高考理科数学押题卷与答案第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数1226,2z i z i =+=-.若12,z z 在复平面内对应的点分别为,A B ,线段AB 的中点C 对应的复数为z ,则z =( )A .5B .5C .25D .217 2. 已知集合{}21log A x N x k =∈<<,集合A 中至少有3个元素,则( ) A .8k > B .8k ≥ C .16k > D .16k ≥3. 已知数列{}n a 为等差数列,其前n 项和为n S ,7825a a -=,则11S 为( ) A. 110 B. 55 C. 50 D. 不能确定4.已知直线a ,b 分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. 设实数x ,y 满足约束条件,则当z=ax+by (a >0,b >0)取得最小值2时,则的最小值是( ) A .B .C .D .26. 已知一个三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积为( ) A .22514++ B .16214+ C .8214+ D .814+7. 已知函数()()2sin sin 3f x x x ϕ=+是奇函数,其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则函数()()sin 22g x x ϕ=+的图象 ( )A.可由()f x 的图象向左平移6π个单位而得到 B.可由()f x 的图象向右平移6π个单位而得到 C.可由()f x 的图象向左平移3π个单位而得到D.可由()f x 的图象向右平移3π个单位而得到 8. 秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳 县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值 的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法,如图所示 程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个 实例,若输入x 的值为2,则输出v 的值为( ) A.1021- B.102 C. 1031- D. 1039. 一点,则直线OP 与直线AM 所成的角为( )A.45B.60C.90D.与点P 的位置有关10.已知变量,x y 满足1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩,若目标函数2z x y =+取到最大值a ,则122ax ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为( )A .-144B .-120C .-80D .-6011.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左、右焦点分别为12,F F ,且两条曲线在第一象限的交点为P ,12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形.若110PF =,椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ,则12e e ⋅的取值范围是( )A .10,5⎛⎫ ⎪⎝⎭ B .11,53⎛⎫ ⎪⎝⎭ C .1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D .1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭12.已知函数()1,()ln ,x f x e ax g x x ax a =--=-+若存在0(1,2)x ∈,使得00()()0f x g x <,则实数a 的取值范围为( )A .21(ln 2,)2e - B .(ln 2,1)e -C .[)1,1e -D . 211,2e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每小题5分,满分20分)13. 已知正实数x ,y 满足2x +y =2,则2x +1y的最小值为_________。
14. 设34log ,32log ,21log 33131===c b a ,则c b a ,,大小关系是_______________。
15. 若525nx dx -=⎰,则()21nx -的二项展开式中2x 的系数为 。
16. 已知()11,A x y ,()22,B x y 是以坐标原点O 为圆心的单位圆上的两点,劣弧AB 所对的圆心角为α,若 7sin cos 17αα+=,则1212x x y y +=_______________.三、解答题 (本大题共6小题,共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且2a cos C -c =2b 。
(Ⅰ)求角A 的大小;(Ⅱ)若c =2,角B 的平分线BD =3,求a 。
18.(本小题满分12分)为备战2018年瑞典乒乓球世界锦标赛,乒乓球队举行公开选拨赛,甲、乙、丙三名选手入围最终单打比赛名单.现甲、乙、丙三人进行队内单打对抗比赛,每两人比赛一场,共赛三场,每场比赛胜者得3分,负者得0分,在每一场比赛中,甲胜乙的概率为35,丙胜甲的概率为34,乙胜丙的概率为p ,且各场比赛结果互不影响.若甲获第一名且乙获第三名的概率为110。
(Ⅰ)求p 的值;(Ⅱ)设在该次对抗比赛中,丙得分为X ,求X 的分布列和数学期望。
19.(本小题满分12分)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,底面ABC ∆是边长为2的等比三角形,过1A C 作平面1A CD 平行于1BC ,交AB 于D 点。
(1)求证:CD AB ⊥;(2)若四边形11BCC B 是正方形,且15A D =,求二面角11D A C B --的余弦值。
20.(本小题满分12分)已知椭圆C :22221(0)y x a b a b+=>>的上下两个焦点分别为1F ,2F ,过点1F 与y 轴垂直的直线交椭圆C 于M 、N 两点,2MNF ∆的面积为3,椭圆C 的离心率为32。
(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)已知O 为坐标原点,直线l :y kx m =+与y 轴交于点P (P 不与原点O 重合),与椭圆C交于A ,B 两个不同的点,使得3AP PB =,求m 的取值范围。
21.(本小题满分12分)己知函数2(),()sin 2x xf x ae xg x bx π=+=+,直线l 与曲线()y f x =切于点(0,(0))f 且与曲线y=g (x )切于点(1,g(1))。
(I)求a ,b 的值和直线l 的方程。
(II)证明:()()f x g x >请考生在22、23两题中任选一题作答。
注意:只能做所选定的题目。
如果多做,则按所做第一个题目计分,做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 设函数()235f x x x =-+-。
(1)求不等式()4f x ≥的解集;(2)若()f x a <的解集不是空集,求实数a 的取值范围。
23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,直线l 过点(2,3)P 且倾斜角为α,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为4cos()3πρθ=-,直线l 与曲线C 相交于,A B 两点;(Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程;(Ⅱ)若||13AB =l 的倾斜角α的值.参考答案一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.A2.C3.B4.A5.D6.C7.A8.D9.C 10.B 11.C 12.A 二、填空题(每小题5分,满分20分)13. 9 2 14. a >b >c 15.180 16.817-;三、解答题 (本大题共6小题,共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)2a cos C -c =2b ,由正弦定理得 2sin A cos C -sin C =2sin B , …2分2sin A cos C -sin C =2sin(A +C ) =2sin A cos C +2cos A sin C , ∴-sin C =2cos A sinC ,∵sin C ≠0,∴cos A =- 12,而A ∈(0, π),∴A =2π3. …6分(Ⅱ)在△ABD 中,由正弦定理得,AB sin ∠ADB =BDsin A∴ sin ∠ADB =AB sin A BD = 22,∴ ∠ADB =π4, …9分∴∠ABC =π6,∠ACB =π6,AC =AB = 2由余弦定理, BC =AB 2+AC22AB ACcosA = 6. …12分18.(本小题满分12分)(Ⅰ)由已知,甲获第一名且乙获第三名的概率为110. 即甲胜乙、甲胜丙且丙胜乙概率为110, …………2分 ∴311(1)5410p ⨯⨯-=, ∴13p =. …………6分 (Ⅱ)依题意丙得分X 可以为0,3,6,丙胜甲的概率为34,丙胜乙的概率为23…………7分111(0)4312P X ==⨯=,31125(3)434312P X ==⨯+⨯=,326(6)4312P X ==⨯= …………10分P 0 3 6 X112 512612∴15617()0361212124E X =⨯+⨯+⨯=. …………12分19.(本小题满分12分) (1)证明见解析;(2)10535. (1)证:连结1AC ,设1AC 与1A C 相交于点E , 连接DE ,则E 为1AC 中点,∵1//BC 平面1A CD ,DE =平面1A CD 平面1ABC ,∴1//DE BC ,∴D 为AB 的中点, 又∵ABC ∆是等边三角形,∴CD AB ⊥,(2)因为222115AD A A A D +==,所以1A A AD ⊥,又1B B BC ⊥,11//B B A A ,所以1A A BC ⊥,又AD BC B =,所以1A A ⊥平面ABC ,设BC 的中点为O ,11B C 的中点为1O ,以O 为原点,OB 所在的直线为x 轴,1OO 所在的直线为y 轴,OA 所在的直线为z 轴,建立空间直角坐标系O xyz -.则1113(1,0,0),(0,3),((1,2,0)2C A D B -, 即1133(,0,),(1,2,3),(2,2,0)2CD CA CB ===, 设平面1DA C 的法向量为1111(,,)n x y z =,由11100n CD n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,得111113302230x z x y z ⎧=⎪⎨⎪++=⎩,令11x =,得1(1,1,3)n =-, 设平面11A CB 的法向量为2222(,,)n x y z =,由212100n CA n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,得22222230220x y z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,令21x =,得23(1,1,3n =-,∴121212105cos ,||||753n n n n n n ⋅<>===⨯,10520.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)根据已知椭圆C 的焦距为2c ,当y c =时,2122||||b MN x x a =-=,由题意2MNF ∆的面积为21212||||||32b cF F MN c MN a===由已知得3c a =21b =,∴24a =,∴椭圆C 的标准方程为2214y x +=.-------------4分(Ⅱ)设11(,)A x y ,22(,)B x y ,由22,440,y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩得222(4)240k x mkx m +++-=,∴12224kmx x k -+=+,212244m x x k -=+, -----------6分 由已知得222244(4)(4)0m k k m ∆=-+->,即2240k m -+>,由3AP PB =,得123x x -=,即123x x =-,∴212123()40x x x x ++=,------------8分∴222222124(4)0(4)4k m m k k -+=++,即222240m k m k +--=. 当21m =时,222240m k m k +--=不成立,∴22241m k m -=-,------------10分∵2240k m -+>,∴2224401m m m --+>-,即222(4)01m m m ->-, ∴214m <<,解得21m -<<-或12m <<.综上所述,m 的取值范围为{}|2112m m m -<<-<<或-------------12分 21.(本小题满分12分) 解:(Ⅰ)f(x )=a e x+2x ,g(x )=2cosx2+b ,f (0)=a ,f (0)=a ,g (1)=1+b ,g (1)=b ,曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线为y =ax +a , 曲线y =g (x )在点(1,g (1))处的切线为y =b (x -1)+1+b ,即y =bx +1.依题意,有a =b =1,直线l 方程为y =x +1. …4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知f (x )=e x +x 2,g (x )=sin x2+x .…5分设F (x )=f (x )-(x +1)=e x+x 2-x -1,则F (x )=e x+2x -1,当x ∈(-∞,0)时,F (x )<F (0)=0; 当x ∈(0,+∞)时,F(x )>F(0)=0.F (x )在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增,故F (x )≥F (0)=0.…8分设G (x )=x +1-g (x )=1-sinx2,则G (x )≥0,当且仅当x =4k +1(k ∈Z )时等号成立.…10分由上可知,f (x )≥x +1≥g (x ),且两个等号不同时成立,因此f (x )>g (x ). …12分请考生在22、23两题中任选一题作答。