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2019年高考全国1卷理科数学及答案doc资料

2019年高考全国1卷理科数学及答案绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题,共150分,共5页。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<,,则M N =A .}{43x x -<<B .}42{x x -<<-C .}{22x x -<<D .}{23x x <<2.设复数z 满足=1i z -,z 在复平面内对应的点为(x ,y ),则 A .22+11()x y += B .221(1)x y +=- C .22(1)1y x +-=D .22(+1)1y x +=3.已知0.20.32log 0.220.2a b c ===,,,则 A .a b c << B .a c b << C .c a b << D .b c a <<4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-(512-≈0.618,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm ,头顶至脖子下端的长度为26 cm ,则其身高可能是 A .165 cm B .175 cm C .185 cmD .190 cm5.函数f (x )=2sin cos ++x xx x 在[,]-ππ的图像大致为A .B .C .D .6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是A .516B .1132C .2132D .11167.已知非零向量a ,b 满足||2||=a b ,且()-a b ⊥b ,则a 与b 的夹角为A .π6B .π3C .2π3D .5π68.如图是求112122++的程序框图,图中空白框中应填入A .A =12A + B .A =12A +C .A =112A+D .A =112A+9.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知4505S a ==,,则A .25n a n =-B . 310n a n =-C .228n S n n =-D .2122n S n n =-10.已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -(),(),过F 2的直线与C 交于A ,B 两点.若22||2||AF F B =,1||||AB BF =,则C 的方程为A .2212x y +=B .22132x y += C .22143x y +=D .22154x y += 11.关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论:①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间(2π,π)单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A .①②④B .②④C .①④D .①③12.已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上,PA =PB =PC ,△ABC 是边长为2的正三角形,E ,F 分别是PA ,PB 的中点,∠CEF =90°,则球O 的体积为 A .68πB .64πC .62πD .6π二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

13.曲线23()e x y x x =+在点(0)0,处的切线方程为______.14.记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若214613a a a ==,,则S 5=_______.15.甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是_______.16.已知双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ,B 两点.若1F A AB =,120F B F B ⋅=,则C 的离心率为______.三、解答题:共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题,考生根据要求作答。

(一)必考题:共60分。

17.(12分)ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-.(1)求A ;(2)若22a b c +=,求sin C .18.(12分)如图,直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形,AA 1=4,AB =2,∠BAD =60°,E ,M ,N 分别是BC ,BB 1,A 1D 的中点.(1)证明:MN ∥平面C 1DE ;(2)求二面角A-MA 1-N 的正弦值.19.(12分)已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为32的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P .(1)若|AF |+|BF |=4,求l 的方程; (2)若3AP PB =,求|AB |.20.(12分)已知函数()sin ln(1)f x x x =-+,()f x '为()f x 的导数.证明:(1)()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点;(2)()f x 有且仅有2个零点.21.(12分)为了治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得1-分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得1-分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X .(1)求X 的分布列;(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,(0,1,,8)i p i =表示“甲药的累计得分为i 时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则00p =,81p =,11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =,其中(1)a P X ==-,(0)b P X ==,(1)c P X ==.假设0.5α=,0.8β=.(i )证明:1{}(0,1,2,,7)i i p p i +-=为等比数列;(ii )求4p ,并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性.(二)选考题:共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做,则按所做的第一题计分。

22.[选修4−4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2221141t x tt y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩,(t 为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ++=.(1)求C 和l 的直角坐标方程; (2)求C 上的点到l 距离的最小值.23.[选修4−5:不等式选讲](10分)已知a ,b ,c 为正数,且满足abc =1.证明: (1)222111a b c a b c++≤++; (2)333()()()24a b b c c a +++≥++.2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学•参考答案一、选择题1.C 2.C 3.B 4.B 5.D 6.A 7.B 8.A 9.A 10.B 11.C 12.D 二、填空题 13.y =3x 14.121315.0.1816.2 三、解答题17.解:(1)由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=,故由正弦定理得222b c a bc +-=.由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==. 因为0180A ︒︒<<,所以60A ︒=.(2)由(1)知120B C ︒=-,由题设及正弦定理得()sin 1202sin A C C ︒+-=,即1cos sin 2sin 222C C C ++=,可得()cos 602C ︒+=-.由于0120C ︒︒<<,所以()sin 602C ︒+=,故 ()sin sin 6060C C ︒︒=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+4=.18.解:(1)连结B 1C ,ME .因为M ,E 分别为BB 1,BC 的中点,所以ME ∥B 1C ,且ME =12B 1C . 又因为N 为A 1D 的中点,所以ND =12A 1D .由题设知A 1B 1=DC ,可得B 1C =A 1D ,故ME =ND ,因此四边形MNDE 为平行四边形,MN ∥ED .又MN ⊄平面EDC 1,所以MN ∥平面C 1DE . (2)由已知可得DE ⊥DA .以D 为坐标原点,DA 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ,则(2,0,0)A ,A 1(2,0,4),(1,3,2)M ,(1,0,2)N ,1(0,0,4)A A =-,1(1,3,2)A M =--,1(1,0,2)A N =--,(0,3,0)MN =-.设(,,)x y z =m 为平面A 1MA 的法向量,则110A M A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ,所以2040x z z ⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩,.可取=m .设(,,)p q r =n 为平面A 1MN 的法向量,则100MN A N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,.n n所以020p r ⎧=⎪⎨--=⎪⎩,.可取(2,0,1)=-n .于是cos ,||5⋅〈〉===‖m n m n m n , 所以二面角1A MA N --19.解:设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y =+. (1)由题设得3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭,故123||||2AF BF x x +=++,由题设可得1252x x +=. 由2323y x ty x⎧=+⎪⎨⎪=⎩,可得22912(1)40x t x t +-+=,则1212(1)9t x x -+=-. 从而12(1)592t --=,得78t =-. 所以l 的方程为3728y x =-. (2)由3AP PB =可得123y y =-.由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩,可得2220y y t -+=. 所以122y y +=.从而2232y y -+=,故211,3y y =-=.代入C 的方程得1213,3x x ==.故||3AB =. 20.解:(1)设()()g x f 'x =,则1()cos 1g x x x=-+,21sin ())(1x 'x g x =-++.当1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()g'x 单调递减,而(0)0,()02g'g'π><,可得()g'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭有唯一零点, 设为α.则当(1,)x α∈-时,()0g'x >;当,2x α⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0g'x <.所以()g x 在(1,)α-单调递增,在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减,故()g x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点,即()f 'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点.(2)()f x 的定义域为(1,)-+∞.(i )当(1,0]x ∈-时,由(1)知,()f 'x 在(1,0)-单调递增,而(0)0f '=,所以当(1,0)x ∈-时,()0f 'x <,故()f x 在(1,0)-单调递减,又(0)=0f ,从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点.(ii )当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时,由(1)知,()f 'x 在(0,)α单调递增,在,2απ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减,而(0)=0f ',02f 'π⎛⎫< ⎪⎝⎭,所以存在,2βαπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使得()0f 'β=,且当(0,)x β∈时,()0f 'x >;当,2x βπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f 'x <.故()f x 在(0,)β单调递增,在,2βπ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.又(0)=0f ,1ln 1022f ππ⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时,()0f x >.从而,()f x 在0,2⎛⎤⎥⎝⎦π没有零点.(iii )当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时,()0f 'x <,所以()f x 在,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减.而02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭,()0f π<,所以()f x 在,2π⎛⎤π ⎥⎝⎦有唯一零点.(iv )当(,)x ∈π+∞时,ln(1)1x +>,所以()f x <0,从而()f x 在(,)π+∞没有零点.综上,()f x 有且仅有2个零点. 21.解:X 的所有可能取值为1,0,1-.(1)(1)(0)(1)(1)(1)(1)P X P X P X αβαβαβαβ=-=-==+--==-,,, 所以X 的分布列为(2)(i )由(1)得0.4,0.5,0.1a b c ===.因此11=0.4+0.5 +0.1i i i i p p p p -+,故()()110.10.4i i i i p p p p +--=-,即()114i i i i p p p p +--=-.又因为1010p p p -=≠,所以{}1(0,1,2,,7)i i p p i +-=为公比为4,首项为1p 的等比数列. (ii )由(i )可得()()()8887761008776101341p p p p p p p p p p p p p p p -=-+-++-+=-+-++-=.由于8=1p ,故18341p =-,所以 ()()()()44433221101411.325 7p p p p p p p p p p -=-+-+-+=-=4p 表示最终认为甲药更有效的概率,由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为410.0039257p =≈,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理.22.解:(1)因为221111t t --<≤+,且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+,所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-. l 的直角坐标方程为2110x ++=.(2)由(1)可设C的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数,ππα-<<).C 上的点到l π4cos 11α⎛⎫-+ ⎪=当2π3α=-时,π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7,故C 上的点到l 距离的最小.23.解:(1)因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥,又1abc =,故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c++++≥++==++.所以222111a b c a b c++≤++. (2)因为, , a b c 为正数且1abc =,故有333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c3≥⨯⨯⨯=24.所以333()()()24a b b c c a +++++≥.。

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