两次相遇行程问题的基本解法两次相遇行程问题的基本解法例1.甲、乙两车同时从A、B两地相向而行,在距A地80千米处相遇,相遇后两车继续前进,甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回,第二次在距B地60千米处相遇。
求A、B两地间的路程。
[分析与解]根据题意可画出下面的线段图:由图中可知,甲、乙两车从同时出发到第二次相遇,共行驶了3个全程,第一次相遇距A地80千米,说明行完一个全程时,甲行了8O千米。
两车同时出发同时停止,共行了3个全程,说明两车第二次相遇时甲共行了8×3=240(千米),从图中可以看出来甲车实际行了一个全程多60千米,所以A、B两地间的路程就是:240-60=180(千米)例2.甲、乙两车同时从A、B两地相向而行,在距A地80千米处相遇,相遇后两车继续前进,甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回,第二次在距A地60千米处相遇。
求A、B两地间的路程。
[分析与解]根据题意可画出线段图:由图中可知,甲、乙两车从同时出发到第二次相遇,共行驶了3个全程,第一次相遇距A地8O千米,说明行完一个全程时,甲行了8O千米。
两车同时出发同时停止,共行了3个全程。
说明两车第二次相遇时甲车共行了:80×3=24O(千米),从图中可以看出来甲车实际行了两个全程少60千米,所以A、B 两地间的路程就是:(24O+6O)÷2=150(千米)可见,解答两次相遇的行程问题的关键就是抓住两次相遇共行三个全程,然后再根据题意抓住第一次相遇点与三个全程的关系即可解答出来。
寻找最佳的解题方法有些题目,如果从不同的角度去分析,就会得到不同的解题方法,也就是说从多个角度去想就会有多种解法。
这样做可以使思维更开阔,也能从中找到最佳的解题方法。
下面的题目就可以用三种方法来解。
例某建筑工地,第一天用6辆汽车运沙子,共运96吨,第二天用同样的汽车12辆运沙子,第二天比第一天多运多少吨?解法一:先求一辆汽车一天运沙子的吨数,再求12辆汽车一天运沙子的吨数,减去第一天运的吨数,就得到第二天比第一天多运的吨数。
6÷6×12-96=96(吨)解法二:先求出12辆是6辆的多少倍,再求12辆汽车每天运的吨数,最后减去6辆汽车每天运的吨数。
96×(12÷6)-96=96(吨)解法三:先求一辆汽车一天运的吨数,再求第二天比第一天多几辆车,这多的几辆所运的沙子就是第二天比第一天多运的。
96÷6×(12-6)=96(吨)答:第二天比第一天多运48吨。
你认为哪种算法最好?我们来看一道题,它可以有五种解法,甚至更多,看完后,请你想一想还有没有别的解法?例某饭店买回一桶豆油,连桶称共有210千克,用去一半后,连桶称还有120千克,油桶重多少千克?解法一:把120千克扩大2倍,得到一桶豆油的重量和两只桶重,从中去掉210千克(这是一桶豆油与一只桶的重量和),即得桶重。
120×2-210=30(千克)解法二:先求出半桶豆油的重量,再从120千克中去掉这半桶豆油的重量,也可得桶重。
120-(210-120)=30(千克)解法三:先求出两只桶和两桶油的重量,再求出两只油桶和一桶油的重量,这样可求出一桶油的重量,然后可求出桶重。
210-(210×2-120×2)=30(千克)解法四:基本上与解法三相同,也可以说是它的简便算法,但算理稍有不同。
210-(210—120)×2=30(千克)解法五:先求出半只桶重,再求出整个油桶的重量。
(120-210÷2)×2=30(千克)答:油桶重30千克。
我们再来看一道题:李师傅要加工3080个零件,他用4天加工了280个零件。
照这样计算,加工剩下的零件还需要多少天?解法一:先求每天加工多少个零件和还剩下多少个零件,再求需要加工多少天。
(3080-280)÷(280÷4)=40(天)解法二:先求每天加工多少个零件,再求加工这批零件一共需要多少天,最后求还需要加工多少天。
3080÷(280÷4)-4=40(天)解法三:先求这批零件的总数是他4天加工零件的多少倍,再求加工这批零件一共需要多少天,最后求还需要加工多少天。
4×(3080÷280)-4=40(天)解法四:先求还要加工多少个零件,然后求还加工的零件数是4天加工零件数的多少倍,最后求还需要加工多少天。
4×[(3080-280)÷28] =40(天)答:加工剩下的零件还需要40天。
一道思考题的三种解法题目是这样的:选择+、-、×、÷中的运算符号,把下面各题连成算式,使它们的得数分别等于0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。
(1) 2 2 2 2 2=0(2) 2 2 2 2 2=1(3) 2 2 2 2 2=2(4) 2 2 2 2 2=3(5) 2 2 2 2 2=4(6) 2 2 2 2 2=5(7) 2 2 2 2 2=6(8) 2 2 2 2 2=7(9) 2 2 2 2 2=8(10)2 2 2 2 2=9下面向你介绍三种解这道题的方法,希望你能受到启发,从而举一反三,学会解更多的思考题。
猜测法,也叫试验法。
它完全是靠边猜测、边试验的方式求解。
如(1)题,先试2×2÷2+2-2≠0,后试2÷2+2-2+2≠0……最后试得2÷2+2÷2-2=0,成功了。
猜到了一种答案,还可以继续下去,以寻找第二、第三种答案。
逆推法,就是从问题的要求或结果出发,一步一步地进行逆向推理,逐步靠拢已知条件,把已知条件逐个用进去,直至求出问题的答案。
如(2)题,因为等号右边的1比等号左边的2小,所以只能在等号左边第一个2前面添上减号或者除号。
如添上减号,使原题变成2 2 2 2=3。
同理又因3>2,故可在等号左边第二个2的前面添上加号,使原题变成2 2 2=1。
这时就很容易看出2-2÷2=1了。
综合前两步逆推,就得到2-2÷2+2-2=1的一种解法。
如继续作其它逆推,还可得到第二、第三……种解法。
前面介绍的两种方法你看懂了吗?请不要着急,慢慢地消化理解,逐步加以接受。
下面请看第三种解法。
凑数法,这是一种综合运用知识的方法,它同样要结合试验才能顺利进行。
如(3)题,可以让等式左边的5个2两两相减得0,剩下的一个2当然就和等式右边的2相等了,即2-2+2-2+2=2。
从某种意义上说,它和猜测法有相同的地方,那就是都要试验,但试验的方法是不同的,你能总结出它们的不同点吗?怎么样?这三种解法和你以前用过的方法一样吗?你还有更好的方法吗?如果有,那真是太好了,因为你现在的思路宽了,解题的速度和正确率都会大大提高的。
好吧,看看你学习的效果怎样,是不是真正能举一反三。
请做下面的题。
选择适当的运算符号和括号,使下式成立。
(1)2 3 5 7 1=2 (2)2 3 5 7 1=4(3)2 3 5 7 1=6 (4)2 3 5 7 1=8找出等量关系解决复杂应用题同学们在解答较复杂的应用题时,往往不知从何下手。
如果根据条件找出相应的等量关系或能将其中的条件转化一下,那么问题就会迎刃而解了。
[题目]修一多公路,已修和未修长度的比是1:3,再修300米后,已修和未修长度的比是1:2。
这条路长多少米?(九年义务教育六年制小学数学第十二册思考题)[分析与解]解法一:这道题的条件是:再修300米后,已修和未修长度的比是1: 2,这里隐藏着一个等量关系,如果抓住这个等量关系,就可列方程解答。
设已修的长度为x米,那么未修的长度为3x米。
利用双向思考解决奥数题早晨小明和爸爸、妈妈一起跑步。
爸爸跑的路程比小明的2倍少2O米,比妈妈的2倍多10米。
小明和他妈妈谁跑的路程长些?(人教版九年义务教育五年制小学数学第八册第86页思考题)此题可以用三种方法来解。
解法一:画线段图来解。
由图可见,小明比妈妈跑的路程长。
解法二:用方程解。
设小明跑了100米,爸爸跑的路程就是100×2-20=180(米),再设妈妈跑了x米,列出方程:2x+10=180 x=85(米)即妈妈跑了80米,可见小明比妈妈跑的路程长。
解法三:设小明、爸爸、妈妈跑的路程分别为x米、y米、z米,根据题意可以列出下面两式,再做适当的变形就能得解。
即:y=2x-20→y=2x+20y=2x+10→y=2x-10(x>z)即小明比妈妈跑的路程长。
画图法解决奥数难题一个山清水秀的村子里有三个好朋友:小明、小刚和小强,他们常在一起合伙打鱼。
一次,他们忙碌了大半天,打了一堆鱼。
实在太累了,就坐在河边的柳树下休息,一会儿都睡着了。
小明醒了想起家里有事,看小刚和小强睡得正香,没有吵醒他们。
他把鱼分成三份,自己拿一份走了。
不一会儿小刚也醒了,要回家。
他也把鱼分成三份,自己拿一份走了。
太阳快落山了,小强才醒来。
他想,小明和小刚上哪去了?这么晚了,我得回家劈柴去。
于是,他又把鱼分成三份,自己拿走一份。
最后还剩下8条鱼。
第二天,他们又合伙到河边打鱼,才知道昨天分的鱼不合理。
小明立即把剩下的8条鱼给小刚3条,小强5条。
你能算出他们原来共打多少条鱼吗?这个问题直接从文字上分析有一定难度,为了帮助我们理解题意,启发解题思路,可以根据题意,画出下面的线段图。
由于最后剩的8条是小强分的三份中的两份,所以小强拿走的鱼是8÷2条。
那么小刚拿走自己分的一份鱼后剩下的鱼是8÷2×3条,这占小刚分的三份中的两份,所以小刚拿走的鱼是(8÷2×3)÷2;同样可得知小明拿走的鱼是[(8÷2×3)÷2×3]÷2条。
所以打的鱼一共是[(8÷2×3)÷2×3]÷2×3=27(条)。
当然,我们还可以从小强第一天拿走的鱼是8一条和第二天又拿了5条知道,每人平均拿了8÷2+5条,所以打的鱼一共是(8÷2+5)×3=27(条)。
小明、小刚和小强三个伙伴互相关心,他们每个人无论有什么好事都忘不了另外两个朋友。
一次,小明从山里来了一筐山梨,他把小刚和小强找来,对他们说:“我把这筐梨先分给你们一些,剩下的便是我的。
”于是,他把山梨的一半给了小刚,然后又给小刚加了1个。
接着,他又把剩下的给了小强一半,也同样给小强加了1个,最后剩下5个山梨,他自己留下了。
你来算算,小明这一筐山梨共有多少个呢?可以按照上次的方法,先画出下面的图。
然后列出算式:[( 5+l)×2+1]×2=[6×2+1]×2=26(个)答:筐里一共有26个山梨。