第七章数学物理定解问题1．研究均匀杆的纵振动。

已知 x0端是自由的，则该端的边界条件为__。

2．研究细杆的热传导，若细杆的x0 端保持绝热，则该端的边界条件为。

3．弹性杆原长为 l ，一端固定，另一端被拉离平衡位置 b 而静止，放手任其振动，将其平衡位置选在 x 轴上，则其边界条件为u x 0 0 , u x l 0。

4．一根长为 l 的均匀弦，两端 x0 和 x l 固定，弦中张力为T0。

在 x h 点，以横向力F0拉弦，达到稳定后放手任其振动，该定解问题的边界条件为___ f(0)=0,f(l)=0;_____。

5、下列方程是波动方程的是D。

A u tt a2u xx f ；B u t a2u xx f ；C u t a2u xx；D u tt a2u x。

6、泛定方程u tt a2u xx0要构成定解问题，则应有的初始条件个数为B。

A 1 个；B 2 个；C 3 个；D 4 个。

7．“一根长为 l 两端固定的弦，用手把它的中uh u点朝横向拨开距离 h ，（如图〈 1〉所示）然后放0xl / 2手任其振动。

”该物理问题的初始条件为 ( D)。

图〈 1〉2hx, x[0, l]u t hA ．u t l2lB．0ou t02h(l x), x, l ]t 0l[22h lx, x [ 0,]u tl2C．u t0h D．02h l(l x), x [,l ]l2ut t008．“线密度为，长为 l 的均匀弦，两端固定，开始时静止，后由于在点x0(0 x0l ) 受谐变力 F0 sin t 的作用而振动。

”则该定解问题为(B)。

utt a2 u xx F0 sin t(x x),(0x l )A ．uutt a2 u xx F0 sin t ( xx),(0 x l )B． u x 00, u x l0ut 00, ut t00u tt a 2 u xx F0 sin t(x x0 ) , (0x l ) C．ut 00, u t t00utt a2u xx0,(0x l )D．u x0,u x F0 sin t ( x x0 )0lu t00,ut t009．线密度为长为 l 的均匀弦，两端固定，用细棒敲击弦的x0处，敲击力的冲量为I，然后弦作横振动。

该定解问题为：（B）。

u tt a 2 u xx IA ．u x00, u x l0u t00, u t t00u a2uxx 0, (0 x l )ttC．u x00, u x lu t0, u t t I00u tt a2u xxI(x x0 ) B．u x00, u x l0u t00, u t t00utt a 2u xx0,(0x l ) D．u x00, u x lu t0,u t tI( x x0 )0010．下面不是定解问题适定性条件的( D) 。

A．有解B．解是唯一的C．解是稳定的D．解是连续的11、名词解释：定解问题；边界条件答：定解问题由数学物理方程和定解条件组成，定解条件包括初值条件、边界条件和连接条件。

研究具体的物理系统，还必须考虑研究对象所处的特定“环境”，而周围花牛的影响常体现为边界上的物理状况，即边界条件，常见的线性边界条件，数学上分为三类：第一类边界条件，直接规定了所研究的物理量在边界上的数值；第二类边界条件，规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值；第三类边界条件，规定了所研究的物理量以及其外法向导数的线性组合在边界上的数值。

用表示边界即， 代表边界（ 2）第二类边界条件：规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数在边界眩的数值，（ 3）第三类边界条件：规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值，第八章分离变数（傅里叶级数）法u ta 2u xx 0,(0x l )1．用分离变数法求定解问题 u x x0, uxx l的解，其中 ( x) 为 x 的已知函数。

ut 0( x)解：令 ( x) bx设utta 2u xx 0,(0 x l )．用分离变数法求定解问题 ux x0,uxx l0 的解，其中 b 为常数。

2ut 0bx, u t t 0解：以分离变数形式的试探解u( x, t ) X ( x)T (t)代入泛定方程和边界条件，得XTa 2 X TX T ，X a 2TXX 0；Ta 2T 0 ；X(0) 0X (l ) 0X X 0X (0) 0, X (l )本征值：n 2 21,2,3, ) ；本征函数： X n (x)n xnl 2 (nc 2 sinln 22代入 T2 T 0 ，得 T n (t )n 22a 2将 n2al 2 T n (t ) 0l其通解为 T n (t )Acosna t B sinn atlln an a n本征解为： u n (x,t )X n ( x)T n (t ) ( A n B n sin ( n 1,2,3, )costt) sin xll l 一般解为： u( x, t)( A n cosna t B n sinnat) sinnxn 1ll lut t 00, B n 0A n sinnx bxA n 2bn 1lll 0x s i n nx d x 2bl ( 1n ) 1l nu( x, t )2bl ( 1)n 1cosnat sinnxn1 nllu t a 2u xxsin t,(0xl )3．求定解问题ux x 0 0, ux x l的解u t 0解：令 u(x, t )T n (t) cosnxn 0l(T nn22 a2 T n ) cos nx sin tn 0l 2lT 0 sin tT 01cos tA 0T nn 2 2 a 2 T n0 T nl 2u t 00 ，T n ( 0 )1 A 0,C n 01u(x, t) (1 cos t)u ta 2 u xx0, (04．求定解问题 u x 0u 0,ux lut 0n 2 2a 2 tC ne l 2x l )u 0的解，其中 u 0 为常数。

解：设 uw( x, t ) v( x, t)v x0,v x xlu 0vA(t ) x B(t )B(t)0, A(t ) u 0vu 0 xw ta 2 w xx 0w x 00, wx xlwt 0u 0 x,(n 1 ) x令w( x, t) T n (t )sin2ln 0(n 1 )22a 2T n 2T n 0l 2(n 1 )2 2a 22 l 2tT n (t)C n e( n 1)22a 2 ( n 1 ) x2 l 2 t2 w( x, t)C n esinln 0( n 1 )C n sin 2xu 0 xln 02u 0 lC nl(n1 )2u 0 l2n 1x sinxdx( 1) l1) 2 2(n2所求的定解问题的解为( n 1)22a 212u 0 ln 12t( n ) xu(x,t ) u 0 x(e l 2sin 21)n 0(n 1) 22l2utta 2 u xx0,(0 x l )5．求定解问题 u x 0u 0,ux lu 0的解，其中 u 0 、 I 、均为常数。

ut 0u 0 ,u tIx 0 l )t 0( x x 0 ),(0答设所求的定解问题的解为：第十章球函数1．当R r 时，函数1以 P l (cos ) 为基本函数族的广义傅里叶级数展开为R 22rR cos r 2R l11 P l ( c o s) r ll 02．已知P0(x)1、 P1 ( x)x 、 P2(x)1(3x 21) ，则 f ( x) x 2以 P l ( x) 为基本函数族的广义2傅里叶级数为 (D).A ．3P2(x)B．1P1(x)2P2 (x) 233C．1P0 (x)2P2 ( x)D．以上都不对333 ．在球r r0的内部求解u0 ，使满足边界条件u r r021 ，c o s 。

已知 P0 ( c o s)P1 (cos )cos， P2 (cos)1(3cos21) 2解定解问题为：这是一个关于极轴对称的拉氏方程的定解问题当有限所求的定解问题的解为4．半径为 r 的球形区域外部没有电荷，球面上的电势为u 0 cos sin2， u 为常数，求球形区域 外 部 的 电势 分 布 。

已 知 P (cos ) 1 ， P (cos ) cos， 1 2，P 2 (cos )(3cos1) 0 11(5cos 3 2P 3 (cos )3cos) 。

2解：u 0,( r r 0 )u rcos 2r 0u( A l r lB l)l 0r l 1 )P l (cosu r有限A lu B l P l (cos)l 0 rl 1B l P l (cos ) 21 2 (cos )r 0 l 1 cosP 0P 2l 0330 r 0 B 22r 0 3 , B l 0(l 0,2)B333 ur 0 P 0 (cos ) 2r03P 2 (cos )3r3r5．在本来是匀强的静电场 E 0 中放置导体球，球的半径为r 0 ，求球外静电场的电势。

（已知P 0 (cos ) 1， P 1 (cos ) cos）。

解：如图所示，建立坐标系，则定解问题为：当6．在点电荷40 q的电场中放置一个接地导体球，球的半径为a，球心与点电荷相距r1(r1a) 。

求球外静电场的电势。

解：选择球心为球坐标系的极点，极轴通过点电荷，则极轴是对称轴，问题与无关；又设导体球接地，所以导体球内电势为0，即，；在球外，（除点电荷处）任意点的电势是点电荷产生的电势和导体球感应电荷产生的电势的叠加。

因静电感应电荷只在球面上，故由它在球外所产生的电势满足拉普拉斯方程。

于是定解问题为，（ 1）因为，，所以，（ 2）考虑到（ 2）的无限远边界条件，应舍弃项，（ 3）以（ 3）代入（ 2）的球面边界条件，引用母函数比较两边的广义傅里叶系数，得（ 4）在解（ 4）中，第二项，相当于像电荷产生的电势，这像电荷处在球内极轴上，带电量为。