圆梦堂文化培训学校精品班教案 第 6 讲
1.根与系数的关系的猜想及证明
猜想：两根的和、两根的积与一元二次方程的系数a 、b 、c 有什么关系？
结论：=+21x x _____________，=21x x _____________。

证明猜想：一元二次方程 )0( 02≠=++a c bx ax 的求根公式：
a ac
b b 242-±-a c
a ac a ac
b b a a
c b b a ac b b x x a
b
a b a ac b b a ac b b x x a
ac
b b x a a
c b b x ==--=---⨯-+-=•∴-
=-=---+-+-=+∴---=
-+-=22
22222122212221444)4(242422242424,24
●归纳：一元二次方程根与系数的关系：（由于这是数学家韦达提出并证明了的，所以后人为了纪念就把这个公式叫做韦达定理）
即：两根之和等于方程一次项系数与二次项系数的比的相反数；两根之积等于常数项与二次项系数的比。

●注意,韦达定理使用的前提：(042
≥-ac b 且0≠a )
2.用到根与系数的关系的几种常见的求值
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
类型一：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况
【例1】不解方程，求一元二次方程01322
=-+x x 两个根的①平方和；②倒数和。

答案：①
4
13
②3
a
c
x x a b x x x x a c bx ax =
•-=+≠=++2121212,,,)0(0则的两根为
若方程
【例2】不解方程，求下列方程两个根的和与积：
(1) 1562
=-x x ； (2) 9732
+-=x x ； (3) 2
415x x =--；
答案：（1）x 1+x 2=6， x 1x 2=-15 （2）x 1+x 2=-37， x 1x 2=3 （3）x 1+x 2=45-， x 1x 2=-4
1
【例3】求运用根与系数的关系一个一元二次方程，使它的两个根是：2
5
, 310-
答案：0505603
25
6522
=-+=-+
x x x x 或
1、设 21,x x 是方程0142
=+-x x 的两个根，则
=+21x x =21x x () 2
212
221-+=+x x x x =
()=-221x x ()2 =-214x x
=+2
11
1x x 答案：4、 1、 2x 1x 2、 14 、 X 1+X 2 、12 4
2、已知βα,是一元二次方程0252=--x x 的两个实数根，则22βαβα++的值为( D )
A ．－1
B ．9
C ．23
D ．27
3、已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 两根之积为12，两根的平方和为25，写出符合此条件的一
类型二：用韦达定理求参数的值
【例1】已知方程022
=+++k kx x 的两个实数根是21,x x ，且4222
1=+x x ，则k
【例2】已知关于x 的方程0)1(22
2
=+--k x k x 有两个实数根为21,x x ， （1）求k 的取值范围；
（2）若12121-=+x x x x ，求k 的值。

【例3】已知方程032
=++m x x 的两根为21,x x ，当m 为何值时，4321=-x x 。

答案：16
13-
=m
1、菱形ABCD 的边长是5，两条对角线交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程
03)12(22=++-+m x m x 的根，则m 的值为( )A
A ．－3
B ．5
C ．5或－3
D ．－5或3
2、设21,x x 是一元二次方程0232
=--x x 的两个实数根，则2
2212
13x x x x ++的值为________．答案：7
3、已知方程022
=+++k kx x 的两个实数根是21,x x ，且42
221=+x x ,则k 的值为：__________ 答案：-2
4、已知关于x 的一元二次方程()02122
2
=-+++m x m x 。

(1)若该方程有两个实数根，求m 的最小整数值；
(2)若方程的两个实数根为21,x x ，且()212
2
21=+-m x x ，求m 的值.
1.已知一元二次方程的两根之和是3，两根之积是－2，则这个方程是( C ) A ．x 2＋3x －2＝0 B ．x 2＋3x ＋2＝0 C ．x 2－3x －2＝0 D ．x 2－3x ＋2＝0
2.以方程0532
=-+x x 的两个根的相反数为根的方程是（ B ） A.y 2＋3y -5=0 B. y 2－3y -5=0 C.y 2＋3y ＋5=0 D. y 2－3y ＋5=0 3.若α、β为方程2x 2-5x -1=0的两个实数根，则2235++ααββ的值为（ B 、 A ．-13
B ．12
C ．14
D ．15
4.已知：x 1，x 2是方程2x 2－2＝0的两实根，则x 12＋x 22的值为（ B ）
A ．34
-
B ．
134
C ．1
D ．9
5.已知方程2520x x -+=的两个解分别为1x 、2x ，则1212x x x x +-⋅的值为___3____．
6.若x 1，x 2是方程x 2﹣4x ﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x 12﹣2x 1+2x 2的值等于___2028__．
7.设一元二次方程2
0(a 0)++=≠ax bx c 的两根为1x ，2x ，由求根公式1x =可推出
12b x x a +=-，12c
x x a
⋅=，我们把这个命题叫做韦达定理．设α，β是方程2530x x -+=的两根，请
解决下列问题：
（1）理解：填空：αβ+= ，⋅=αβ ；
（2）应用：求
1
1
α
β
+
的值；
（3）拓展：对于任意实数a 、b ，定义22a b a ab b =++◆．若方程(2)50x -=◆的两根记为m 、n ，求22m n +的值．
（1）5αβ+=，3=αβ；（2）115
3αβ+=；（3）2218+=m n
8.关于x 的一元二次方程0132=-++m x x 的两个实数根分别为21,x x ． （1）求m 的取值范围．
（2）若2（x 1+x 2）+ x 1x 2+10=0．求m 的值.
（1）m≤
13
4
．
（2）m=-3.
【课后作业】
1．若关于x 的一元二次方程22330x mx m m ++-+=的两根互为倒数，则m 的值等于（ B 、 A ．1
B ．2
C ．1或2
D ．0
2．若α，β是方程220200x x 的两个实数根，则22ααβ++的值是（ A ） A ．2019
B ．-2019
C ．2021-
D ．2021
3．若方程2
320x x --=的两根分别为1x 和2x ，则代数式：12
11
+x x 的值为（ A ）
A ．12-
B ．13-
C ．13
D ．23
-
4．设m 、n 是一元二次方程x 2+5x ﹣8=0的两个根，则m 2+7m+2n=（ B ） A ．-5
B ．-2
C ．2
D ．5
5．已知1x 、2x 是一元二次方程220x x -=的两个实数根，下列结论错误．．的是( D ) A ．12x x ≠
B ．21120x x -=
C ．122x x +=
D ．122x x ⋅=
6．关于x 的方程222(1)0x m x m m +-+-=有两个实数根α，β，且2212αβ+=，那么m 的值为（ A ） A ．1-
B ．4-
C ．4-或1
D ．1-或4
7. 已知关于x 的方程x 2+（2k+1）x+k 2-2=0的两实根的平方和等于11，则k 的值为___1____． 8．已知关于x 的一元二次方程()021222=+++-k k x k x . （1）若该方程有两个实数根，求k 的最大整数值．
（2）若该方程的两个实数根为21,x x ，是否存在实数k ，使得162
2
2121-=--x x x x 成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．
（1）k的最大整数值是0；（2）存在，3
k=-．。