2019年全国普通高等学校招生统一考试
上海 数学试卷
考生注意：1. 答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚.
2. 本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.
一. 填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1
6题每题4分，712题每题5
分. 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分.
1. 已知集合
(A =-∞，3)，(2B =，)+∞，则A B = .
2.
已知Z C ∈，且满足1
5
i z =-，则z = . 3. 已知向量(1a
=，0，2)，(2b =，1，0)，则a 与b 的夹角为 .
4.
已知二项式5
(21)x +，则其展开式中含2
x 的系数为 .
5.
已知x 、y 满足002x y x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
，则23z x y =-的最小值为 .
6. 已知函数()f x 的周期为1，且当01x <≤时，2()f x log x =，则3
()2
f = .
7. 若x ，y R +
∈，且123y x +=，则y x
的最大值为 .
8.
已知数列
{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n S a +=，则5S = .
9. 过曲线
24y x =的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与曲线24y x =交于A 、B 两点，A 在B 的
上方，M 为曲线上的一点，且(2)OM OA OB λλ=+-，则λ= .
10. 某三位数密码，每位数字可在0
9这10个数中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同
的概率为 .
11.
已知数列{}n a 满足1()n n a a n N *
+<∈，点(n P n ，)(3)n a n ≥均在双曲线22
162
x y -=上，则1||n n x lim P P +→∞
= .
12. 设函数
2
()(11
f x a x x =
->-，0)a >，()f x 与x 轴交于点A ，若对于()f x 图像上的任意一点P ，在其图像上总存在一点Q （P 、Q 异于A ），使得AP AQ ⊥，且||||AP AQ =，
则实数a
= .
二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案. 考生应
在答题纸的相应编号上，填上正确的答案的序号，选对得5分，否则一律得零分.
13. 直线20x y c -+=的一个方向向量d 可以是（ ）
A .
(2，1)-
B .
(2，1)
C .
(1-，2)
D .
(1，2)
14. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两条直角边旋转得到的两个
圆锥的体积之比为（ ） A . 1
B .
2
C .
4
D .
8
15. 已知R ω∈，函数2()(6)f x x sin x ω=-⋅，若存在a R ∈，使得()f x a +为偶函数，则ω的
值可能是（ ） A .
2
π B .
3
π C .
4
π
D .
5
π
16. 对于()tan tan tan αβαβ⋅=+，有以下两个结论：
①存在α在第一象限，β在第三象限 ②存在α在第二象限，β在第四象限 则（ ） A . ①②均正确
B . ①②均错误
C . ①正确，②错误
D . ①错误，②正确
三. 解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编
号的规定区域内写出必要的步骤.
17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -
，M 为1BB 上一点，2BM =，
4AD =，3DC =，15AA =.
①求直线1A C 与平面ABCD 所成角的大小；
②求点
A 到平面1A MC 的距离.
D
A 1 B
B 1
C
C 1
D 1
A
M
设常数a R ∈，函数
1()1
f x ax x =+
+. ①当1a =时，求不等式()1(1)f x f x +<+的解集；
②若
()f x 在[1x ∈，]2上存在零点，求实数a 的取值范围.
如图所示，
A B C ——为海岸线，AB 为线段，BC 为四分之一圆，39.2BD =千米，22BDC
∠=︒，68CBD ∠=︒，58BDA ∠=︒.
①求BC 的长度； ②若
40AB =千米，求D 到海岸线A B C ——的最短距离，并精确到
0.001千米.
D
B
C
A
H
小题满分6分.
已知椭圆22184
x y +=，1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，直线l 过2F 角椭圆于A 、B 两点. ①若直线l 垂直于x 轴，求||AB ；
②当190F AB ∠=︒，A 在x 轴上方时，求A ，B 的坐标；
③若直线
1AF 交y 轴于M ，直线2BF 交y 轴于N ，是否存在直线l ，使得1F AB 与1F MN 的面积
相等，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.
小题满分8分.
已知数列
{}()n a n N *∈有100项，1a a =，
对任意[2n ∈，]100，存在n i a a d =+，[1i ∈，]1n -，若k a 与前n 项中的某一项相等，则称k a 具有性质P . ①若11a =，2d =，求k a 所有可能的值；
②若{}n a 不是等差数列，求证：数列{}n a 中存在某些项具有性质P ；
③若
{}n a 中恰有三项具有性质P ，设这三项的和为c ，请用a 、d 、c 表示123100a a a a +++⋅⋅⋅+.
2019年普通高等学校招生全国统一考试
上海数学试卷参考答案
一. 填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，16题每题4分，712题每题5分. 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分.
1. (2，3)
2. 5i-
3.
2
5 arccos
4. 40
5. 6-
6. 1-
7. 9
8
8.
31
16
9. 3
10.
27
100
11.
12.
二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确. 考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.
13. D. 14. B.15. C.16. D.
三. 解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
①
4
π
②10 3
18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
①(2-，1)-
②
11,26⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
①16.310千米 ②35.752千米.
20. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
①②
(0A ，2)，8(
3B ，2
)3
-
③20x ±-=
21. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
①3，5，7 ②略
③974656a d c ++。