第 五 章 定 积 分
1．证明定积分性质： （是常数）.
证：
2．估计下列积分值：

（1）
解：令，则

得驻点：
由，
得
由性质，得

（2）
解：令，，
所以在上单调增加，，，
即
3．比较下列积分值的大小：
（1）与
解：当时，有，且不恒等于，

，即 。
（2）与
解：当时，有，且不恒等于，，即 。
（3）与
解：令，则，
所以在上单调增加，，

且不恒等于，所以
（4）与
解：令，则，
所以在上单调增加，，

且不恒等于，所以
4．求下列各导数：

(1 (2
解：= 解：=
(3
解：
(4
解：

5．求由参数表示式所给定的函数对的导数。
解：
6．求由所确定的隐函数对的导数。
解：方程两边对求导，得：，所以
7．求下列极限：

（1）
（2）
8．设 ，求在内的表达式。
解：当时，

当时，
当时，

9．计算下列各定积分：
（1）=
（2）

（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）， 其中

解：
（10），其中 .
解：
10．计算下列定积分：

（1）
（2）
（3）

（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）

11．设在上连续，证明：.
证：令，则

左边右边
12．证明：.
证：令，则
左边=右边
13．设是以为周期的函数，证明的值与无关。

证一：
而

所以的值与无关。
证二：令，则，
所以是与无关的常数。
14．若是连续函数且为奇函数，证明是偶函数。
证：令，则

所以是偶函数。
15．证明：.
证：
即
16．

17．
18．

19．

20．
21．
22．判别下列各广义积分的收敛性，如果收敛，计算广义积分的值：
（1）
解：
即广义积分收敛于.
（2）
解：
发散.
（3）

解：
即广义积分收敛于.
（4）
解：
所以广义积分发散.
注意：本题按以下解法是错误的：
（5）

解：
而

所以