细长压杆在临界载荷作用处于不稳定的直线形态，但 其材料处于线弹性范围内。
一、两端铰支细长压杆的临界载荷
思路：压杆在微弯时的最小压力Fmin = Fcr。
F x
l
F 弯矩方程 M(x) F w(x)
压杆挠曲轴近似微分方程
d2w( x) dx 2
M(x) EI
M(x) F w(x)
d2w( x) dx 2
§16-5 压杆稳定的合理设计
一、选择合理的截面形状
2EI Fcr (l )2
1.提高截面惯性半径或惯性矩：在不增加截面面积的 情况下，截面面积尽量离截面形心远处分布。
2.压杆两端各方向挠曲平面内具有相同约束条件时， 尽量使截面的最大和最小惯性矩相近或相等。
My Wy
21.65 103 21.5 104
15.63 103 102106
163MPa
所以AB 梁是安全的。
⑵ 压杆CD 的安全校核 由平衡条件可求得压杆CD 所受力
FNCD 2F sin 30o 25kN
iy
d 4
20 4
5mm
l
iy
1 0.55 5 103
110 P
压杆CD 属于大柔度杆，用欧拉公式计算临界载荷
Fcr
cr A
2E 2
A
2 206109
1102
202 106 4
52.8kN
n
Fcr FNCD
52.8 25 2.11 nst
所以压杆CD 是安全的。
例：图所示压杆，两端为球铰约束，杆长l = 2.4m ，杆由两根 125×125×12 的等边角钢铆接而成。铆钉孔直径为23mm 。若压 杆承受轴向压力F = 750kN ，材料为Q235 钢，[σ] = 160MPa 。试 校核此结构是否安全。
iy 0.0383 查表得 0.828
st 0.828160 132MPa
F A
750 103 57.8102 106
130MPa
st
所以压杆稳定性是安全的。
⑵ 压杆强度校核
F A1
750 103 (57.8102 2 2312)106
143MPa
所以压杆强度是安全的。
cr
nst
st
压杆安全工作条件
cr
nst
st
稳定安全因素
n cr Fcr F
n nst
折减因素
st
st
例：由Q235钢制成的压杆，两端铰支，其屈服强度σs =
235MPa ，比例极限σP = 200MPa ，弹性模量E=200GPa，
杆长l = 700mm ，截面直径d = 45mm ，杆承受Fmax = 100kN 。稳定安全因数nst = 2.5。试校核此杆的稳定性。
一、稳定失效实例
·足够的强度 ·足够的刚度 ·足够的稳定性
第十六章 压杆稳定 §16-1 稳定性概念
构件抵抗破坏的能力 构件抵抗变形的能力 构件保持原有平衡状态的能力
压杆稳 定失效
二、平衡的稳定性
稳定的平衡
非稳定的平衡
三、压杆的稳定性问题
当压力小于某值，压 杆保持直线平衡，在任 意小的扰动下，压杆偏 离直线平衡位置。但当 扰动除去后，压杆回到 原来直线平衡位置。
当压力超过某一数值， 压杆直线平衡形式突然 转变为弯曲形式，致使 构件丧失正常功能
压杆失稳：压杆不能保持其直线平衡形态而变弯的现象。
F Fcr
F Fcr
F Fcr
Fcr为稳定直线平衡状态的最高载荷，弯曲平衡状 态的最低载荷，即压杆失稳的临界载荷。
§16-2 临界载荷的欧拉公式
·线弹性稳定问题
解： ⑴ 梁的强度校核（拉伸与弯曲的组合） 经过分析，AB 的危险截面为C 截面
FN F cos 30o 25 0.866 21.65kN
My F sin 30o l1 250.51.25 15.63kN m
查型钢表
Wy 102106m3 A 21.5104m2
max
FN A
M(x) EI
设 k2 F EI
d2w( x dx 2
)
k
2w(
x)
0
F
x l
F
方程一般解
w( x) Asin kx B cos kx
边界条件 x0
w(0) A 0 B 1 0
x l w(l) A sin kl B cos kl 0
解得： B 0 sin kl 0
（为什么A 、B 不能同时等于0 ？）
1602 106 4
3210kN
例：Q235 钢制成的矩形截面杆的受力及两端约束状况如图所 示，其中a 为正视图，b 为俯视图。在二处用螺栓夹紧。已知l = 2.3m ，b = 40mm ，h = 60mm ，材料的弹性模量E = 205GPa ， 求此杆的临界载荷。
解：在正视图平面（xy 平 面）内失稳，A 、B 处可自 由转动，即两端为铰链约束
§16-3 临界应力与临界应力总图
一、临界应力与柔度
1.临界应力
压杆处于各种临界状态时横截面上的平均应力
cr
Fcr A
2.柔度
对于细长杆
cr
Fcr A
2 EI (l)2 A
2E 2
柔度
l
i
i I（截面对弯曲中性轴的惯性半径） A
i I （截面对弯曲中性轴的惯性半径） A
圆截面：
I d 4 / 64 d
解：根据欧拉公式
2 EI 3 Ed 4 3 200 109 204 1012
Fcr (l )2 64 (l )2
64 (1 0.8)2
24.2kN
此时横截面上的正应力
Fcr A
4 24.2103
202 106
77MPa P
表明压杆处于线弹性范围，所以用欧拉公式计算无误。
Fcr
2EI ( l )2
l 相当长度
2EI Fcr (l )2
杆端约束条件 两端铰支 一端固定一端自由 两端固定 一端固定一端铰支
长度系数 1.0 2.0 0.5 0.7
例：两端铰支压杆如图，杆的直径d = 20mm ，长度l = 800mm ，材 料为Q235钢，。求压杆的临界载荷。
压杆平衡稳定
压力小于一定的数值 时，压杆的直线平衡是 稳定的。
压杆平衡非稳定
当压力达到一定数值，压 杆仍具有直线平衡方式；在 外界扰动下，压杆偏离直线 平衡位置，但当扰动除去后， 在某一弯曲状态下达到新的 平衡
压力达到一定的数值时， 压杆存在直线和弯曲两种 平衡形式，压杆的直线平 衡是不稳定的。
压杆失稳
cr A
2E 2
A
2 200109 25.48104
105.52
473kN
钢柱的许可载荷
F2
Fcr nst
473 3
157.7kN
例：图所示结构中，梁AB 为No.14 普通热轧工字钢，支承的杆 直径d = 20mm ，二者的材料均为Q235钢。结构受力如图所示，A 、B 、C 三处均为球铰约束。已知F = 25kN ，l1 = 1.25m ，l2 = 0.55m ，E = 206GPa 。规定稳定安全因数nst = 2.0 ，梁的许用应力 [σ] = 170MPa 。试校核此结构是否安全。
小柔度杆发生屈服（塑性材料）或断裂（脆性材料 ），临界应力
cr
s b
（塑性材料） （脆性材料）
( s )
三、临界应力总图
例：图所示压杆，其直径均为d ，材料都是Q235，但二者的 长度和约束都不同。⑴ 分析哪一根杆的临界载荷较大。⑵ 若d = 160mm ，E = 205GPa ，计算二杆的临界载荷。
解：⑴ 两槽钢靠紧
查型钢表得
A 212.74 25.48cm2
Imin I y 2 54.9 109.8cm4
imin iy 两端固定
Iy A
109.8 2.08cm 25.48
0.5
l
iy
0.5 7 2.08 102
168
P
168 P 钢柱属于大柔度杆，用欧拉公式计算临界载荷
Iy 2(25.6 3.022 12.74) 285cm4
iy
Iy A
285 3.32cm 25.48
Imin I y 285cm4 两端固定
imin i y 3.32cm
0.5
l
iy
0.5 7 3.32 102
105.5
P
钢柱属于大柔度杆，用欧拉公式计算临界载荷
Fcr
i
A
d2 /4
4
矩形截面： i
Imin
hb3 / 12
b
A
bh 2 3
二、三类不同压杆及其临界应力表达式
1.大柔度杆（细长杆）
在线弹性范围内失稳，临界应力采用欧拉公式计算。
cr
2E 2
P
2E P
P
大柔度杆：
P
P
2E P
cr
2E 2
2.中柔度杆（中长杆）
中柔度杆发生弹塑性失稳，欧拉公式不适用。临界 应力一般采用经验公式计算。
cr a b 304 1.12 62.2 234.34MPa
Fcr
cr A cr
d2
4
234.34106
452 106 4
372.7kN
⑶ 校核压杆稳定性
n
Fcr FN max
372.7 100
3.7
nst
所以压杆的稳定性是安全的。
例：钢柱长为l = 7m ，两端固定，材料是Q235钢， 规定稳定安全因数nst = 3 ，横截面由两个10号槽钢组成 。已知E = 200GPa ，试求当两槽钢靠紧和离开时钢柱的 许可载荷。