非负数的算术平方根仍然是非负数。 性质 1： a ≥0 (a≥0) （非负性）
引例：|a-1|+(b+2) 2=0 , 则 a=
b=
例 4：已知 a+2 +|3b-9|+(4-c)2=0, 求 2a-b+c 的值。 解：∵ a+2 ≥0、|3b-9|≥0、(4-c) 2≥0，
又∵ a+2 +|3b-9|+(4-c) 2=0, ∴a+2=0 , 3b-9=0 ,4-c=0 。 ∴a= -2 , b= 3 ,c= 4。 ∴2a-b+c=2×(-2) -3+4 = -3。
与 （ √ a ） 是一样的吗？ a 你的理由是什么，请小组讨论一下。
3.
2
1、什么叫做二次根式？ 形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式。 2、二次根式有哪两个形式上的特点？ （1）根指数为 2；
课堂小结
（2）被开方数必须是非负数。 3、二次根式具有哪些性质？
性质 2：( a )2 = a (a≥0)
注意：
a b
×
a
b
问题1： (4) (9)× 4 9
52 32 × 52 32
？
9 16 ？ 问题2： 9 16×
例题：计算
(1) 7 6
1 (2) 32 2
想一想： a2 等于什么呢？
性质 3：当 a≥0 时， a2 = 当 a＜0 时， a2 = 也就是说： a2 =
算一算：(1) (3) （-9） 64
2
a -a
； 。
1 2 ( ) 3
|a| 。
(2)
(4) (x2+1)2
a a
2
a ( a >0 ) 0 ( a =0 ) -a ( a <0 )
性质 3：当 a≥0 时， a2 = 当 a＜0 时， a2 = 也就是说： a2 =
性质 1： a ≥0 (a≥0) （非负性）
a -a |a|
； 。
。
二次根式的乘法
复习
1、什么叫二次根式？下列各式哪些是二 次根式？哪些不是？为什么？
160, 3a 5 ,
2
13, 4a
2
3
27,
a,
2、填空
( a ) _____( a 0)
2
a ______( a是任意有理数 )
2
( 0.5 ) ________
2
(7) ________
2
( 7 ) ________
2
3、计算
6 4 9 36 62 6
2 20 16 25 400 20 20
想一想： 10 、 -5 、 8 5 3 、 (-2)2
2
3
a (a＜0﹚、
a +0.1 、 -a (a＜0﹚是不是二次根式？
例1 : 判断，下列各式中那些是二次根式？
a 10
5,
定义：式子
0. .04 04 ,
a a ,,
3
aa ,
2
2
,
8
叫做二次根式。
a (a 0)
其中a叫做被开方式。
6 4 9 23 6
16 25 4 5 20 20

49
4 16
9 25
16 25
4、请同学们根据以上例子讨论、归纳总结出一般规律
二次根式乘法运算规律公式
a b a b（a≥0,b≥0)
积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方 根的积。
a
归 纳
由
a aa 0,可以得
2
a 2 a 0 。
利用这个式子，可以把任何一个非负数写成 带有“ ”的形式，例： 5 25,
0.9 0.81
试一试
1.计算下列各题: (1)
15
2
2
(2)
2
1 5
2
2.若 (1 x ) 1 x ,则x的取值范围为 ( ) A. x≤1 B. x≥1 C. 0≤x≤1 D.一切有理数
二次根式的性质（２）
想一想
a a 0
2
等于什么?请举例验证.
性质２： a a, (a 0)

2

试一试（3）计算: 2 2 5 = 3 = 3 2
5 2

0.04 = 0.04

2
我们已经得到:
根据等式的定义，可得
a
2
a
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正数有两个平方根且互为相反数；
1、平方根的性质： 0有一个平方根就是它0； 负数没有平方根。
1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？
2、0的平方根是什么？0的算术平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？
正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。
a
a , ( a 0)
2
。
利用这个式子，我们可以把任何一个非负数 2 写成一个数的平方的形式。如 4= 4 。

试一试（4）把下列各数写成平方的形式：
3=
3
2
5 5 ， 2 2
2
0.04

0.04

2
二次根式的性质（３）
算一算： 02 = 0 ； 22 = 2 ； （-2）2 = 2 ； 32 = 3 ； （-3）2 = 3 。
2、 a 表示什么？ 表示非负数a的算术平方根
试一试 ：说出下列各式的意义；
1 16, 81, 0, , 0.04; 49
观察：
上面几个式子中，被开方数的特点？ 被开方数是非负数
1.二次根式的概念
a (a≥0)表示非负数 a 的算术平方根，
形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式。
它必须具备如下特点： 1、根指数为 2； 2、被开方数必须是非负数。
不要忽略
例 2：要使 x-1 有意义，字母 x 的取值必须满足 什么条件？ 解：由 x-1≥0，得 x≥1。
问：将式子 x-1 改为 1-x ，则字母 x 的取值必须 满足什么条件呢？
例 3：要使 什么条件？
x-2 有意义，字母 x 的取值必须满足 x-3
解：由 x-2≥0，且 x-3≠0,
得 x ≥2 且 x ≠3 。 x-2 想一想： 假如把题目改为： 要使 有意义， x-1
字母 x 的取值必须满足什么条件？x≥2
想一想：一个正数的算术平方根是 正数。
0 。 没有 负数有没有算术平方根？
零的算术平方根是
做一做: 要使下列各式有意义，字母的取值必 须满足什么条件？ 1、 x+3 3、 1 x 2、 2-5x 4、 a2+1 x-1 6、 x-2
5、 x-3 + 4-x
二次根式的性质（１）