数理方法CH3 作业解答P51习题3.21. 确定下列级数的收敛半径：∞kk（2）∑kz=12k∞（4）∑(k =0k + a )k z kk z k∞kk解：（2）∑kz k=12a k k +1 2k收敛半径为：R lim | | lim | /( ) | lim 2k= = = =k k+1→a 2 2 k +1→∞k ∞k →k ∞ k+1 ∞（4）∑(kk= 0 + a ) k z kk z kka k + ak解：收敛半径为：R lim | | lim | |若|a |≤1，则= = k+1k →a (k +1) + a∞k→∞k +1kk a+lim |→k∞+k (k 1) a+|1=+1若| a |> 1，则k k 1 k - 2-罗比塔法则k a 1 ka k(k 1)a 1罗比塔法则+ + -lim | | lim | | lim | |= =k =k k→∞k +1 k k ka k - 1 a(k 1) a 1 (k 1)a ( 1) |→∞+ + ++→∞+|∞k2.∑akz 的收敛半径为R (0 ≤R < ∞) ，确定下列级数的收敛半径：k=1∞（1）∑kk= 0 n a zkknk a k a k ak n k n k解：) | lim | |收敛半径为：lim | ) |= lim | ( ) | ?| |= lim | ( ?nk (k 1) a k +1 a k 1 a+ + k →∞k k →∞→∞k →∞k+1 k +1 +1kn 而lim |( ) |=1k k +1→∞limk→∞|akak+1|= R所以，所求收敛半径为RP55习题3.311.将下列函数在 z = 0 点展开成幂级数，并指出其收敛范围：（1）(1- 1 z)2解 ： 解法之一 ： 利用多项式的乘法 ：1∞k已知 ∑= z1- z 0k=| z |< 1，(1 1 - 2 z)=∞ ∞kz k(∑0) ?∑z (k = k =0)= 1+ 2z +2 + 3+ + + k+ 3z 4z ... (k 1)z...=∞(∑k= 0k k+1)z解法之二：逐项求导： (1 1 1 = ( )' 2 z - z) 1- 1 则 = 2(1- z)( ∞ ∞ k kz k- 12+ 3 + + k - 1 +z )' 1 2 3 4 ... ...= ∑ = = + z + z z kz∑k =0 k =1由于(1- 1 2 z)在复平面内有唯一的奇点 z =1 ，它与展开中心的距离为1，故该级 数的收敛范围为| z |< 1 （2） 1 az+b k1 a1 1 ∞a ∞ k k k z k解： ∑ ∑= = (- 1) ( z) = (- 1)a k +1 az +b b b 0 b b(1+ z) bk =0 k =a 收敛范围：|z|<1bb 即|z|<||a（5）1+1z+ 2z解：1+11-z1z==-213133 z+z1-z-z-z令1∞3t=z，则∑=t1-t0k=k，故211 ∞3k= z∑3- z 0k =z31- z= ∞3kz∑k= 0+11∞∞3k 3k+1所以，= z ∑- z 收敛范围为| z|<11+ + zz ∑2k =0 k =02. 将下列函数按(z- 1) 的幂展开，并指明其收敛范围：（1）cosz解：cosz = cos[(z - 1) +1] = cos(z - 1) cos1 - sin(z - 1) sin 1=k 2k k 2k∞(- 1) (z - 1) ∞- z 1)( 1) ( -cos1 - sin1∑∑= (2k )! (2k + 1)!k 0 k =0+1收敛范围：| z- 1 |< ∞3.应用泰勒级数求下列积分：sinz （3）=∫Siz0 z zdz解：利用正弦函数的泰勒展开式：sink 2k +1∞(- 1) zz = ，得到∑(2k + 1)!k =0sinzz=k 2k∞(- 1) z∑= (2k + 1)!k 0则k 2k k 2k k 2k +1sin z (- 1) z (- 1) z (- 1) z∞∞∞z z zdz = dz= dz=∫∫∑∑∫∑0 z )! (2 1)!(2 1)0 = ( + 1)! ( k k + k +2k 0 2 +1k 0 k =0 k= 04.函数α(1+ z) 在α不等于整数时是多值函数，试证明普遍的二项式定理：(1( - 1) ( )( 2)2 + - 1 - +αααααααα3+ z) =1 [1+ z+ z z1! 2! 3!...]式中，α为任意复数；αe iαkπ21 =解：(1 + z)α= α( 1+Ln 1 eα[ln( + + e e+ = 1 z 2kπ] = ?z ) i α) iα2 ln(kπez)下面将α在z < 1中作泰勒展开：ln(1+ z)e∞α+z = a z ，其中，ln( 1 ) k记∑f (z) = ekk= 0 ak=f (k ) (0)k!f '(z) = αα+ αln(1 z) f ze = ( )1+ z 1+ z①? f ' (0) = α同时由①式有：(1+ z) f '(z) = αf (z) ②将②式两边再对z求导：(1+ z) f ''( z) + f '( z) = αf ' (z) 得到(1+ z) f ''(z) = (α- 1) f '( z) ③3得f '' (0) = α(α- 1)将③式两边再对z求导得：(1 ( z f z f z ( z f z3) 3)+ z) f ( ) + ''( ) = (α- 1) ''( ) 得到(1+ z) f ( ) = (α- 2) ''( )( 3 = αα- α-)得(0) ( 1) ( 2)f( k =αα- α- α- k +)以此类推，得(0) ( 1)( 2)...( 1)f( k)f (0) 1= = ( - 1) ( - 2)...( - k +1)则akααααk! k!所以∞∞∞1ln( z a z a z1 ) k kα+ = = ke ∑∑( 1) ( 2)...( k 1)z= ∑αα- α- α- + k k k!k 0 k 0 k =0= =∞则kαiα2kπ1+ ∑= αααα(1 z) e ( - 1)( - 2)...( - k +1)zk!k=0( - 1) ( 1)( 2)2 + - - + αααααα3αz <1 = 1 [1+ z+ z z ...]1! 2! 3!5.将Ln(1+ z)在z = 0 的邻域内展开为泰勒级数。
解：Ln(1+ z) = ln(1 + z) + i 2kπ将ln(1 + z) 展开时，既可用泰勒定理直接展开，也可用逐项积分法。
下面用逐项积分法：ln(1 + z) =k +11 z∞∞∞z z kzk k k kdz = (- 1) z dz = (- 1) z dz= (- 1)∫k0 1+ z +1k =0 k= 0 k= 0∫∑∑∫∑0 0则Ln(1 + z) = ln(1+ z) + i 2kπ= 2kπi +k+1∞zk(- 1)∑kk =0 +1P61习题3.43.将函数(1z- a) ( z- b) (0 < a < b ), 在z = 0 ，z= a 的邻域内以及在圆环a < z <b 内展开为洛朗级数。
1 1 1 1解：f (z) ( )= = -(z- a)( z- b) a - b z- a z- b①在z = 0 的邻域，即z < a4z 1111=-()=-(∞∑z-a a a01-ak=za)kz∞1111=-()=-(∑z-b b b0k=1-bzb)k所以11z1z111∞∞∞k k z kf(z)∑∑∑=(-()+())=(-)k+1k+1 a-b a a b b b-a a bk=0k=0k=0②在z=a的邻域，即0<z-a<b-a，zk 11111z a(z a)∞∞--k()=?=∑=--∑=-z ak+1 b(z a)(b a)b a-b a0b a(b a)------=-0-1k k=-b a-所以f (z)=-1z-a∞(z-∑(b-k=0ka)k+1a)=-∞(z∑(bk=0--k-1k+1a)a)③在圆环a<z<b，zk 1111a a∞∞k=∑∑?=()=a+k1 -a z z z0z1k=0k=-zzk 1111z z∞∞k=-()=-()=-∑∑z k+1-b b b b0b1-bk=0k=所以f(z)=1a-b∞(∑k=0kakz+1+kzkb+1）5.将函数f(z)1=在下列区域中展开为级数：z(1-z)（1）0<z<1（4）z-1>1（6）1<z+1<2解：（1）0<z<1f(z)=1z(1-z)=1z∞kz∑k=05（4） z- 1 >1f(z) =1 z(1 -= - z) z 1 - ? 1 z - 1 1+1 = - ( z k1 1 1 (- 1) ∞? = - ?∑ 2 ( 1)k1 2- 1) (z- 1) = z-1 k 0 + z- 1=k +1∞(- 1)∑k +2(z - 1)k =0（6）1< z+1 < 2f 1 1 (z) = = + z(1 - z) 1- z1 z1 1 1 11 1 ∞1 ∞其中，∑ ∑= = ?( ) = =1k zkz (z +1) - 1 z +1 z+1 = 0 (z +1) ( +1)1-k k=0z+1+11kzk1 1 1 1 1 ( z+1) ( +1)∞ ∞= ∑ ∑= ? = ? =z k k 1 +1 +- z 2 - (z +1) 2 2 0 2 0 2 1-k = k=2k∞1 (z+1)f (z) = [ + ]∑k +1 k+1( z+1) 2 k= 0P66习题3.54.求出下列函数的奇点（ 包括 z = ∞），确定它们是哪一类的奇点（对于极 点，要 指出它们的阶）。
（2）5z2(1- z)z1- e（4）z1+ e（6） 2 z （7）zz+1ze（8）21+ z解：（2）5z2 (1- z)z =1为二阶极点。
判据之一：f ( z) 在z =1的去心邻域内能表示成f (z) =(z) φ(z - 21)z = ∞为三阶极点。