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北京科技大学考研数学分析(2003-2014)

北 京 科 技 大 学2014年硕士学位研究生入学考试试题============================================================================================================= 试题编号: 613 试题名称: 数学分析 (共 2 页) 适用专业: 数学, 统计学 说明: 所有答案必须写在答题纸上,做在试题或草稿纸上无效。

=============================================================================================================1.(15分) (1)计算极限 2020cos lim ln(1)x x xdx x →+⎰;(2)设112(1)0,,(1,2,3,),2n n na a a n a ++>==+证明: lim n n a →∞存在,并求该极限. 2. (15分) (1)设222z y x u ++=,其中),(y x f z =是由方程xyz z y x 3333=++所确定的隐函数, 求x u .(2) 设2233x u v y u v z u v ⎧=+⎪=+⎨⎪=+⎩,求z x ∂∂. 3. (15分)设)(x f 在[]0,2上连续,且)0(f =(2)f ,证明∃0x ∈[]0,1,使)(0x f =0(1).f x +4.(15分) 设f (x ) 为偶函数, 试证明:20()d d 2(2)()d ,a D f x y x y a u f u u -=-⎰⎰⎰ 其中:||,|| (0).D x a y a a ≤≤>5. (15分)设)(x f 在区间[0,1]上具有二阶连续导数,且对一切[0,1]x ∈,均有(),''()f x M f x M <<. 证明: 对一切[0,1]x ∈,成立 '()3f x M <.6. (15分) 设0a >, ()f x 是定义在区间[,]a a -上的连续偶函数,(1) 证明: 0()d ()d 1e aa x a f x x f x x -=+⎰⎰; (2) 计算积分3 2 2cos d .1e xx x ππ-+⎰7. (15分) (1)证明:级数4211n x n x +∞=+∑在[0,)+∞上一致收敛; (2)求级数3231(1)8ln()n nn n x n n n +∞-=-+∑的收敛域.8. (15分) 证明:若(),f x y 在矩形区域D 满足:12112|(,)(,)|||f x y f x y L x x -≤- 与12212|(,)(,)|||,f x y f x y L y y -≤-其中12,L L 是正的常数,则函数(),f x y 在D 一致连续.9.(15分) 设对于半空间0>x 内任意的分片光滑的有向封闭曲面∑, 都有2()d d d d d d 0,1xy f x y z z x x y x∑--=+⎰⎰ 其中函数()f x 在[0,)+∞上具有一阶连续导数, 且(0)1,f = 求()f x .10. (15分) 设()()(),0f x f x m a x b π'≤≥>≤≤,证明: ()2sin ba f x dx m≤⎰.北 京 科 技 大 学2013年硕士学位研究生入学考试试题============================================================================================================= 试题编号: 613 试题名称: 数学分析 (共 2 页)适用专业: 数学,统计学 说明: 所有答案必须写在答题纸上,做在试题或草稿纸上无效。

=============================================================================================================1.(20分) (1)、设(),,()z f x y u xy xF u ==+,其中F 为可微函数,且y u x =,证明: z z x y z xy x y∂∂+=+∂∂. (2)、设z y u x =,求: 22,u u z z∂∂∂∂。

2.(20分)(1)设()f x 在[],a b 上连续, 21()(),4bba a f x dx f x dx =+⎰⎰ 则存在(,),ab ξ∈使得 21()().4()f f b a ξξ-=- (2)求极限()1 0lim e d x x t x t →∞⎰3. (20分) 设()e , 0()0, 0xg x x f x x x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩,其中()g x 有二阶连续的导数,且(0)1g =,(0)1g '=-,求()f x ', 并讨论()f x '在(,)-∞+∞上的连续性.4.(15分)设()f x 在[]0,1上连续可微, 且(0)0,(1)1,f f ==求证:(1) ()[0,1],|()()|().x x f x f x e f x -''∀∈-≥(2)11 0|()()|d .f x f x x e -'-≥⎰5. (15分) 若{[,]}n n a b 是一个闭区间套, 即11[,][,],1,2,++⊂=n n n n a b a b n , 且lim()0,→∞-=n n n b a 证明: 存在唯一点ξ, 使得[,],1,2,ξ∈=n n a b n .6. (15分) 计算二重积分 sin d d D y x y y⎰⎰, 其中D 是由曲线y x =以及2x y =所围成的闭区域.7. (15分) 计算221d d d 1x y z x y Ω++⎰⎰⎰, 其中Ω是由抛物面224x y z +=与平面0z h =>围成的空间区域.8.(10分) 设()0f x 在[0,1]上连续,定义函数序列,10()(),0,1,2,x n n f x f x dt n +==⎰. 证明:函数项级数1()n n f x ∞=∑在[0,1]上一致收敛.9. (10分) 设函数()=y f x 的二阶可导, 且()0,(0)0,(0)0,'''>==f x f f 求330()lim ,()sin →x x f u f x u其中u 是曲线()=y f x 在点(,())P x f x 处的切线在x 轴上的截距.10. (10分) 计算曲面积分2()d d d d I x z y z z x y ∑=+-⎰⎰, 其中∑是旋转抛物面221()2z x y =+介于平面0z =和2z =之间的部分的下侧.北 京 科 技 大 学2012年硕士学位研究生入学考试试题============================================================================================================= 试题编号: 613 试题名称: 数学分析 (共2 页) 适用专业: 数学,统计学 说明: 所有答案必须写在答题纸上,做在试题或草稿纸上无效。

=============================================================================================================1.(20分)(1)求极限2)(2)n n 。

(2)证明积分20ln(sin )x dx π⎰收敛且求其值。

2.(20分)(1)证明:对于0>λ,级数 ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-12 tan )1(n n n πλ 都收敛。

(2)设()f x 连续,求极限lim ()x a x a x f t dt x a→-⎰。

3.(15分)已知给定函数1()sin , ()0, m x a x a f x x a x a⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩(m 为正整数), 试讨论()f x 在x a =的连续性与可导性以及导函数()f x '在x a =的连续性。

4.(15分)设函数()f x 在[0,]b 上连续,且()()0,[0,]xf t dt bf x x b ≥≥∀∈⎰,证明:()0f x ≡。

5.(15分)设()f x 在[],a b 连续,[]12,,,,n x x x a b ∈。

证明:存在[],a b ξ∈,使 ()11()ni i f f x n ξ==∑。

6.(15分)已知曲线22220:35⎧+-=⎨++=⎩x y z C x y z ,求曲线C 距离XOY 面最远的点和最近的点。

7.(15分)设()f x 在[],a b 连续,在(),a b 可导,且()0f x '≠。

试证明:存在(),,a b ξη∈,使 ()()b af e e e f b aηξη-'-=⋅'-。

8.(15分)设()f x 在区间[1,1]-上连续且为奇函数, 区域D 由曲线24=-y x 与3=-y x 、1=x 所围成,求()1()ln(d d =++⎰⎰D I f x y x y 。

9.(10分)试利用闭区间套定理证明数列 {}n a 收敛的充要条件是: 对任意的0ε>,存在0N >,使得当,m n N >时,m n a a ε-<。

10.(10分)(1)设a 为不是整数的实参数,计算函数cos ax 在[],ππ-的三角级数展开式;(2)证明:()111111sin n n t t t n t n ππ+∞=⎛⎫=+-+ ⎪-+⎝⎭∑,t 不是π的整数倍;(3)利用上面结果计算广义积分:0sin x dx x+∞⎰。

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