第二十四章相似三角形习题24. 1月日星期1. 选择题:(1)（A）（B）（C）（D）(2)下面给出的图形中，不是相似形的是（）（A）由同一张底片印出来的原尺寸的照片和放大印出来的照片；（B）一张巨幅画像和用照相机把它拍出来的照片；（C）同一个人在平面镜和哈哈镜里看到的图像；（D）在两幅用不同比例尺绘制的地图上，上海市的边界线所围成的图形.(3)关于两个相似图形的特征，下列说法正确的是（）（A）形状、大小都相同；（B）形状、大小都不相同；（C）形状相同，大小不相同；（D）形状相同，大小不一定相同.(4)关于两个相似多边形的特性，下列说法正确的是（）（A）对应角都相等，且对应边的长度也都相等；（B）对应角都相等，但对应边的长度不全相等；（C）对应边的长度成比例，但对应角不一定相等；（D）对应角都相等，且对应边的长度成比例.2.在下列方格图中，分别画出一个与△ABC、四边形DEFG相似的图形.3.已知△ABC与△A´B´C´相似，并且A与点A´、点B与点B´、点C与点C´是对应顶点，其中AB、BC、CA 的长分别为6厘米、8厘米、10厘米.A´B´的长为4厘米，求B´C´、C´A´的长.4.如下图所示的两个相似四边形中，求未知边x 、y 的长度和角α的大小.11109αyx72︒83︒83︒72︒117︒18*5.(1)四个内角都对应相等的两个四边形一定相似吗？为什么？ (2)所有的等边三角形都一定相似吗？所有的菱形呢？为什么？**6.将一张长方形的报纸对折，对折后半张报纸构成的长方形与整张报纸构成的长方形相似，求这张报纸长与宽的比.习 题 24. 2(1)月 日 星期1.填空题：(1)A 、B 两地的实际距离AB=250米,画在地图上的距离A'B'=5厘米,则地图上的距离与实际距离之比为 .(2)已知a 、b 、c 、d 是比例线段,其中a=12厘米,b=3厘米,c=4厘米,则第四比例项d 的长度等于 . (3)如果线段m 是线段n 和p 的比例中项，那么列出的比例式为 . (4)已知线段a 、b 、c 、d.如果ab=cd,那么a ：d= . (5)如果23a b =，那么a bb += . (6)如果45x y =，那么x yy-= .(7)如果23a b b -=，那么ab = . (8)如果25a b a b -=+，那么ab= . 2.已知：a c b d =，求证：b a d c b d--=.3.已知:如图,点E 、F 分别在AB,CD 上,FCDFEB AE =. 求证：(1)AB DC EB FC =; (2)AB DCAE DF=.*4.已知△ABC 和△A'B'C '中,,32=''=''=''A C CA C B BC B A AB 且A'B'+B'C'+C'A'=24厘米,求△ABC 的周长. **5.已知x y y z z xk z x y+++===，求k 的值.习 题 24. 2(2)月 日 星期1.填空题:(1)已知点P 是线段AB 上的黄金分割点,AP>PB,AB=4厘米,那么线段AP,PB 的长分别是______厘米和_____厘米.(2)已知点P 是线段AB 上的黄金分割点,被分得的较长的线段PB=4厘米,那么较短的线段PA=____厘米,AB=_____厘米.(3)如果53a b a +=，那么a b = ，a bb -= . (4)如果578a bc ==，那么a b c += ，ab c=+ . (5)如果23a c e b d f ===，那么a c b d +=+ ，22a c eb d f+-=+- . (6)已知c 是a 、b 的比例中项，如果:2:3a c =，那么:b c = .2.已知:如图,四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O.求证：.CODCOBAOD AOB S S S S ∆∆∆∆=*3.已知△ABC 的三边2,4,3a b c ===，求,,a b c 三边上的高的比::a b c h h h .*4.如图,已知梯形ABCD 中,AB//DC,△AOB 的面积等于9平方厘米,△AOD 的面积等于6平方厘米. (1)求△BOC 的面积. (2)求OACOOB DO =的值.**5.如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,请利用线段之比可转化为面积之比的思想方法,求证:ACABDC BD =。

习 题 24. 3(1)月 日 星期1.填空题：(1)如图24.3(1)-1，在△ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE ∥BC.如果AD=4，DB=2，那么AE ∶AC= . (2)如图24.3(1)-1，在第(1)题中，如果AB=6cm ，AC=5cm ，BD=2cm ，那么CE= cm. (3)如图24.3(1)-2，AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O.如果AO=1.2，BO=1，CO=2.5，那么OD= .(4)如图24.3(1)-3，在平行四边形ABCD 中，E 是BA 延长线上一点，连接CE 交边AD 于点F.如果AF ∶FD=1∶2，那么EA ∶EB= .2.如图,已知BD 与CE 相交于点A,ED ∥BC,AB=8,AC=12,AD=6,求AE 的长.3.如图,已知△ABC 中,DE ∥BC,点D 、E 分别在边AB 、AC 上. (1) 如果AD=5,DB=3,AE=4,求EC 的长.(2) 如果AB=9,AD=6,AE=4,求AC 的长.(3) 如果AC=12,EC=4,DB=5,求AB 的长.图24.3(1)-1EDCBA图24.3(1)-2OD CBA图24.3(1)-3F EDCBAFE D C B A4.如图,已知AB ∥CD ∥EF,OB=16,BD=20,AC=15,CE=6,求OA 、DF 的长.*5.已知：如图，在△ABC 中，点D 、F 在边AB 上，点E 在边AC 上，且DE ∥BC ，FE ∥DC. 求证：AD 是AF 和AB 的比例中项.习 题 24. 3(2)月 日 星期1.如图,已知△ABC,BC ∥EF,点E 、F 分别在边AB 、AC 的延长线上,AB=6,BC=4,BE=3,CF=2. 求AC 、EF 的长.2.如图,已知点D 、E 分别在 ABC 的边BA 、CA 的延长线上,且DE ∥BC. (1)如果AD=3,AB=6,DE=4,求BC 的长.(2)如果52=BC DE ,CE=14,求AE 的长.3.如图,已知AD 是△ABC 的边BC 上的中线,G 是△ABC 的重心,EF 过点G 且平行于BC,分别交AB 、AC 于点E 、F.求AF:FC 和EF:BC 的值.4.如图，在△ABC 中，90C ∠=︒，AC=8，BC=6，求正方形CDEF 的面积.FEDCBA*5.如图,花丛中一根灯杆AB 上有一盏路灯A.灯光下,小明在D 点处的影长DE=3米,沿BD 方向走到点G,DG=5米,这时小明的影长GH=4米,如果小明的身高为1.7米,求路灯A 离地面的高度.**6.请将如图三角形形状的蛋糕(蛋糕厚度不计)切三刀,把它分成大小相等的六块.**7.如图是一个半径为10,圆心角为90°的扇形,点P是弧上一个动点(与A、B不重合).PH⊥OB,G是△POH 的重心,问点P在运动过程中,在PG,OG,HG这三条线段中,是否存在长度不变的线段？若存在是哪一条？它的长度等于多少？.习题24. 3(3)月日星期1.已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上,AD=3厘米,DB=4厘米,AE=1.8厘米,CE=2.4厘米.那么DE与BC 是否平行？C'B'A'O CBA2.已知:点D 、E 分别在△ABC 的边AB 和AC 的延长线上,BD=2AB,CE=2AC.求证:DE ∥BC.3.已知:如图,点O 在△ABC 内部,点D 、E 、F 分别在线段OA 、OB 、OC 上,且DE ∥AB,EF ∥BC. 求证:DF ∥AC.4.已知：如图，OA'=4，OA=6，OC'=5，CC'=2.5，且A'B'∥AB ，求'C'CB B .*5.已知：如图，2,3, 4.55AD AE DE BF AC AB ====，EF 与AC 是否平行？为什么？ FEDCBA11*6.已知：如图，在Rt △ABC 的斜边BC 上任取一点D ，过点D 分别作AC 、AB 的平行线，交AB 于点E ，交AC 于点F. (1)求证：AE CFEB FA. (2)EF 能否平行于BC ？如果能，指出此时点D 在边BC 的什么位置；如果不能，请说明理由.FE DCBA习 题 24. 3(4)月 日 星期1.如图,已知AD ∥EF ∥BC.(1)如果AE=4,DF=5,EB=6,求FC 的长. (2)如果AE:EB=2:3,FC=6,求DF 的值.2.如图,直线1l 、2l 、3l 分别截直线4l 于点A 、B 、C,截直线5l 于点D 、E 、F,且1l ∥2l ∥3l . (1)如果AB=4,BC=8,DE=6,求EF 的长. (2)如果DE:EF=2:3,AC=15,求AB 的长.12 F E CBA3.已知线段a 、b 、c,求作线段x,使ab=cx.*4.如图,在梯形ABCD 中,AB ∥EF ∥CD,AB=5,EF=14,BF:FD=3:2,求DC 的长.(提示设法构基本造图形)*5.已知：如图，在平行四边形ABCD 中，P 是对角线AC 上任意一点，过点P 作两条直线，分别与AD 、BC 相交于E 、G ，与AB 、DC 相交于点F 、H.求证：EF ∥HG.HP F GEDCBA**6.已知：如图，在△ABC 中，AB=8，BC=9，AC=10，EF ∥BC ，且三角形AEF 与梯形BCFE 的周长相等.求EF 的长.13习 题 24. 4(1)月 日 星期1.如图,已知点D,E 分别在△ABC 的边AB,AC 上,DE//BC,CD 与BE 相交于点O,那么,图中有哪几对三角形是相似三角形？2.如图,△ADE ∽△ABC,其中点D 与点B,点E 与点C 是对应顶点,且相似比k=32,已知BC=9,AE=5,∠AED=80 .求DE,AC 的长及∠C 的度数.*3.已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AD=3，AB=4，BE=2. (1)图中共有几对相似三角形？它们的相似比分别是多少？ (2)求DG:GF:FE.DAFGECB14习 题 24. 4(2)月 日 星期1.根据下列条件判定△ABC 和△DEF 是否相似,如果相似,请用符号表示出来. (1)∠A=∠D,AB=12厘米,AC=15厘米,DE=4厘米,DF=5厘米. (2)∠A=∠E,AB=12厘米,AC=15厘米,ED=20厘米,EF=16厘米. (3)∠A=∠E,AB=12厘米,AC=15厘米,DE=4厘米,DF=5厘米.2.两个等腰三角形一定相似吗？顶角对应相等的两个等腰三角形相似吗？为什么？* 3选择题（1）. 在下列命题中，真命题是…………………………………………………（ ） （A ）两个钝角三角形一定相似； （B ）两个等腰三角形一定相似； （C ）两个直角三角形一定相似； （D ）两个等边三角形一定相似如（2）在△ABC 中,直线DE 分别与AB 、AC 相交于D 、E,下列条件不能推出△ABC 与△ADE 相似的是…………………………………………………………………( ) （A ）EC AE BD AD = （B ）∠ADE=∠ACB （C ）AE•AC=AB•AD (D) BCDEAB AD =（3）下列各组图形有可能不相似的是……………………( )（A ）各有一个角是︒45的两个等腰三角形 （B ）各有一个角︒60是的两个等腰三角形 C ）各有一个角是︒105的两个等腰三角形 （D ）两个等腰直角三角形15D C BA习 题 24. 4(3)月 日 星期1.求证:底角对应相等的两个等腰三角形相似.2.已知:在△ABC 中,∠C=90°,CD 是斜边AB 上的高.求证: △ACD ∽△CBD ∽△ABC.3.已知△ABC 和△DEF 中,AB=2厘米,BC=3厘米,CA=4厘米,DE=7.5厘米,EF=10厘米,FD=5厘米.这两个三角形相似吗？为什么？4.已知：如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ACD=∠ABC ，AB=8，AD=6，求AC 的长.习 题 24. 4(4)月 日 星期1.已知:如图,△ABC 是等边三角形,点D 、E 分别在边BC 、AC 上,∠ADE=60°. 求证: △ABD ∽△DCE.162.已知:如图,在正方形ABCD 中,点E 是边CD 的中点,点F 在边BC 上,且BC=4CF. 求证: △ADE ∽△ECF.3.如图,方格纸上各方格的边长为1个单位,点A 、B 、C 、D 在小正方形顶点的位置上,试判断△ADB 与 △ACD 是否相似,并说明理由.4.如图,△ABC 和△DEF 在44 的正方形网格中,它们的顶点都在边长为1的小正方形的顶点位置.试判断△ABC 与△DEF 是否相似,并证明你的结论.5.已知：如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，且∠ACD=∠B ，AC=5cm ，AD=3.5cm ，求AB 的长.17DCBA*6.已知：如图，90AOD ∠=︒，点B 、C 在线段OD 上，1OA OB BC CD ====. 求证：(1)△ABC ∽△DBA;(2)12390∠+∠+∠=︒321DACBO**7.已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在边AC 上，点E 在边AC 的延长线上，且2AC AD AE =⋅.求证：(1)△ABD ∽△AEB;(2)BC 平分∠DBE.18习 题 24.4（5）月 日 星期1. 已知:如图,AD 、A 1D 1分别是△ABC 与△A 1B 1C 1的中线,且111111D A ADC B BC B A AB ==.求证:△ABC ∽△A 1B 1C 1.2. 已知:如图,点D 、E 分别在线段AB 和AC 上,AD ·AB=AE ·AC,点F 是BE 与CD 的交点. 求证:△FDB ∽△FEC.3. 如图,已知△ABC 中,点D 在边AC 上,AB=12厘米,AC=8厘米,AD=6厘米.当点P 在边AB 上的什么位置时,△ADP 与△ABC 相似?**4. 如图,在平面直角坐标系中,A(4,0),B(0,2),请在x 轴上求一点C,使以C,O,B 为顶点的三角形与△AOB 相似.19**5. 已知:如图,在△ABC 中,AB=8,BC=5,AC=7,E 是AC 上一动点,EF ∥AB,ED ∥BC,设CE 为x,四边形DEFB 的周长为y,写出y 与x 的函数解析式及自变量的取值范围.习 题 24.4（6）月 日 星期1. 已知:如图,在Rt △ABC 中,∠C=900,点D 在边BC 上,且ACBCDA AB .求证:∠B=∠DAC.202. 已知:如图,在△ABC 与△A 1B 1C 1中,AB=AC,A 1B 1=A 1C 1,BD ⊥AC,B 1D 1⊥A 1C 1,垂足分别为D 、D 1,且1111C B BCD B BD求证:△ABC ∽△A 1B 1C 1.*3. 如图,已知梯形ABCD 中,AD ∥BC,∠A=90゜,AD=2,BC=3,AB=7,P 是边AB 上的一点.当点P 在何处时,△APD 与△BPC 相似?**4.已知:△ABC 中,∠C=900,AC=3,BC=4,以AC 为直角边,在△ABC 的形外作△ACD,当CD 等于多少时,以A 、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似? 为什么？习题24.4（7）月日星期1.已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D、E分别是边AB、AC的中点.求证: △ABC∽△CDE.*2.如图,AD是Rt△ABC的斜边BC上的中线,CE⊥AD,点F为垂足.求证: △AEC∽△ACB.2**3.已知: △ABC中,AB=AC,BD⊥AC,点D为垂足,请证明:CABC⋅CD=2**4.如图,矩形ABCD,点F是AD的中点,点E在AB上,且EF⊥FC,则图中哪几个三角形一定相似？请证明你的猜想的正确性.习题24.5（1）月日星期1. 已知一个三角形的三边之比为2:3:4,与它相似的另一个三角形的最大边长为20厘米,求另一个三角形的其他两边的长.2. 已知△ABC∽△A1B1C1,顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应,AC=12厘米,A1C1=8厘米,△ABC的高AD为6厘米.求△A1B1C1的高A1D1.*3. 求证:相似三角形对应中线的比等于相似比.**4. 已知:如图,△ABC ∽△A 1B 1C 1,顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应,点D 、D 1分别在边BC 、B 1C 1上,且DC BD 31=，113111C D D B =.求证：1111B A ABD A AD =.习 题 24.5（2）月 日 星期1. 已知△ABC ∽△A 1B 1C 1,顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应,它们的周长分别为30厘米和36厘米,且BC=6厘米,A 1C 1=5厘米.求AC 、B 1C 1的长.2. 已知△A ′B ′C ′∽△ABC,顶点A 、B 、C 分别与A ′、B ′、C ′对应,AB=6厘米,BC=9厘米,CA=12厘米,△A ′B ′C ′的周长为81厘米.求△A ′B ′C ′的各边长.3. 如图,已知E 是矩形ABCD 的边AD 上的点,AE:ED=1:2,CE 与BA 的延长线交于点F.求FBCS CDE S ∆∆的值.4. 如图,已知点D 、E 分别在△ABC 的边AB 和AC 上,DE ∥BC,S △ADE :S 四边形DBCE =1:2,求AD:DB.习 题 24.5（3）月 日 星期1. 已知两个相似三角形的一组对应边长分别是35厘米和14厘米. (1) 如果它们的周长相差60厘米,求这两个三角形的周长.(2) 如果它们的面积相差420平方厘米,求这两个三角形的面积.2. 如图,已知AD是Rt△ABC的斜边BC上的高,AC=20,AB=15.求AD、BD、CD的长.3. 已知点D、E分别在△ABC的边AB和AC上,DE∥BC,△ABC的面积为S,BC=a,△ADE的面积为S1.求DE的长(用字母S、S1、a的代数式表示).*4. 如图,已知△ABC中,点D、F在边AB上,点E、G在边AC上,平行于BC的直线DE和FG将△ABC的面积分成相等的三部分,BC=15厘米.求DE、FG的长.**5.已知△ABC,如果要作与BC平行的直线把△ABC划分成两部分,使这两部分(三角形与四边形)的面积之比为1:1,该怎么作?(1)若设与BC平行的直线交AB于点P,则AP:AB=______.(2)若要使划分成的两部分的面积之比为1:2,则AP:AB=______;若要使划分成的两部分的面积之比为1:n,则AP:AB=_______.***6. 如图,点P是△ABC的边BC上的一个动点,过P作PE∥AB,PF∥AC.若BC=5,S△ABC=S,问当BP为多少时,S四边形AFPE =2512S?习 题 24.5（4）月 日 星期1. 把同一个三角形地块按不同的比例尺画成甲乙两个图.设甲图的比例尺为1:200,乙图的比例尺为1:1000,求甲图与乙图的相似比和面积比.2. 已知:如图,点O 在△ABC 的内部,点D 、E 、F 分别在线段OA 、OB 、OC 上,OCOFOB OE OAOD==.求证:△ABC ∽△DEF.3. 已知:如图,BE 、CF 分别是△ABC 的边AC 、AB 上的高,BE 与CF 相交于点D. (1) 求证:△ABC ∽△AEF. (2) 如果∠A=600,求ABCS AEF S ∆∆的值.*4. 如图,△ABC 表示一块直角三角形空地,∠ABC=900,边AB=80分米,BC=60分米.现要在空地内划出一个正方形区域建造水池,这个正方形的四个顶点必须在△ABC 的边上.请你在图中画出一个符合要求的正方形,并求这个正方形的面积.再想一想,怎样设计才能使划出的正方形区域的面积最大?*以下各题供选用:1. 如图,DE ∥BC ∥AF,DE:BC=1:2,则=∆∆BCAS DEAS ；=∆∆CEDS CAFS ；=∆∆AFC S AFDS ；=∆∆ABCS AFCS .（填比值）2. 在下列条件下图中各有哪几对三角形相似. (1) 如图(1),DE ∥BC,DC 、EB 交于点H;(2) 如图(2),CD 、BE 交于点H,且∠ABE=∠ACD;(3) 如图(3),CD ⊥AB,BE ⊥AC,CD 、BE 交于点H.3.(1) 如图,在△ABC 中,∠BAC=1200,D 、E 在BC 上,且△ADE 是等边三角形,则图中哪几个三角形相似?(2) 如图(2),在△ABC 中,∠BAC=1350,D 、E 在BC 上,且△ADE 是等腰直角三角形,∠DAE =900.求证：221DE CE BD =∙.(3) 已知:如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=900,以A 为顶点的450的角在△ABC 形内绕点 A 旋转,角的两边分别交BC 于点E 、F.① 找出图中相似的三角形; ② 求证:AB 2=BF · CE.4. 已知:如图,AD 是△ABC 的边BC 上的高,且AD 是BD 、DC 的比例中项.求证:△ABC 是直角三角形.5. 如图,梯形ABCD,AD∥BC,对角线AC,BD交于点O.若S四边形ABCD=25,S△AOB=6.求AD与BC的比值.6. 如图,四边形DEFG为△ABC的内接矩形,∠A=900,D在AB上,G在AC上,EF在斜边BC上,AB=3,AC=4.27时,求BE,FC的长.(1) 当矩形DEFG的周长为425时,求矩形DEFG的周长.(2) 当S△DEB+S△GFC=67. 如图,在△ABC中,AB=AC=20,BC=30,点P从B点出发,沿BA以每秒4个单位的速度运动,同时点Q从C点出发,沿CB以每秒3个单位的速度运动,问几秒后,△BPQ与△CAQ相似?8. 如图,已知△ABC是等腰三角形,AB=AC=5,BC=8,点P是BC边上一动点(点P与B、C不重合),且∠APD=∠B.(1) 图中有哪几对三角形相似?(2) 当点P运动到什么位置,则图中(除△ABC外)所有的三角形都相似?(3) 若BP=x,AD=y,请写出y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围.(4) 点P在运动过程中,△APD是否有可能为等腰三角形?若能,请求BP的长;若不能,请说明理由.9. 给一版墙报镶边,需要4cm宽的彩色纸条48cm,现有如图一张三角形彩色纸零料,其中BC=25cm,BC边上的高为20cm.小慧给出一种裁纸方法:将AB,AC分别五等分,然后如图联接两边对应的点,并以这些连接线为一边作矩形,剪出这些小矩形纸条,用来为墙报镶边.问小慧这种方法能满足这版墙报镶边的需要吗?请说明理由.习题24.6（1）月 日 星期1.如图，已知平行四边形ABCD ，设=、=、在图中画出向量32，21-，)(21+.2.已知△ABC 中，BC 、CA 、AB 的中点分别是D 、E 、F ，设a BC =、b CA =. （1）用向量a 、b 分别表示、、. （2）求++.3.已知向量a AB =，求作向量a 2OC -=，a 32PQ =.*4.如果实数m 、n 都不为零，且m ≠n ，a 是非零向量，那么向量a m 与a n 是否平行？为什么？习 题 24.6（2）月 日 星期1.判断下列语句是否正确，如果不正确，请改正。