三角函数中三角变换常用的方法和技巧一、角的变换当已知条件中的角与所求角不同时，需要通过“拆”、“配”等方法实现角的转化，一般是寻求它们的和、差、倍、半关系，再通过三角变换得出所要求的结果． 例1 函数ππ2sin cos ()36y x x x ⎛⎫⎛⎫=--+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 的最小值等于（ ）． （A ）3- （B ）2-（C ）1-（D）解析：注意到题中所涉及的两个角的关系：πππ362x x ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以将函数()f x 的表达式转化为πππ()2cos cos cos 666f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故()f x 的最小值为1-．故选（C ）．评注：常见的角的变换有：()ααββ=+-，2()()ααβαβ=++-，2()αβααβ-=+-，22αβαββ+-=-，3πππ()442βααβ⎛⎫⎛⎫+--=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ44αβαβ⎛⎫⎛⎫++-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．只要对题设条件与结论中所涉及的角进行仔细的观察，往往会发现角之间的关系． 例2、已知 βαβαα,,1411)cos(,71cos -=+=均是锐角，求βcos 。
解：。
）21734143571)1411(cos 1435sin(,734sin .sin )sin(cos )cos(])cos[(cos =⨯+⨯-=∴=+=+++=-+=ββαααβααβααβαβ小结：本题根据问题的条件和结论进行])[(αβαβ-+=的变换。
例3、已知cos(91)2-=-βα,sin(2α-β)=32,且,20,2πβπαπ<<<<求.2cosβα+ 分析：观察已知角和所求角，可作出)2()2(2βαβαβα---=+的配凑角变换，然后利用余弦的差角公式求角。
解：.2757329543591)]2()2cos[(2cos,35(1)2cos(,954(1)2sin(.224,24,20,2)32)9122=∙+⨯-=---=+∴=--=-=-=-<-<-<-<∴<<<<βαβαβαβαβαπβαππβαππβπαπ例4、已知),2sin(sin βαβ+=m 求证：).1(tan 11)tan(≠-+=+m mmαβα 分析：由角的特点，因已知条件所含角是,,2ββα+所证等式含角,,αβα+所以以角为突破口。
证明：.tan 11tan(1sin )cos()1(cos )sin()1(,sin )cos(cos )sin(sin )cos(cos )sin(],)sin[(])sin[(,)(,)(2αβααβααβααβααβααβααβααβααβααβαβαβαβαmmm m m m m m -+=+∴≠++=+-∴+++=+-+++=-+∴-+=++=+）即小结：抓住题设与结论中角的差异，利用角的和，差，倍等关系，变不同的角为同角，在三角变换中角的变换很重要。
二、函数名称变换三角函数包括六种形式，因此，对于含有多种三角函数的问题，要从题目中所给的各函数间的关系入手，寻求统一函数名称的变换途径，正确选用三角变换公式，通过变换尽量减少三角函数的种类，可以使问题得到快速的解决．例1、若sin （α+β）=12, sin （α—β）＝110，求tan tan αβ解：由sin=（α+β）=12, s in （α—β）＝110得1sin cos cos sin 312sin cos ,cos sin 1105sin cos cos sin 10αβαβαβαβαβαβ⎧+=⎪⎪==⎨⎪=⎪⎩解得－ ∴tan tan αβ＝sin cos cos sin αβαβ＝32例2、当π04x <<时，函数22cos ()cos sin sin xf x x x x=-的最小值是（ ）．（A ）4 （B ）12（C ）2 （D ）14解析：注意到函数的表达式的分子与分母是关于sin x 与cos x 的齐二次式，所以，分子与分母同时除以2cos x 转化为关于tan x 的函数进行求解．因为π04x <<，所以0t a n 1α<<，所以2211()4tan tan 11tan 24f x x x x ==-⎛⎫--+⎪⎝⎭≥．故选（A ）． 评注：切、割化弦，弦化切是解答三角问题中对函数名称进行转化的最常见、最基本的两种方法：（1）若所给的三角式中出现了“切、割函数”，则可利用同角三角函数基本关系将“切、割函数”化为“弦函数”进行求解、证明；（2）若所给的三角式中出现了“弦函数”与“切函数”，有时可以利用公式sin tan cos x x x=将“弦函数”化为“切函数”进行解答． 例3、化简：0cos10(tan10sin50解：原式000000sin10cos102cos 40(2cos10sin 50sin 50-====- 例4、已知tan()34πα+=-，求22sin cos sin sin cos 1ααααα-+的值。
解：∵tan()14tan tan()2441tan()4παππααπα+-=+-==++， ∴222222sin cos 2sin cos 2tan 47sin sin cos 1sin sin cos sin cos 2tan tan 1ααααααααααααααα===-+-++-+ 点评：在求值、化简、恒等式证明中，切化弦与弦化切是常用的三角变换技巧。
三、升幂与降幂变换分析三角函数中的次数，是低次的升次，还是高次的降次，要充分结合题中的要求，正确选用半角公式或倍角公式等三角公式，达到次数的统一．例1、 已知α为第二象限角，且sin α=πsin 4sin2cos 21ααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭++的值．分析：由于已知条件中知道sin α的值，而所求三角函数式中所涉及的角是与α有关的复角，因此可利用同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及三角函数式的恒等变形获得解答．解：原式2cos )cos )22sin cos 2cos 4cos (sin cos )αααααααααα++==++当α为第二象限角，且sin α=时，s i nc o s 0αα+≠，1cos 4α=-，所以πs i n 4s i n 2c o s 2o ααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭==++ 评注：解答本题的关键是将含有二倍角的一次式转化为二次式，消去常数1．例2、求值：︒︒︒+︒-480sin 20sin 220sin 820sin 433解：原式：＝︒︒-︒-20sin 3)20sin 21(20sin 432＝︒︒︒-20sin 340cos 20sin 43=︒︒︒-︒+︒20sin 340cos 20sin 4)2040sin(2=︒︒︒-︒︒20sin 320sin 40cos 20cos 40(sin 2＝︒︒-︒20sin 3)2040sin(2＝332 注：怎样处理sin 320°和3是本题的难点，解决的方法是“降幂”和“常数变换法”。
四、常数变换 例1、已知πtan 24α⎛⎫+=⎪⎝⎭，求212sin cos cos ααα+的值．分析：由已知易求得tan α的值，而所求三角函数式中的分母所涉及的函数是正、余弦函数且各式都为二次式，而分子是常数1，可将1化为22sin cos αα+，再利用同角三角函数基本关系将所求式转化为正切函数进行求解．解：由π1tan tan 241tan ααα+⎛⎫+==⎪-⎝⎭，得1tan 3α=，于是原式2222sin cos tan 122sin cos cos 2tan 13ααααααα++===++． 评注：对于题中所给三角式中的常数（如：123，，等），比照特殊角的三角函数值，将它们化为相应的三角函数，参与其它三角函数的运算，在解题中往往起着十分奇妙的作用．例2、 求值（21cos 80o —23cos 10o ）²1c o s 20o解：∵21cos 80o —23cos 10o ＝2222cos 103cos 80cos 80cos 10o oo o－＝22cos 10sin 10o oo o o o （cos10）（cos10） ＝22cos10cos 10sin 10o o o o o o o o o o 4（sin30+cos30sin10）（sin30cos10－cos30sin10）＝24sin 40sin 201sin 204o o o ＝16sin 40sin 20o o＝32cos20o ∴原式＝32五、消参变换当题设或结论中含有参数时，我们可以采用消去参数法来解决． 例1、已知sin sin(3)m βαβ=+，1m ≠且ππ()2k k αβ+≠+∈Z ，π()2k k α≠∈Z ． 求证：1tan()tan 1mmαβα++=-． 分析：由于已知和结论中都含有参数m ，所以我们可以把已知变形，求出sin sin(2)m m βαβ=+，，代入1tan 1m m α+-化简，即可证得等式成立． 评注：在解答含有参数的等式证明问题时，我们往往可以采用这种办法．本例并未给出证明过程，同学们可试着自己完成．六、变换公式的方法使用任何一个公式都要注意它的逆向变幻，多向变幻，这是灵活，深刻地使用公式所必须的，尤其是三角公式众多，把这些公式变活，显得更加重要。
三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形应用。
如cos α＝ααsin 22sin ，tan α±tan β＝tan （α＋β）（1 tan αtan β）等。
例1：求值：212cos 412csc )312tan 32-︒︒-︒+（ 解：先看角，都是12°；再看“名”，需将切割化为弦，最后在化简过程中再看变换。
原式＝212cos 412sin 1)312cos 12sin 3(2-︒︒⋅-︒︒（切、割化为弦）=)112cos 2(12cos 12sin 212cos 312sin 32-︒︒︒︒-︒=︒︒︒-︒24cos 24sin )12cos 2312sin 21(32(逆用二倍角) =︒︒︒︒-︒︒24cos 24sin )60sin 12cos 60cos 12(sin 32（常数变换）=︒︒︒-︒24cos 24sin 2)6012sin(34（逆用差角公式）＝︒︒-48sin )48sin(34＝－４3（逆用二倍角公式）注：要养成逆用公式的意识，熟悉教材给出的三角基本公式的同时，如果我们熟悉其他变通形式常可以开拓解题思路。