咼数期末考试一、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)2.lim (1 + 3x)sinx =1. x -0_______________________________________.已知cosx是f(x)的一个原函数， 则2.xx兀2兀22兀 2 n — 1lim — (cos 2— + cos 2 ——+||| + cos 2兀)= 3. “世 n n n n ______________ .1 2 2x arcsin x 1 , dx 二2—1书1 一 X4. _ 运______________________ .二、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)设口(x) = —x, P (x)=3-3%'x ,则当 X T 1 时()5.1 x.(A)〉(x)与-(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小； (B )〉(x)与］(x)是等价无穷小；(C (X)是比-(x)高阶的无穷小； (D ) -(x)是比〉(X)高阶的无穷小.6 设 f (x) = cos x( x + sin x ),则在 x = 0处有(A C) ■ (D ) f(x)不可导. x7.若F (x )二0( 2—x ) f( t ) dt ，其中f (x)在区间上(-1,1)二阶可导且f (x)，则().(A) 函数F(x)必在x=0处取得极大值； (B) 函数F (x)必在x = 0处取得极小值； (C) 函数F(x)在x=0处没有极值，但点(0, F(0))为曲线y = F(x)的拐点；(D) 函数F(x)在x=0处没有极值，点(0，F(0))也不是曲线y 二F(x)的拐点。

1设f (x)是连续函数，且 f (x) = x + 2 j° f (t)dt ,贝U f (x)=((A ) 2解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分)10. 设函数厂y (x)由方程e x y-sin(xy)二1确定，求y (x)以及y (°).1 - x 78. 2—+2(B ) 2(C ) x 1 (D ) x 2.9.三求—dx.11.x(1 x )y(1) =14.求微分方程xy 2^xlnx满足9的解.四、解答题(本大题10分)15. 已知上半平面内一曲线 y 二y(x)(x 一0)，过点(0,1)，且曲线上任一点M&o ’y 。

)处切线斜率数值上等于此曲线与 x 轴、y 轴、直线x = x °所围成 面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题(本大题10分)16. 过坐标原点作曲线“ln x 的切线，该切线与曲线y=ln x及x 轴围成平面图形D.(1)求D 的面积A ； (2)求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V. 六、证明题(本大题有2小题，每小题4分，共8分)17. 设函数f(x)在-0,1上连续且单调递减，证明对任意的q ，［0,1］，q1f (x ) d x — q f (x ) dx■JIJI匸 iJf(x)dx=0 Jf(x) cos x dx = 018. 设函数f(x)在0,二上连续，且0,0 证明：在0,二内至少存在两个不同的点1 , 2，使f(1)= f( 2)= 0・(提xF (x)二 f (x)dx示：设解答一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C设f(x)二12.2—Xxe 一 , x - x ,0 X < 11f(xt)d t求；f (x)dx •13•设函数f(x)连续，咖=g(x)并讨论g(x)在x = o 处的连续性.，且叫于"，A 为常数.求二、填空题(本大题有4小题，每小题1 ,COSX\26 -( ) C5. e.6. 2 x .7.三、解答题(本大题有5小题，每小题9.解：方程两边求导e x y( 1 y ) c cxy( xy) ( y =)4分,兀2 .8分,共16分)JI8. 3共40分)兀32e 314 12.解：由y (x)e x yycosQcy)e x yxcos(xy)x=0,y=0, y(0)=-1 10.解：u =x 71 原式J7 " u(1 +u) 1 (ln |u| -2ln |u 1|) c 1 2 ln | x 71 ln |1 x 71 C 7 7 1 0 1 —— r f(x)dx= =xe 」dx 0 2x J ：xd(—e 」)+J ；彳 IL-xe "-e" L . 7x 6dx = du du=1 (丄 7 u 2 u_1)du11. 解: —x 2dx -(x - 1)2dx0 2 .cos 令x-1=sinr)g(x)二 1f (xt )dt二xt -uxf(u)du(x = 0)xf(x) - f (u)dug(x)2(x =o)xxf(u)dug (0) = lim 2 lim f(x)= AxT x i 2x 2 xxf(x) - f (u)du gA △2 一 2 , g (x)在x = 0处连续。

dy 2 y = In x 13.解：dx x一 _dx—dxy 二e x ( e xIn xdx C)1 i 12 xln x x Cx3 1 y(1i ： C 9c 1 i 10 y xln x x 39 四、解答题(本大题10分) f(0) =0 知 g (0)二 0。

x14.解：由已知且八20ydx'y，将此方程关于x 求导得y ' 2^ y 特征方程：r 2—r —2=0 解出特征根:x2 x其通解为y=C 1eC 2e由于切线过原点，解出x o 二e，从而切线方程为:11 A= J (e y-ey)dy =— e-1则平面图形面积 02(2)三角形绕直线x = e 一周所得圆锥体体积记为 曲线y = In x 与x 轴及直线x = e 所围成的图形绕直线x = e 一周所得旋转体体积 为V 21v 2 二二(e-e y )2dy兀2. ....... V =V1 -V 2 = = (5e 2- 12e+3)x = e 旋转一周所得旋转体的体积 6(本大题有2小题，每小题4分，共12分)q1qq1f (x) d x -q f (x)dx f (x) d x -q( f (x) d x f (x)dx)0 0q故有：q1f (x ) d x - q f (x ) dx证毕。

17.xF(x)= Jf(t)dt ,0 兰 x 兰兀代入初始条件y (o)=y (0)=1， 2丄 y = _ e 故所求曲线方程为： 3 五、解答题(本大题10分) 得1 e 3 C 1 2x15.解：(1)根据题意，先设切点为 t ,c(X 0,lnx 。

)，切线方程y - In X o1 (x - X o ) X o-1, r2= 2.V i ,则 D 绕直线六、证明题16.证明：q=(1 -q) f(x)d x -q f(x)dxq1 [0, q]2 [q,1]f ( 1)_f ( 2)=q(1-q)f(£)-q(1-q)fG 2) z 0证：构造辅助函数：0 。

其满足在［°,二】上连续，在(°,二)上可导。

F (x) = f (x)，且F (0) = F (兀)=00 二f(x)cosxdx 二cosxdF(x)二 F (x)cosxL 亠isinx F(x)dx 由题设，有0 0 10 0 , 71F (x)sinxdx 二0有0 ，由积分中值定理，存在：(0,二)，使F「)sin —0即F ( ) = 0综上可知F(0) =F( J = F(二)=0, ：(0,二).在区间［0,「，切上分别应用罗尔定理，知存在1 (0,)和2 (,二)，使F ( 1^0及F ( 2^0，即f( iH f( 2^0 .。