高中数学竞赛解题方法篇不等式The pony was revised in January 2021高中数学竞赛中不等式的解法摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。

希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。

不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个着名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用.1．排序不等式定理1 设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有1211...n n n a b a b a b -+++(倒序积和)1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和）1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和）其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时成立.（说明：本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.）证明：考察右边不等式，并记1212...n r r n r S a b a b a b =+++。

不等式1212...n r r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n ===时，S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有.n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+（1-1）事实上，不等式（1-1）告诉我们当n r n <时，调换n b 和n r b 的位置（其余n-2项不变），会使和S 增加.同理，调整好n a 和n b 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++，这就证明了1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++.再证不等式左端,由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端，得即1211...n n n a b a b a b -+++1212...n r r n r a b a b a b ≤+++.例1（美国第3届中学生数学竞赛题）设a,b,c 是正数，求证：3()a b c a b ca b c abc ++≥.思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明.证明：不妨设a b c ≥≥，则有lg lg lg a b c ≥≥根据排序不等式有：以上两式相加，两边再分别加上lg lg lg a a b b c c ++有3(lg lg lg )()(lg lg lg )a a b b c c a b c c a b ++≥++++即lg lg 3a b c a b ca b c abc ++≥故3()a b c a b ca b c abc ++≥.例2设a,b,c R +∈，求证：222222333222a b b c c a a b c a b c c a b bc ca ab+++++≤++≤++. 思路分析：中间式子每项都是两个式子之和，将它们拆开，再用排序不等式证明.证明：不妨设a b c ≥≥，则222a b c ≥≥且111c b a≥≥根据排序不等式，有两式相加除以2，得再考虑333a b c ≥≥，并且111bc ca ab≥≥利用排序不等式，两式相加并除以2，即得综上所述，原不等式得证.例3设12120...,0...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤，而1,2,...,n i i i 与1,2,...,n j j j 是1,2,...,n 的两个排列.求证：1111r s n nn ni j r sr s r s a b a b r sr s====≥++∑∑∑∑.（1-2）思路分析：已知条件中有两组有序实数，而式（1-2）具有“积和”形式，考虑使用排序不等式.证明：令1snj r s b d r s==+∑（r=1,2,...,n ）显然12...n d d d ≥≥≥因为12...n b b b ≤≤≤，且111...(1)1r n r n r ≤≤≤++-+ 由排序不等式1nsr s b d r s=≤+∑又因为12...n a a a ≤≤≤所以11r n n r r i r r r a d a d ==≤∑∑且111n nnsr r r r s r b a a d r s ===≤+∑∑∑（注意到r a ≥0） 故11111r s sr n nn nni j j ir i r r s r s r a b b a a d r sr s=======++∑∑∑∑∑故原式得证.2.均值不等式定理2设12,,...,n a a a 是n 个正数，则()()()()H n G n A n Q n ≤≤≤称为均值不等式.其中，121()111...nH n a a a =+++，()G n =，12...()na a a A n n+++=，分别称为12,,...,n a a a 的调和平均数，几何平均数，算术平均数，均方根平均数.证明：先证()()G n A n ≤.记c =，令ii a b c=， 则原不等式12...n b b b n ⇔+++≥其中12121...(...)1n n nb b b a a ac == 取12,,...,n x x x 使11212123,,...,,n n n x x xb b b x x x --===则1.n n x b x = 由排序不等式，易证下证()()A n Q n ≤因为222212121...[(...)n n a a a a a a n +++=+++22212131()()...()n a a a a a a +-+-++- 2222232421()()...()...()n n n a a a a a a a a -+-+-++-++-]所以12...n a a a n +++≤从上述证明知道，当且仅当12...n a a a ===时，不等式取等号.下面证明()()H n G n ≤对n 个正数12111,,...,na a a ，应用()()G n H n ≤，得 即()()H n G n ≤（等号成立的条件是显然的）.例4已知2201,0a x y <<+=，求证：1log ()log 28x y a a a a +≤+.证明：由于01a <<，0,0x y a a >>，有x y a a +≥=从而log ()log log 22x y a a a x ya a ++≤=+下证128x y +≤，即14x y +≤。

又因为2111()244x y x x x +=-=--+≤，等号在x=12(这时y=14)时取得所以 1log ()log 28x y a a a a +≤+.例5（IMO ）设a,b,c 是正实数，且满足abc=1.证明：111(1)(1)(1)1a b c b c a-+-+-+≤证明：令,,y y za b c x z x===，其中x,y,z 是正实数，将原不等式变形为 ()()()x y z y z x z x y xyz -+-+-+≤（2-1）记,,u x y z v y z x w z x y =-+=-+=-+，注意到u,v,w 任意两个之和是一个正数，所以它们中间至多有一个负数.如果恰有一个负数，那么0uvw xyz ≤<，（2-1）式成立.如果这三个数都大于0，由算术—几何平均不等式y ≤z ≤xyz ≤即uvw xyz ≤，（2-1）式得证.例6已知12,,...,0n a a a >，且12...1n a a a +++=.求证：1223131211...1...1 (21)n n n n a a a na a a a a a a a a n -++≥++++++++++++-.思路分析：左边各项形式较复杂，首先将其化简为112(1)22nni i i i ia a a ===---∑∑. 左边为和的形式，但其各项之和难与右边联系，利用算术平均大于几何平均难以求证，而左边各项22ia -可看为倒数形式，尝试用调和平均.证明：不等式左边化为112(1)22nni i i i ia a a ===---∑∑，对12222,, (222)a a a ---，利用()()A n H n ≥有即22211221122122ni ni i i a n n n n n n a ==-≥==---∑∑ 所以2111222(1)22221nn ni i i i i i i a a n n n a a n ===-=-=-≥----∑∑∑21n n =-. 3．柯西不等式定理3设i a ，i b R ∈（i=1,2,…n ）,恒有不等式222111.()n n niii i i i i a b a b ===≥∑∑∑，当且仅当利用恒等式证明先用数学归纳法证明如下恒等式，然后证明柯西不等式：对于两组实数n n b b b a a a ,,,;,,,2121 有柯西—拉格朗日恒等式由实数性质()R ∈≥αα02可得柯西不等式成立。

以上给出了柯西不等式的几种证法。

不难看出柯西不等式的重要性。

它的对称和谐的结构、广泛的应用、简洁明快的解题方法等特点深受人们的喜爱。

所以，若将此定理作进一步剖析，归纳它的各类变形，将会有更多收获。

柯西不等式的推广 命题1若级数∑∑==ni i ni i b a 1212与收敛，则有不等式∑∑∑===≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i n i i i b a b a 121221。

证明：∑∑==ni in i ib a 1212, 收敛，⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===n i i n i i n i i i b a b a 1212210i ni i b a ∑=∴1收敛，且∑∑∑=∞→=∞→=∞→≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni in n i i n n i i i n b a b a 121221lim lim lim从而有不等式∑∑∑===≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i n i i i b a b a 121221成立。