2010年天津大学运筹学试题
一、考虑线性规划问题（P）max0zCXAXbX
（1） 若12,XX均为（P）的可行解，[0,1]，证明12(1)XX也是（P）的可行解；
（2） 写出（P）的对偶模型（仍用矩阵式表示）。
二、有三个线性规划：
(Ⅰ) [Min] z=CX (Ⅱ) [Min] z=CX (Ⅲ) [Min] z=CX
约束条件AX=b 约束条件AX=b 约束条件AX=b
X0 X0 X0
已知 X是(Ⅰ)的最优解，X是(Ⅱ)的最优解，X是(Ⅲ)的最优解，Y是(Ⅰ)的对偶问题的最优解，
试证：（1）()()CCXX 0； (2) CXXYbb ()()。
三、已知线性规划问题
)5,,1(03.00)(max225323222121214313212111543322111jxtbxxaxaxatbxxaxaxastxxxcxcxtczj
当1t＝2t＝0时，用单纯形法求得最终表如下：
要求：1. 确定23222113121121321,,,,,,,,,,aaaaaabbccc的值；
2. 当2t＝0时，1t在什么范围内变化上述最优解不变；
3. 当1t＝0时，2t在什么范围内变化上述最优基不变。 1x 2x 3x 4x 5x
3x 5/2 0 1/2 1 1/2 0
1x 5/2 1 -1/2 0 -1/6 1/3
jjzc 0 -4 0 -4 -2 四、某公司准备以甲、乙、丙三种原料生产A、B、C、D四种型号的产品，每一单位产品对各原料的消耗系数、价格系数及原料成本等已知条件如下表：
产品
原料 A B C D 原料成本
（百元/公斤） 原料限量
（公斤）
甲 1.5 2 4 3 4 5500
乙 4 1 2 1 5 3500
丙 2 3 1 2 2 2000
单位产品价格
（百元/公斤） 45 35 40 30
1．为解决“在现有原料量限制下，如何安排A、B、C、D四种产品的产量，使总利润（这里利润简化为销售收入与原料成本之差）最大”这一问题，可建立一线性规划模型，令x1、x2、x3、x4依次表示各型号产品的计划产量，试列出这个模型，并记该模型为模型1；
2．利用一解线性规划的程序解上述问题（模型1），得到的部分结果如下：
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 19923.08
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 230.769226 0.000000
X2 100.000000 0.000000
X3 1238.461548 0.000000
X4 0.000000 4.384615
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 1.384615
3) 0.000000 1.230769
4) 0.000000 4.000000
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2 5500.000000 1499.999878 4025.000000
3 3500.000000 500.000000 749.999939
4 2000.000000 6192.307617 250.000000
根据以上计算结果，分析并回答以下问题：
（1）最优生产方案和最大总利润是什么？按此方案生产，现有的原料是否还有剩余？哪一种有剩余？余多少？
（2）如果市场上甲原料的价格为4.5（百元/公斤），那么从市场上购得1000公斤的甲原料扩大生产是否合算（即总利润是否增加）？为什么？
（3）若D产品的价格系数增大到34（百元/公斤），原最优解会否发生变化？为什么？
（4）在原考虑的A、B、C、D四种型号产品基础上，如果又提出产品E，它对甲、乙、丙的消耗系数分别为5、6、2，价格系数为74（百元/公斤），那么原最优方案是否要改变，为什么？
（5）若在本题已有已知条件基础上，还要考虑各产品的生产准备费用（视为固定成本），其中A产品的生产准备费为1000（百元），B产品的生产准备费为800（百元），C产品的生产准备费为950（百元），D产品的生产准备费为750（百元），而且由于某些原因，A、B、C三种产品至多生产其中的两种。写出考虑这些新增条件下（不考虑产品E），使生产利润最大的生产计划模型（不解）。
五、某化学制药厂有m种有害副产品，它们的数量为bi(i=1,…,m)。按照规定，必须经过处理，制成n种无害物后才能废弃。设aij为每制成一单位第j（j=1,…n）种无害物可以处理掉第 i种有害物的数量，cj为制成一单位第j种无害物的费用。
1．现欲求各无害物的产量xj以使总的处理费用为最小，请写出此问题的线性规划模型；
2．写出此问题的对偶规划模型，并解释对偶规划模型的经济意义。
六、一复合系统的结构如下图示意，它由4个部件串联组成。第k个部件的功能由该部件专用的元件Ek完成，为提高系统的可靠性，第k个部件可由xk个相同的元件Ek并联构成，若每个元件的可靠度为pk，则第k个部件的可靠度为kxkkpr)1(1。
E1E2E2E112E3E33E4E44
已知4种元件的可靠度及价格见下表：
元件 单价ck（元/个） 可靠度pk
E1 35 0.95
E2 20 0.90
E3 25 0.85
E4 10 0.80
要求设计中所用元件的总费用不超过150元，又因空间限制，第3、4个部件最多由3个元件并联，应如何设计使整个串联系统的总可靠性最大？要求：
1．以xk (k=1,2,3,4)为变量，列出该问题的数学规划模型。
2．若用动态规划方法求解，选取状态变量sk为安排至第k个部件前的总可用费用，xk为决策变量，写出以下表达式：
（1）第1阶段状态集合1S； （2）第3阶段状态为s3时的允许决策集合)(33sD；
（3）状态转移方程；
（4）阶段指标),(kkkxsv；
（5）递推方程（逆序递推，含终端条件）。
3．按动态规划方法计算第3阶段状态为75时的最优指标函数f3（75）和最优决策x*3(75)。
七、某投资者拟对A与B两种基金进行投资，投资期限5年。该投资的收益有两部分：一是长期的至第5年末的红利收入，年利率分别为IA=0.06和IB=0.04，计复利且5年间利率不变（例如，第1年初投入A基金1元，5年后红利收入(1+0.06)5元）；二是短期的每年利息收入，两种基金在不同年份的利率iAk和iBk见下表（例如，第1年初投入A基金1元，除5年后的红利收入外，一年后还有0.02元的利息收入）。
年份
基金 1 2 3 4 5
A 0.020 0.023 0.024 0.026 0.030
B 0.050 0.050 0.055 0.045 0.055
该投资者第1年初投入资金50000元，以后第2至5年初每年还再投入10000元（不包括已投资的利息收入），收益计算方法相同（如第2年初投入A基金1元，第5年末红利收入(1+0.06)4元，同时第2至5年末还有年利息）。所有投入基金的资金（包括年利息）在第5年末之前不得支取。现投资者需决定每年初的资金（当年投入资金加已投资金的短期年利息）对基金A和B的分配额，以使第5年末总收入最大。
八、某汽车公司有两家汽车配件制造厂A和B，负责向两个服务配送中心C和D供应汽车配件。运送的道路网络及各路段的允许通过容量如下图所示。设配件制造厂的供应数量无限制，求向C、D的供应量最大的运送方案和相应的最大供应量（求解的主要过程可在图上标出）。
1
2
3 5
4 6 60
20
40 30
40 20
40
30 A
B
7 C
D 40
50
70 50 60 10
70 80 九、某工程所有关键工序组成的网络图如下图所示，图中弧（即关键工序）上的数字为各工序压缩工时所需的费用（单位：百元/天）。现该工程需将工期压缩一天，试求出使总压缩费用最小的压缩方案（即应在哪些工序上压缩），以及该最小的压缩费用。
十、某施工单位提交的一项目的网络计划如下图所示，箭线下面的数字为该工作（工序）的正常工作时间（天），要求工期18天。
654321AHGEDCB4386653
1．监理工程师在审查该图时发现工作D的紧前工作除B外还应有A，请在图中把这一关系正确表示出来，并指出该网络计划的关键线路（在图上用双线或色笔标出）和（计算）工期；
2．当上述网络计划尚未实施时，建设单位提出需增加工作M，它的紧前工作为A和B，紧后工作为E和G，M工作所需时间为9天。画出增加M后的网络计划，并指出此时的关键线路（在图上用双线或色笔标出）和（计算）工期；
3．增加工作M后，如工期仍要求18天，施工单位经分析后，考虑有些工作可以适当赶工，并估算出赶工1天所需增加的费用（直接费率），如下表所示（表中未列出的工作不能赶工）：
工作名称 正常时间 最短时间 直接费率（百元／天）
A 4 2 6
B 3 2 3
C 5 4 2
D 6 4 1
E 6 4 2
G 8 7 3 1 2
3 5
4 6 2
3
2 6 3 4
6
3 1 1