−[ 5 7 = ( π − )a 4 16 12 = 0.398a 4 a4 2 2 + a2 ⋅ ( a) ] 12 2
z
a a
0
α
y
(a )
解：
1 (2 R) 3 2 R 1 π (2 R) 2 ]−[ ⋅ ] I y = I y1 − I y2 = [ ⋅ 4 12 4 64 16 − 3π 4 R = 48 = 0.137 R 4
I yCi I zCi + ai bi Ai = I yC I zC
-0.426 -0.813 -0.426 -0.813
Ι
1.6
ΙΙ 0.84 -1.18 0.82 0.0112 1.17 1.181
∑
2.44
3.926
-1.239
4
材料力学作业（三）
平面图形的几何性质
一、求图示图形形心的位置。 解： y A + y 2 A2 y= 1 1 A1 + A2
a 2 ⋅ a + a ⋅ 2a 2 5 2 = = a 2 2 6 a + 2a z A + z 2 A2 5 z= 1 1 = a 6 A1 + A2
Ι
ΙΙ
二、计算半圆形对形心轴 y C 的惯性矩。 解：
z
R
0
y
(b )
2
材料力学作业（三）
平面图形的几何性质
四、求图示平面图形(a)对 y 、 z 轴的惯性矩和平面图形(b)对 y 轴的惯性矩。
解：
(a) I y =
1 ⎡ 2a (2a) 3 πa 4 ⎤ 2 π )a 4 = 0.642a 4 − ⎢ ⎥=( − 2⎢ 64 ⎥ 3 128 ⎣ 12 ⎦ 1 ⎡ 2a (2a) 3 πa 4 ⎤ 2 π Iy = ⎢ )a 4 = 0.642a 4 − ⎥=( − 2⎣ 12 64 3 128 ⎢ ⎥ ⎦
2
d4 = I y − Az = − = 0.00686d 4 128 18π
πd 4
1
材料力学作业（三）
平面图形的几何性质
三、求图示各图形阴影部分对 y 轴的惯性矩。 解： π ( 2a ) 4 π ( 2a ) 2 2 2 + ( I y = I y1 − I y2 = [ a) ] 64 4 2
⎡ 80(100) 3 π (32 × 2) 4 ⎤ 6 4 (b) I y = ⎢ − ⎥ = 5.84 × 16 mm 64 ⎢ ⎥ ⎣ 12 ⎦
五、图示图形中， x 轴平行于 x1 轴，已知图形对 x 轴的惯性矩 I x =
x1 轴的惯性矩 I x1 。
y
1 3 bh ，求其对 12
x1
解：
h 1 I x = I xC + bh ⋅ ( ) 2 2 3 1 2h I x1 = I xC + bh ⋅ (− ) 2 2 3 h 1 1 2h I x1 = I x − bh ⋅ ( ) 2 + bh ⋅ (− ) 2 2 3 2 3 1 = bh 3 4
) 2 + I yC zC 2 = 4.404 4 cm 0.712
I yC + I zC
± (
I yC − I zC 2
部分 Ai
ai
0.62
bi
-0.43
I yCi + a i2 Ai = I yC
2.13 0.615 2.745
I zCi + bi2 Ai = I zC
0.0213 0.296 0.3087 0.565 0.317 0.873 0 0
z
dz
C
O d
dA = 2 y ⋅ dz = 2 R 2 − z 2 dz I y = ∫ z dA = ∫
2 A R 2 z 0 4
⋅ 2 R − z dz
2
2
1 πd = πR 4 = 8 128
R A 0 3
z
yC
y
S y = ∫ zdA = ∫ z ⋅ 2 R − z dz
2 2
2 3 d R = 3 12 S y 2d z= = A 3π = I yC
h x
0
b
3
材料力学作业（三）
平面图形的几何性质
六、试确定图示平面图形的形心主惯性轴的位置，并求形心主惯性矩。 解： z
I yC1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0.4 × 4 3 = = 2.13cm 4 12 2.1 × 0.4 = 0.0213cm 4 12 4 × 0.4 = 0.0213cm 4 12 0.4 × 2.13 = 0.3087cm 4 12
3 3
4
zC
40
I yC2 = I zC1 = I zC 2 =
Ι
yC
ΙΙ
25
4
y
I yC = 3.926cm 4 , I zC = 1.190cm 4 I yC zC = −1.239cm 4 tg2α 0 = I max =
min
− 2 I yC zC I yC − I zC 2
= 0.879
α 0 = 20.65o