0 0
v 1.若直线 过点P(x ),方向向量 方向向量为 1.若直线 l 过点P(x0,y0),方向向量为 d = (u, v).
则可得: 则可得:
y
v(x − x 0 ) = u(y − y 0 0 0 v d = (u, v) x
*当 u ⋅ v ≠ 0 时,直线 l 的点方向式方程为: 点方向式方程为 *当 u = 0, v ≠ 0 时,直线 *当 u ≠ 0, v = 0 时,直线
解 (1) ⇒ 线 AC中 E(2,4) ： 段 点 BE = (−2 3)是 BE的 个 向 量 ， l 一 方 向 x − 4 y −1 ∴ AC中线所在直线方程为： = 即 x + 2y −14 = 0 3 −2 3 (2) ⇒ d = (−1 5)是 中 线 一 方 向 ， BC 位 的 个 向 量 x −2 y −4 = ∴BC中位线所在直线方程为： 即 x + y −14 = 0 5 −1 5 5 3 1 5 或AB中点F( , ), FE = (− ，)是lFE的一个方向向量 2 2 2 2 x ∴lFE的点方向式方程是：− 2 = y − 4
与直线l平行的向量叫做直线l 的方向向量；
(1)直线l 的方向向量不唯一．
已知点A(x1，y1)和B(x2，y2 )是直线l 上不同 两点 x1 ≠ x2且y1 ≠ y2 )，求直线l 的方向向量． (
方向向量d = (x2 − x1，y2 − y1)
仔细阅读课本page 11仔细阅读课本page 5 图11-1以下的内容 直线的点方向式方程的推导
a(x − x0 ) + b( y − y0 ) = 0
③
l
n = (a, b)
d = (u, v)
2 （ ）：若直线的一个方向向量是d = (u, v) 则它的一个法向量是n = (v,−u) 反之，若直线的一个法向量是n = (a, b) 则它的一个方向向量是d = (b,−a)
练习：观察下列方程，并写出各直线 的一个方向向量和一个法向量。
答案：P(2,2), d = (5,2)
一般地，ax + by + c = 0 的一个方向向量是d = (b,−a)
④ ⑤
x = -2 答案：P(-2,0), d = (0,1)
y -3 = 0
P(2,3), d = (1,0)
2.直线的点法向式方程
（） 1 .已知直线l经过点P( x0 , y0 ) 且与非零向量n = (a, b)垂直 的直线方程是：
（x2 − x1 ≠ 0， y2 − y1 ≠ 0 ）
(4).观察下列方程，并指出各直线 必过的一点和它们的一个方向向量。
x −3 y −5 = ① 3 4
答案：P(3,5), d = 3 4 （， ）
②
− 4( x − 4) = 7( y − 6)
P(4,6), d = 7，4 （ − ）
③
2x − 5 y + 6 = 0
（u,v至多有一个可以为零）
(2)对于直线ax + by + c = 0
d 一个方向向量： = (b,−a) 直线化为：ax＝−by − c c c ⇒ ax + ＝− by − 2 2 c c ⇒ a x + ＝− b y + 2b 2a c c x+ y+ 2b 2a ＝ ⇒ b −a
1.直线的方向向量 直线的方向向量
上两点， 设 P , P2 是直线 l 上两点，则向量 1 零向量称为直线 l 的方向向量
v v1
P
2
P P2 1
或与
P P2 1
平行的非
l
v v2
P
1
O
图1
uuuu uuuu ur uu r r r 如图１ 如图１中，非零向量 P P2 , P2 P , v1 , v2 都是直线 l 的方向向量 1 1
点方向式方程 1.“直线的方向向量”的定义：与直线 l 平行的 直线的方向向量” 直线的方向向量 的定义： 的一个方向向量; 向量 d 叫做直线 l 的一个方向向量 d 的坐标 (u,v)就是直线 的一个方向向量的坐标 就是直线l的一个方向向量的坐标 就是直线 的一个方向向量的坐标. 问题探究:已知直线 经过点P(x 且与l平行的一 问题探究 已知直线 l 经过点 0,y0),且与 平行的一 且与 方程. 个向量 d =(u,v) , 求这条直线 l 的方程 上任意一点Q( 设直线 l 上任意一点 x , y ) y 则P Q=( x-x0 , y-y0 ) // d =( u , v ) P( x0 , y0 ) ⇔v (x-x0) = u(y-y0,) 直线 l 当uv ≠ 0时,直线的点方向 时 直线的点方向 d = ( u,v ) o x 式方程是: 式方程是 x − x = y − y u v
x +1 y − 2 （） 1 = −1 2 2x −1 (2) = −3 y 5
答案：（） = −1 2），= 2， 1d （ ， n（1 ）
（ ） = 2，） = −15， 2 n （ 15 , d （ 2 ）
的方程是: l 的方程是: x = x 0 的方程是: l 的方程是: y = y 0
x − x0 y − y 0 = ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (1) u v
**与直线 的方向向量. **与直线 l 平行的非零向量都可作为直线 l 的方向向量.
1.直线的点方向式方程：
(1)过点P( x0 , y0 )且与非零向量 d = (u, v)平行的直线的方程是
−1 2 5 2
例．已知A(1 2)、B(4， C(3 6)为三角形三个顶点， 1 ， 1)、 ， (1)求AC中线所在直线的方程； (2)求BC中位线所在直线的方程．
(2). 过两点P (x1, y1)与P (x2 , y2 ) 1 2 的直线方程是
x − x1 y − y1 = x2 − x1 y2 − y1
或 : v( x − x0 ) = u ( y − y0 )
x − x0 y − y0 = u v
② ①
注：直线l的方向向量d可以在直线l上。 点方向式方程的推导源头来自向量平行。
直线的点方向式方程
x − x0 y − y0 = u v
（u,v均不为零）
或 : v( x − x0 ) = u ( y − y0 )