大一上学期高数期末考试
一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1.
)(
0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .
（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.
2.
　）
时（　
，则当，设133)(11)(3→-=+-=
x x x x
x x βα.
（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()
x x αβ与是等价无穷小；
（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.
3. 若
()()()0
2x F x t x f t dt
=
-⎰
，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且
'>()0f x ，则（ ）.
（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；
（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.
)
()( , )(2)( )(1
=+=⎰
x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且
设
（A ）2
2x
（B ）2
2
2
x
+（C ）1x - （D ）2x +.
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =
+→x
x x sin
2
)31(lim .
6. ,
)(cos 的一个原函数
是已知
x f x
x =
⋅
⎰x x
x x f d cos )(则
.
7.
lim
(cos
cos
cos
)→∞-+++=
22
2
21 n n n
n
n
n
π
π
ππ .
8. =
-+⎰
2
121
2
2
11
arcsin －
dx x
x x .
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x y
e
xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .
10.
.
d )
1(17
7x x x x
⎰
+-求
11. ．
　求
，， 设⎰
--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 3
2
)(1
020
)(dx x f x x x x xe x f x
12.
设函数)(x f 连续，=
⎰
1
0()()g x f xt dt
，且→=0
()
lim
x f x A
x
，A 为常数. 求
'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.
13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-
1
(1)9y 的解.
四、 解答题（本大题10分）
14. 已知上半平面内一曲线)0()
(≥=
x x y y ，过点(,)
01，且曲线上任一点
M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成
面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）
15. 过坐标原点作曲线
x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围
成平面图形D.
(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积
V .
解答
一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
5.
6
e . 6.c
x x +2
)cos (21　.7. 2π. 8.
3π
.
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导
(1)c o s ()()
x y
e y xy xy y +''++
+=
cos()()cos()x y x y
e y xy y x e
x xy +++'=-
+
0,0x y ==，(0)1y '=-
10. 解：76
7u x x dx du ==
1(1)
112(
)7
(1)
7
1
u du du
u u u
u -=
=
-
++⎰⎰原式
1(ln ||2ln |1|)7
u u c =-++ 7
7
12ln ||ln |1|7
7
x x C
=
-
++
11. 解：1
012
3
3
()2x
f x dx xe
dx x x dx
---=
+-⎰
⎰
⎰
012
3
()1(1)x
xd e
x dx
--=
-+
--⎰
⎰
00
2
3
2
cos (1sin )
x x
xe e d x πθθθ----
⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰
　令
3
21
4
e π
=
--
12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

==
=
⎰
⎰
1
()()()x
xt u
f u du
g x f xt dt x
(0)x ≠
2
()()()(0)
x
xf x f u du
g x x x
-
'=
≠⎰
2
()()A (0)lim
lim
22
x
x x f u du f x g x
x
→→'===
⎰
02
()()lim ()lim
2
2
x
x x xf x f u du
A A g x A x
→→-
'==-
=⎰
，'()g x 在=0x 处连续。

13. 解：2ln dy
y x
dx x
+
=
2
2
(ln )
dx
dx
x x y e
e
xdx C -
⎰⎰=+⎰
2
11ln 3
9
x x x Cx
-=
-
+
1(1),09y C =-=
，
1
1ln 39y x x x
=
-
四、 解答题（本大题10分）
14. 解：由已知且0
2d x
y y x y
'=+⎰，
将此方程关于x 求导得y y y '+=''2
特征方程：022
=--r r
解出特征根：.2,121=-=r r
其通解为
x
x
e
C e
C y 221+=-
代入初始条件y y ()()001='=，得
31,
3221=
=C C
故所求曲线方程为：
x
x
e
e
y 23
132+
=
-
五、解答题（本大题10分）
15. 解：（1）根据题意，先设切点为)ln ,(00x x ，切线方程：
)
(1ln 00
0x x x x y -=
-
由于切线过原点，解出e
x =0，从而切线方程为：
x
e
y 1=
则平面图形面积
⎰-=
-=
1
1
21)(e dy ey e
A y
（2）三角形绕直线x = e 一周所得圆锥体体积记为V 1，则
2
13
1e
V π=
曲线x y ln =与x 轴及直线x = e 所围成的图形绕直线x = e 一周所得旋转体体积为V 2
⎰-=
1
2
2)(dy
e e V y π
D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积
)
3125(6
2
21+-=
-=e e V V V π。