC,AD=BD，求证：AE=BE知识点1 画轴对称图形例1已知直线AB和直线l，要画出AB关于l的对称图形只需要在直线AB上选两个不同的点，这两点关于l的对称点就可以确定直线AB的对称图形CD。

点构成线，线构成面，类似的，作出构成这个平面图形的直线的轴对称图形即可确定这个平面的对称图形。

例2．△ABC在平面直角坐标系中如图所示，（1）作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；若P（a，b）是△ABC内一点，请用a，b 表示出点P关于x轴对称的点P1的坐标；（2）作出△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2，写出点C2的坐标．（3）△A2B2C2能否由△A1B1C1通过某种变换而得到？若能，请指出是何种变换．分析：（1）根据网格结构找出点A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数写出点P1的坐标；（2）根据网格结构找出点A、B、C关于原点对称的点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点C2的坐标；（3）观察图形可知关于y轴对称．解：（1）△A1B1C1如图所示，点P1的坐标为（a，-b）；（2）△A2B2C2如图所示，点C2的坐标（2，0）；（3）△A2B2C2能由△A1B1C1通过变换得到，是关于y轴对称．知识点3 用坐标表示轴对称坐标轴对称点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）原点对称点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（-x，-y）坐标轴夹角平分线对称点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y=x对称的点的坐标是（y，x）点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y= -x对称的点的坐标是（-y，-x）例3在平面直角坐标系中，A点的坐标（-4，3）（1）求出点A关于y轴对称的点B的坐标；答案（1）∵A点的坐标（-4，3），B与A关于y轴对称，∴二者纵坐标相同，横坐标互为相反数故B点坐标为B（4，3）；课堂练习21．点 A（-3 ，2）关于 y 轴对称点的坐标是( )A （-3 ，-2）B （3 ，2）C （-3 ，2）D （2 ，-3）2．点P（a，b）关于 x 轴的对称点为P＇（1，-6），则A、B的值分别为( )A 1 ，6B -1 ，-6C -1 ，6D 1 ，-63.点P 关于 x 轴对称点P＇的坐标为（4，-5）,那么点P 关于 y 轴对称点P" 的坐标为：A (-4，5)B (4，-5)C (-4，-5)D (-5，-4)4.已知A、B两点的坐标分别是(-2，3)和(2，3），则下面四个结论：①A、B关于x轴对称；②A、B关于y轴对称；③A、B关于原点对称；④A、B之间的距离为4，其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个5.已知M(0，2)关于x轴对称的点为N，线段MN的中点坐标是( )A.(0，-2)B.(0，0)C.(-2，0) D.(0，4)6.平面内点A(-1，2)和点B(-1，6)的对称轴是( )A.x轴B.y轴C.直线y=4D.直线x=-17.下列关于直线 x=1 对称的点是( )A 点（0 ，-3）与点（-2 ，-3）B 点（2 ，3）与点（-2 ，3）C 点（2 ，3）与点（0 ，3）D 点（2 ，3）与点（2 ，-3 )二、填空题:8.已知A(-1，-2)和B(1，3），将点A向______平移_______个单位长度后得到的点与点B 关于y轴对称．9.一个点的纵坐标不变，把横坐标乘以-1，得到的点与原来的点的关系是__________．10.点M(-2，1)关于x轴对称的点N的坐标是_______，直线MN与x•轴的位置关系是________．11.如下图：若正方形 ABCD 关于 x 轴与 y 轴均成轴对称图形，点A的坐标为（2，1），标出点 B 、C 、D 的坐标分别为：B( ， )，C( ， )，D( ， )。

12. 若A（m-1，2n+3）与B（n-1，2m+1）关于y轴对称，则m= ,n=13.已知a＜0，那么点P（-a²-2，2-a）关于x轴对称的对应点P'在第象限三、解答题14.已知点M（1-a，2a+2），若点M关于x轴的对称点在第三象限，求a的取值范围？15.已知点A的坐标为（2x+y-3，x-2y）。

它关于x轴对称的点A'的坐标为（x+3，y-4），求点A关于y轴对称的点的坐标。

知识点1 等腰三角形有两边相等的三角形叫等腰三角形。

等腰三角形中，相等的两个边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。

两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

知识点2等腰三角形的性质1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。

2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。

3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。

4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。

5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。

6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。

7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。

8.等腰三角形中腰大于高知识点3 等腰三角形的判定定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。

判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。

例1如图，△ABC中，点D在边AC上，且∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，（1）找出图中图中所有的等腰三角形：（2）请在你第（1）小题所找的三角形中，说明它是等腰三角形的理由．解：（1）∵∠A=36°，∠C=72°，∴∠ABC=180°-36°-72°=72°，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∵∠DBC=36°，∠C=72°，∴∠BDC=72°，∴DB=CB，∴△DBC是等腰三角形，∵∠BDC=72°，∴∠ABD=36°，∴AD=DB，∴△ABD是等腰三角形，故答案为：△ABC，△DAB，△BCD；知识点4 等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形，又叫做正三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。

（注意：若三角形三条边都相等则说这个三角形为等边三角形，而一般不称这个三角形为等腰三角形）。

知识点5 等边三角形的性质⑴等边三角形的内角都相等，且均为60度。

⑵等边三角形每一条边上的中线、高线和每个角的角平分线互相重合。

⑶等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。

知识点6 等边三角形的判定⑴三边相等的三角形是等边三角形（定义）。

⑵三个内角都相等的三角形是等边三角形。

⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。

⑷ 有两个角等于60度的三角形是等边三角形。

例2 如图：△ABC和△ADE是等边三角形．证明：BD=CE．证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形（已知），∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°（等边三角形的性质）．∴∠BAD=∠CAE（等式的性质）．在△BAD与△CAE中，∵AB＝AC ，∠BAD＝∠CAE ，AD＝AE ，∴△BAD≌△CAE（SAS）．∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）．知识点7 含30º角的直角三角形的性质在直角三角形中，有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

例3如果直角三角形的一个锐角为30°，而斜边与较短的直角边之和为18cm，那么斜边长为（）A．6cm B．9cm C．12cm D．14cm解析：：设直角三角形的30°角对的边为a，另一直角边为b，斜边为2a，由题意知，3a=18，∴a=6，2a=12cm.答案C课堂练习31．已知等腰三角形一个内角的度数为30°，那么它的底角的度数是_________．2．等腰三角形的顶角的度数是底角的4倍，则它的顶角是________．3．等腰三角形的两边长分别为3厘米和6厘米，这个三角形的周长为_________．4．如图，在中，平分，则D 点到AB的距离为________．5．如图，在中，平分，若，则．6．如图，，AB的垂直平分线交AC于D，则．7.等边三角形是轴对称图形，它有_________条对称轴。