6．A
解析：A 【解析】
由正弦定理可得： sin A a 5 . sin B b 3
本题选择 A 选项.
7．C
解析：C 【解析】
【分析】 两圆方程相减，得到公共弦所在的直线方程，然后利用其中一个圆，结合弦长公式求解. 【详解】 因为圆 C1：x2+y2＝4 与圆 C2：x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0，
2
2
sin B 2 sin C 2 sin(135 B) cos B sin B ，解得 cos B 0 B 90 ，所以
4．A
解析：A 【解析】 【分析】 利用逐一验证的方法进行求解. 【详解】 若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故 3 人成绩由高到 低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则 甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正 确，不符合题意，故选 A． 【点睛】 本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知 识、逻辑推理能力的考查．
1 ，故选 A. 3
【点睛】
本题主要考查两角和的正切公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力
和计算求解能力.
12．D
解析：D
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：由 lg b lg(1) lg sin A lg 2 ，所以 lg b lg 2 b 2 c 且
c
c2
2
sin A 2 ，又因为 A 为锐角，所以 A 45 ，由 b 2 c ，根据正弦定理，得
极坐标为
2
3,
6
，曲线
C
的极坐标方程为
2
2
3 sin 1
（1）写出点 P 的直角坐标及曲线 C 的普通方程；
（2）若 Q
为
C
上的动点，求
PQ
中点
M
到直线 l
:
x
y
3 2t 2 t
（t
为参数）距离的最小值.
22．如图，在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是矩形， A1D 与 AD1 交于点
E. AA1 2AB AD 4 .
（1）证明： AE ⊥平面 ECD ； （2）求直线 A1C 与平面 EAC 所成角的正弦值.
23．已知菱形 ABCD 的顶点 A ， C 在椭圆 x2 3y2 4 上，对角线 BD 所在直线的斜率为 1． （1）当直线 BD 过点 (0,1) 时，求直线 AC 的方程． （ 2 ）当 ABC 60 时，求菱形 ABCD面积的最大值． 24．如图，已知三棱柱 ABC A1B1C1 ，平面 A1AC1C 平面 ABC , ABC 90 ，
两式相减得 x y 2 0 ，即公共弦所在的直线方程.
圆 C1：x2+y2＝4，圆心到公共弦的距离为 d 2 ， 2
所以公共弦长为： l 2 r2 d 2 2 2 .
故选：C 【点睛】 本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
8．D
解析：D 【解析】 【分析】 设目前该教师的退休金为 x 元，利用条形图和折线图列出方程，求出结果即可． 【详解】 设目前该教师的退休金为 x 元，则由题意得：6000×15%﹣x×10%＝100．解得 x＝8000． 故选 D． 【点睛】 本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题，属于基础题．
A． 1 220
C． 21 25
B． 27 55
D． 27 220
11．已知
tan
12
2
，则
tan
3
（
）
A． 1 3
B． 1 3
C．-3
D．3
12．在 ABC 中， A 为锐角， lg b lg(1) lg sin A lg 2 ，则 ABC 为（ ） c
A．等腰三角形
B．等边三角形
轴的方向射出.现有抛物线 y2 2 px( p 0) ，如图一平行于 x 轴的光线射向抛物线，经两 次反射后沿平行 x 轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为 4，则该抛物线的方程为
__________．
三、解答题
21．已知平面直角坐标系 xoy .以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， P 点的
9．D
解析：D 【解析】 分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在 ( π , π) 上的符号，即可判断选择.
2 详解：令 f (x) 2 x sin 2x ，
因为 x R, f (x) 2 x sin 2(x) 2 x sin 2x f (x) ，所以 f (x) 2 x sin 2x 为奇函
2019 年高考数学试题带答案
一、选择题 1．已知二面角 l 的大小为 60°， b 和 c 是两条异面直线，且 b , c ，则 b 与
c 所成的角的大小为（ ）
A．120°
B．90°
C．60°
D．30°
2．设集合 M x log2 x 1 0，集合 N x x 2，则 M N （ ）
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
二、填空题
13．已知曲线 y x ln x 在点 1,1 处的切线与曲线 y ax2 a 2 x 1相切,则
a= ． 14．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 处时测得公路北侧一山顶 D 在
西偏北 的方向上，行驶 600m 后到达 处，测得此山顶在西偏北 的方向上，仰角为
点，若 PF1 F1F2 ，且直线 PF2 与以 C 的实轴为直径的圆相切，则 C 的渐近线方程为
（）
A． y 4 x 3
B． y 3 x 4
C． y 3 x 5
6．在△ABC 中，a＝5，b＝3，则 sin A：sin B 的值是（ ）
D． y 5 x 3
A． 5 3
B． 3 5
C． 3 7
5．A
解析：A 【解析】 【分析】
依据题意作出图象，由双曲线定义可得 PF1 F1F2 2c ，又直线 PF2 与以 C 的实轴为直
径的圆相切，可得 MF2 b ，对 OF2M 在两个三角形中分别用余弦定理及余弦定义列
方程，即可求得 2b a c ，联立 c2 a2 b2 ，即可求得 b 4 ，问题得解． a3
10．D
解析：D 【解析】
【分析】
旧球个数 x=4 即取出一个新球，两个旧球，代入公式即可求解．
【详解】
因为从盒中任取 3 个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数为 x=4，即旧球增加一
个，所以取出的三个球中必有一个新球，两个旧球，所以 P( X
4)
C91C32 C132
27 220
，故选
D．
因为异面直线所的角为锐角或直角，
所以 b 与 c 所成的角为 600 .
故选:C. 【点睛】 本题考查二面角与二面角平面的法向量的关系，属于基础题.
2．B
解析：B 【解析】 【分析】
求解出集合 M ，根据并集的定义求得结果.
【详解】
M x log2 x 1 0 x 0 x 11 x 1 x 2 M N x x 2
本题正确选项： B 【点睛】
本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.
3．D
解析：D 【解析】 【分析】 根据圆柱与圆锥的结构特征，即可判定，得到答案. 【详解】 根据空间几何体的结构特征，可得该组合体上面是圆锥，下接一个同底的圆柱，故选 D. 【点睛】 本题主要考查了空间几何体的结构特征，其中解答熟记圆柱与圆锥的结构特征是解答的关 键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
D． 5 7
7．圆 C1：x2+y2＝4 与圆 C2：x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0 的公共弦的长为（ ）
A． 2
B． 3
C． 2 2
D． 3 2
8．若干年前，某教师刚退休的月退休金为 6000 元，月退休金各种用途占比统计图如下面
的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折
线图.已知目前的月就医费比刚退休时少 100 元，则目前该教师的月退休金为（ ）.
A．6500 元
B．7000 元
9．函数 y= 2 x sin2x 的图象可能是
C．7500 元
D．8000 元
A．
B．
C．
D．
10．一盒中有 12 个乒乓球,其中 9 个新的,3 个旧的,从盒中任取 3 个球来用,用完后装回盒 中,此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量,其分布列为 P(X),则 P(X=4)的值为
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C 解析：C 【解析】 【分析】
b , c ，直线 b, c 的方向向量 b, c 分别是平面, 的法向量，根据二面角与法向量
的关系，即可求解. 【详解】
设直线 b, c 的方向向量 b, c ， b , c ， 所以 b, c 分别是平面, 的法向量， 二面角 l 的大小为 60°， b, c 的夹角为 600 或1200 ，
，
，，
的均值为 ．
18．已知函数 f (x) x(ln x ax) 有两个极值点,则实数 a 的取值范围是__________．
19．在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1：2，则它们的面积比为 1：4，类似地，在 空间内，若两个正四面体的棱长的比为 1：2，则它们的体积比为 ▲ 20．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称
数，排除选项 A,B;
因为 x ( π , π) 时， f (x) 0 ，所以排除选项 C，选 D. 2
点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象 的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象 的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图 象的循环往复．