3．3几何概型3．3.1几何概型1．问题导航(1)当试验的所有可能结果是无穷多的情况，还能用古典概型来计算事件发生的概率吗？(2)什么叫几何概率模型？其求解方法是什么？(3)几何概型有几种模型？2．例题导读通过例1的学习，学会如何求解长度型的几何概型的概率．1．几何概型的定义与特点(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．(2)特点：①可能出现的结果有无限多个；②每个结果发生的可能性相等．2．几何概型中事件A的概率的计算公式P(A)＝构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）．1．下列概率模型都是几何概型吗？(对的打“√”，错的打“×”)(1)从区间[－10，10]中任取出一个数，求取到1的概率；()(2)从区间[－10，10]中任取出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；()(3)从区间[－10，10]中任取出一个数，求取到大于1且小于2的数的概率；()(4)向一个边长为4 cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离正方形的中心不超过1 cm的概率．()解析：(1)不是几何概型；(2)(3)(4)是几何概型，满足无限性，且等可能性．答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√2．在区间[－1，2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为( ) A.13 B.12 C.14D.23解析：选D.由|x |≤1，得－1≤x ≤1，所以|x |≤1的概率为P (|x |≤1)＝23.3．如图，假设你在如图所示的图形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．解析：设圆的半径为R ，则圆的面积为S ＝πR 2，阴影的面积S 阴＝12·2R ·R ＝R 2，故所求概率P ＝S 阴S ＝R 2πR 2＝1π. 答案：1π4．古典概型与几何概型有何区别？解：几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是：古典概型的试验结果是有限的，而几何概型的试验结果是无限的．1．利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学知识的应用价值．2．如果一个随机试验可能出现的结果有无限多个，并且每个结果发生的可能性相等，那么该试验可以看作是几何概型．3．几何概型是不同于古典概型的又一个最基本、最常见的概率模型，对应随机事件及试验结果的几何量可以是长度、面积或体积．与长度有关的几何概型(2014·高考湖南卷)在区间[－2，3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为( ) A.45 B.35 C.25D.15[解析] 在区间[－2，3]上随机选取一个数X ，则X ≤1，即－2≤X ≤1的概率为P ＝35.[答案] B[互动探究] 本例中，若将“X ≤1”改为“|X |≤1”，则概率为多少？解：由|X |≤1，得－1≤X ≤1，由几何概型概率计算公式可得，|X |≤1的概率为P ＝1－（－1）3－（－2）＝25. 方法归纳(1)本题的关键是判断事件发生的概率是只与长度有关的几何概型．(2)将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．1．(1)某人从甲地去乙地共走了500米，途经一条宽为x 米的河流，他不小心把一件物品丢到途中，如果物品掉到河里就找不到，若物品不掉到河里，则能找到，已知该物品被找到的概率是45，则河宽为( )A ．80米B ．100米C ．40米D ．50米解析：选B.该物品能够被找到的路径长为500－x 米，由几何概型知，45＝500－x500，解得x ＝100米，故选B.(2)某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率．(链接教材P 136例1)解：设A ＝{等待的时间不多于10分钟}，我们所关心的事件A 恰好是打开收音机的时刻位于[50，60]时间段内，因此由几何概型的概率公式得P (A )＝60－5060＝16.即“等待报时的时间不多于10分钟”的概率为16.与面积有关的几何概型(2014·高考辽宁卷)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )A.π2B.π4C.π6D.π8[解析] 设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ， 则P (A )＝阴影面积长方形面积＝12π·121×2＝π4.[答案] B方法归纳(1)与面积有关的几何概型的概率公式如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：P (A )＝构成事件A 的区域面积试验的全部结果所构成的区域面积.(2)解与面积相关的几何概型问题的三个关键点 ①根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题；②找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积； ③套用公式，从而求得随机事件的概率．2．一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m ，宽20 m 的长方形，求海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率．解：如图所示，区域Ω是长30 m 、宽20 m 的长方形，图中阴影部分表示事件A ：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m ”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率．由于区域Ω的面积为30×20＝600(m 2)，阴影部分的面积为30×20－26×16＝184(m 2)． 所以P (A )＝184600＝2375.即海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率约为2375.与体积有关的几何概型一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，则称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率．[解] 满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为：P ＝1333＝127.方法归纳“体积比”求几何概型的概率是常见题型，通常利用图形的几何特征度量来求随机事件的概率．3．(1)如图所示，有一瓶2升的水，其中含有1个细菌．用一小杯从这瓶水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率．解：记“小杯水中含有这个细菌”为事件A ，则事件A 的概率只与取出的水的体积有关，符合几何概型的条件．∵小瓶中有0.1升水，原瓶中有2升水， ∴由几何概型求概率的公式得P (A )＝0.12＝0.05.(2)在1升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机抽取10毫升，则其含有麦锈病种子的概率是多少？解：1升＝1 000毫升，记事件A ＝“取10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子”，则P (A )＝101 000＝0.01，即取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子的概率是0.01.数学思想数形结合思想在求解几何概型中的应用(2014·高考重庆卷)某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．(用数字作答)[解析] 设小王到校时间为x ，小张到校时间为y ，则小张比小王至少早到5分钟时满足x －y ≥5.如图，原点O 表示7：30，在平面直角坐标系中画出小王和小张到校的时间构成的平面区域(图中正方形区域)，该正方形区域的面积为400，小张比小王至少早到5分钟对应的图形(图中阴影部分)的面积为12×15×15＝2252，故所求概率为P ＝2252400＝932.[答案]932[感悟提高]数形结合思想的实质就是把抽象的数学语言、数量关系和直观的图形结合起来．包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面．在本节中把几何概型问题利用坐标系转化成图形问题(或符合条件的点集问题)去解决．本题的难点是把两个时间分别用x 、y 两个坐标轴表示，构成平面内的点(x ，y )，从而把时间这一个一维长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型几何概型问题，这种方法是解决这类问题的常用手法，不失为一种好方法．1．如图，在边长为25 cm 的正方形中挖去边长为23 cm 的两个等腰直角三角形，现有均匀的粒子散落在正方形中，则粒子落在中间带形区域的概率为( )A.529625B.433625C.192625D.96625解析：选D.因为均匀的粒子落在正方形内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．设A ＝“粒子落在中间带形区域”，则依题意得正方形面积为25×25＝625，两个等腰直角三角形的面积为2×12×23×23＝529，带形区域的面积为625－529＝96，故所求概率为P (A )＝96625.2．如图所示，四边形ABCD 为矩形， AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在圆弧DE 上任取一点P ，则直线AP 与线段BC 有公共点的概率是( )A.13B.23C.25D.35解析：选A.连结AC ，交弧DE 于P (图略)．由题意知，∠BAC ＝π6.弧PE 的长度为π6，弧DE 的长度为π2，则直线AP 与线段BC 有公共点的概率是P ＝π6÷π2＝13.3．已知方程x 2＋3x ＋p4＋1＝0，若p 在[0，10]中随机取值，则方程有实数根的概率为( )A.12B.13C.25D.23解析：选A.因为总的基本事件是[0，10]内的全部实数，所以基本事件总数为无限个，符合几何概型的条件，事件对应的测度为区间的长度，总的基本事件对应区间[0，10]，长度为10，而事件“方程有实数根”应满足Δ≥0，即9－4×1×⎝⎛⎭⎫p 4＋1≥0，得p ≤5，所以对应区间[0，5]，长度为5，所以所求概率为510＝12.4．一个球型容器的半径为3 cm ，里面装有纯净水，因为实验人员不小心混入了一个H7N9病毒，从中任取1 mL 水，含有H7N9病毒的概率是________．解析：水的体积为43πR 3＝43×π×33＝36π(cm 3)＝36π(mL)．故含有病毒的概率为P ＝136π.答案：136π[A.基础达标]1．下列关于几何概型的说法中，错误的是( )A ．几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性B ．几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关C ．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个D ．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性解析：选A.几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，故选A.2．在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，则使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率为( )A.13B.23C.14D.34解析：选A.记M ＝“射线OC 使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°”．如图所示，作射线OD ，OE 使∠AOD ＝30°，∠AOE ＝60°.当OC 在∠DOE 内时，使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°，此时的测度为度数30，所有基本事件的测度为直角的度数90.所以P (M )＝3090＝13.3．在2015年春节期间，3路公交车由原来的每15分钟一班改为现在的每10分钟一班，在车站停1分钟，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )A.110B.19C.111D.910解析：选A.记“乘客到达站台立即乘上车”为事件A ，则A 所占时间区域长度为1分钟，而整个区域的时间长度为10分钟，故由几何概型的概率公式，得P (A )＝110.4．已知在一个边长为2的正方形中有一个圆，随机向正方形内丢一粒豆子，若落入圆内的概率为0.3，则该圆的面积为( )A ．0.6B ．0.8C ．1.2D ．1.6解析：选C.记“豆子落入圆内”为事件A ，豆子落入正方形内任一点的机会都是等可能的，这是一个几何概型，P (A )＝S 圆S 正，所以S 圆＝P (A )×S 正＝0.3×22＝1.2.因此，圆的面积为1.2.5．(2013·高考湖南卷)已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则ADAB＝( )A.12 B.14 C.32D.74根据解析：选D.由于满足条件的点P 发生的概率为12，且点P 在边CD 上运动，向点图形的对称性当点P 在靠近点D 的CD 边的14分点时，EB ＝AB (当点P 超过点ERt △D 运动时，PB >AB )．设AB ＝x ，过点E 作EF ⊥AB 交AB 于点F ，则BF ＝34x .在FBE 中，EF 2＝BE 2－FB 2＝AB 2－FB 2＝716x 2，即EF ＝74x ，∴AD AB ＝74.6．(2015·西安质检)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机取点，则该点落在三棱锥A 1­ABC 内的概率是______．解析：设正方体的棱长为a ，则所求概率P ＝VA 1-ABC VABCD ­A 1B 1C 1D 1＝13×12a 2·a a 3＝16.答案：167.如图，在平面直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠xOT 内的概率为________．解析：记“射线OA 落在∠xOT 内”为事件A .构成事件A 的区域最大角度是60°，所有基本事件对应的区域最大角度是360°，所以由几何概型的概率公式得P (A )＝60°360°＝16.答案：168.(2014·高考福建卷)如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．解析：由题意知，这是个几何概型问题，S 阴S 正＝1801 000＝0.18，∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18. 答案：0.189．如图，已知AB 是半圆O 的直径，AB ＝8，M ，N ，P 是将半圆圆周四等分的三个分点．(1)从A ，B ，M ，N ，P 这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率；(2)在半圆内任取一点S ，求△SAB 的面积大于82的概率．解：(1)从A ，B ，M ，N ，P 这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：△ABM ，△ABN ，△ABP ，△AMN ，△AMP ，△ANP ，△BMN ，△BMP ，△BNP ，△MNP ，其中是直角三角形的只有△ABM ，△ABN ，△ABP 3个，所以组成直角三角形的概率为310.(2)连接MP ，取线段MP 的中点D ，则OD ⊥MP ，易求得OD ＝22，当S 点在线段MP 上时，S △ABS ＝12×22×8＝82，所以只有当S 点落在阴影部分时，△SAB 的面积才能大于82，而S 阴影＝S 扇形MOP －S △OMP ＝12×π2×42－12×42＝4π－8，所以由几何概型的概率公式得△SAB 的面积大于82的概率为4π－88π＝π－22π. 10．射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环．从外向内分为白色、黑色、蓝色、红色、靶心是金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm ，靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭．假设射箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中“黄心”的概率为多少？解：因为射中靶面内任一点都是等可能的， 所以基本事件总数为无限个．此问题属于几何概型，事件对应的测度为面积， 总的基本事件为整个箭靶的面积， 它的面积为π⎝⎛⎭⎫12222cm 2；记事件A ＝{射中“黄心”}，它的测度为“黄心”的面积，它的面积为π⎝⎛⎭⎫12.222cm 2， P (A )＝“黄心”的面积箭靶的面积＝π⎝⎛⎭⎫12.222π⎝⎛⎭⎫12222＝1100， 所以射中“黄心”的概率为1100. [B.能力提升]1．有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，即可中奖，小明希望中奖，则他应当选择的游戏盘为( )解析：选A.根据几何概型的面积比，A 游戏盘的中奖概率为38，B 游戏盘的中奖概率为13，C 游戏盘的中奖概率为（2r ）2－πr 2（2r ）2＝4－π4，D 游戏盘的中奖概率为r 2πr 2＝1π，故A 游戏盘的中奖概率最大．2．(2015·郑州六校联考)如图，扇形AOB 的半径为1，圆心角为90°，点C ，D ，E 将弧AB 等分成四份．连接OC ，OD ，OE ，从图中所有扇形中随机取出一个，面积恰为π8的概率是( )A.310B.15C.25D.12解析：选A.题图中共有10个不同的扇形，分别为扇形AOB 、AOC 、AOD 、AOE 、EOB 、EOC 、EOD 、DOC 、DOB 、COB ，其中面积恰为π8的扇形(即相应圆心角恰为π4的扇形)共有3个(即扇形AOD 、EOC 、BOD )，因此所求的概率等于310.3．甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去，则两人能会面的概率为________．解析：以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的条件是|x －y |≤15.如图，平面直角坐标系下，(x ，y )的所有可能结果是边长为60的正方形，而事件A “两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示，由几何概型的概率公式得P (A )＝S A S ＝602－452602＝716. 答案：7164．如图，正方形OABC 的边长为2.(1)在其四边或内部取点P (x ，y )，且x ，y ∈Z ，则事件“|OP |>1”的概率为________．(2)在其内部取点P (x ，y )，且x ，y ∈R ，则事件“△POA ，△PAB ，△PBC ，△PCO 的面积均大于23”的概率是________．解析：(1)在正方形的四边和内部取点P (x ，y )，且x ，y ∈Z ，则所有可能的事件是(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，共有n ＝9个，其中满足|OP |>1的事件是(0，2)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，共有m ＝6个，所以满足|OP |>1的概率为P＝69＝23. (2)在正方形内部取点，其总的事件包含的区域面积为4，由于各边长为2，所以要使△POA ，△PAB ，△PBC ，△PCO 的面积均大于23，应该三角形的高大于23，所以这个区域为每个边长从两端各去掉23后剩余的正方形，其面积为23×23＝49，所以满足条件的概率为494＝19. 答案：(1)23 (2)195．2013年度世界新闻人物——斯诺登，他揭露了美国的监听丑闻．国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30 min 长的磁带上在开始录音的1 min 内从第30 s 后的某一时刻开始，有10 s 长的一段内容包含间谍犯罪的信息．后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了，那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？解：记A ＝{按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉}，A 发生就是在0到23 min 时间段内按错键．P (A )＝2330＝145.6．(选做题)一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M 是AB 的中点．一只苍蝇在几何体ADF -BCE 内自由飞行，求它飞入几何体F -AMCD 内的概率． 解：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF 中AD ⊥DF ，DF ＝AD ＝DC . 因为V F ­AMCD ＝13S 四边形AMCD ×DF ＝13×12(12a ＋a )·a ·a ＝14a 3，V ADF ­BCE ＝12a 2·a ＝12a 3，所以苍蝇飞入几何体F -AMCD 内的概率为14a 312a 3＝12.。