一、正负数与有理数的分类1)有理数:整数与分数统称有理数2)有理数的分类注:①小学学过的π不是有理数.②“四非”:非负数,非负整数,非正数,非正整数.(不要丢掉“0”).③“0”既不是正数也不是负数.④对于正负数的理解不能简单理解为带“+”号的数就是正数,带“-”号的数就是负数,3+里的“+”可以省略.字母可以代表任何数,却不含正负号.二、数轴、相反数、倒数1)数轴:规定了原点.正方向和单位长度的直线.①数轴是条直线,可以向两方无限延伸.②数轴的三要素:原点、正方向、单位长度、三者缺一不可.a. 单位长度和长度单位是两个不同的概念,前者指所取度量单位的长度,后者指所取度量单位的名称,即单位长度是一条人为规定的代表“1”的线段,这条线段可长可短,按实际情况来规定,同一数轴上的单位长度一旦确定,则不能再改变.b. 学会正确的画数轴,常见的错误:没有方向,没有原点,单位长度不统一等.③有理数与数轴的关系:a. 一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.b. 在数轴上,右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.c. 正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数.d. 注意:数轴上的点不都代表有理数,如π.2)相反数是成对出现的,不能单独存在.相反数和为零. ① 3的相反数是3-,0的相反数还是0.② 字母也可以表示相反数,若0a b +=,则a 与b 互为相反数,反之也成立.③ 一个正数前面不管有多少个“+”号,都可以全部去掉;一个正数前面有偶数个“-”号,也可以把“-”号全部去掉;一个正数前面有奇数个“-”号,则化简后只保留一个“-”号,既“奇负偶正”.3)① 倒数:若1ab =,则称a 与b 互为倒数;反之,若a 与b 互为倒数,则1ab =. 注:a. 0没有倒数;b. 求带分数的倒数时要先将其变成假分数,然后再求倒数.② 负倒数:若a 与b 的乘积是1-,则称a 与b 互为负倒数;反之,若a 与b 互为负倒数,则 1.ab =-三、有理数的大小比较1)数轴法:利用数轴比较有理数的大小,数轴右侧的数永远大于它左侧的数. 2)正数都大于0;负数都小于0;正数大于一切负数;两个负数,绝对值大的反而小.四、绝对值的意义及其化简1)绝对值的几何意义:一个数a 的绝对值就是数轴上表示a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a .① a 的几何意义:在数轴上,表示这个数的点离开原点的距离. ② a b -的几何意义:在数轴上,表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离.2)绝对值的代数意义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.3)绝对值的性质:① ()()()0000a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩,② ()()00a a a a a ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩或()()00a a a a a >⎧⎪=⎨-≤⎪⎩ 4)绝对值其他的重要性质:① 任何一个数的绝对值都不小于这个数,也不小于这个数的相反数,即a a ≥且a a ≥- 若a b =,则a b =或a b =-.② (),0aa ab a b b b b⋅=⋅=≠. ③ 222a a a ==.五、绝对值的非负性绝对值的非负性;若0a b c ++=,则必有0,0,0a b c ===.一、用正负数表示具有相反意义的量如果正数表示某种意义,那么负数表示它的相反的意义,反之亦然. 例如:用正数表示向北,那么向南3km 可以用负数表示为3km -.“相反意义的量”包括两个方面的含意:一是相反意义;二是相反意义的基础上要有量. 【题干】下列语句:①不带“-”号的数都是正数;②带“-”号的数一定是负数;③不存在既不是正数也不是负数的数;④0C ︒表示没有温度.其中正确的有( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】A【解析】①0不带“-”号,但是它不是正数.②0-带负号,但是它不是负数.③0既不是正数也不是负数.④0C ︒表示有温度,温度为0度,温度可以为负数(零下)也可以为正数(零上).综上所述,①②③④全部错误.【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性,明确正数和负数的定义,并且注意0这个特殊的数字,既不是正数也不是负数.【题干】台风“桑美”给我县的电力造成严重的影响,一突击队乘汽车抢修供电线路,南记为正,则北记为负.某天自A 地出发,所走路程(单位:千米)为:8,6,2,+--4,5,2+-+,问:①他们________填:(有或没有)回到出发点,在A 地的正________方向,距A 地________千米.②若每千米耗油1.5升,则今天共耗油________升.【答案】① 没有,南,1;② 40.5【解析】① 根据题意可得:南记为正,北记为负,则距A 的距离为()()()862++-+-()()()4521+++-++=+ 最后他们没有回到出发点,在A 地的正南方向,距A 地1千++-+-+++-++=;故从A地出发米.② 从A地出发,汽车共走了86245227⨯=(升).到收工时耗油量为27 1.540.5【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性,明确什么是一对具有相反意义的量中,先规定其中一个为正,则另一个就用负表示.-米,实际上是()【题干】飞机上升了80-米A.上升80米 B.下降80C.先上升80米,再下降80米 D.下降80米【答案】D-米,实际上是下降80米.【解析】负号表示与上升意义相反,即下降,则飞机上升了80【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性,明确什么是一对具有相反意义的量.在一对具有相反意义的量中,先规定其中一个为正,则另一个就用负表示.二、有理数概念和分类的考查1)正面分类需要注意:分数已经包括了有限小数和无限循环小数,分数里面没有可以化成无限不循环小数的.2)反面分类:目前接触到的数里,只有无限不循环小数和开方开不尽(初二会学到)的数是无理数,其他的都是有理数.【题干】下列说法中不正确的是()-既是负数,分数,也是有理数A. 3.14B. 0既不是正数,也不是负数,但是整数-既是负数,也是整数,但不是有理数C. 2000D. 0是正数和负数的分界【答案】C-是负数,分数,是有理数,故A正确;B. 0既不是正数也不是负数,【解析】A. 3.14-是负数,是整数,是有理数,故C错误;D. 0是正数0是有理数,故B正确;C. 2000和负数的分界,故D正确.【点评】【题干】下列说法不正确的是()A. 存在最小的自然数B. 存在最小的正有理数C. 不存在最大的正有理数D.存在最大的负有理数 【答案】B【解析】根据有理数的分类可知A 、C 、D 选项正确B 错误,而最小的自然数是0. 【点评】【题干】下列数中:322215,,,5,3.8,2,23%,0.420,|0.05|,873π------,负有理数有________,分数有________.【答案】32,5,2,|0.05|83-----;3222,,2,23%,0.420,|0.05|873---- 【解析】负有理数:32,5,2,|0.05|83----- 分数:3222,,2,23%,0.420,873--|0.05|--.【点评】三、相反数、倒数和数轴【题干】下列说法正确的个数是( )① a 一定大于0;② a -一定是负数;③ m -的倒数一定是1m;④ ||1a --一定是负数;⑤ 若0ab =,则a ,b 均为O ;⑥ 若x y =,则x 与y 相等或互为相反数; ⑦ 若0x y +=,则x ,y 中至少有一个为0. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】 【解析】 【点评】【题干】a -的相反数为5,b 的倒数是c ,c 的负倒数是2,有理数d 在数轴上的对应点到原点的距离为3,求()32a b d c ---的值.【答案】198. 【解析】根据题意得:5a =,2b =-,12c =-,3d =或3-,当3d =时,原式()1110231588⎛⎫=-----= ⎪⎝⎭;当3d =-时,原式()111023988⎛⎫=--+--= ⎪⎝⎭【点评】【题干】数轴上的点A 、B 、C 分别对应的数为0、1-、x ,点C 与点A 的距离大于点C 与点B 的距离,则( )A. 0x >B. 1x >-C. 12x <- D. 1x <- 【答案】C【解析】如图:∵C 与A 的距离大于C 与B 的距离,故12x <-.【点评】四、绝对值及其性质绝对值表示一个数和零之间的差值(或距离),它是一个正直,在具体题目中常常要判断一个是大于零还是小于零的,常见的表示一个字母是大于零的等价式子有: ① a 不为零,且a a = 0a >,a =-0a <.② 0ab <,且a > 0a >,0b <.③ c c -=c =0c >.④1m m m =⇒大于0,1mm m=-⇒小于0. 【题干】同学们都知道,()52--表示5与2-之差的绝对值,实际上也可理解为5与2-两数在数轴上所对应的两点之间的距离.试探索: ① 求()52--=_______ .② 找出所有符合条件的整数,使得527x x ++-=这样的整数是________.③ 由以上探索猜想对于任何有理数x ,36x x -+-是否有最小值?如果有,写出最小值;如果没有,说明理由.【答案】①7;②5,4,3,2,1,0,1,2-----;③有,最小值为3.【解析】①原式527=+=;②令50x +=或20x -=时,则5x =-或2x =, 当5x <-时,∴()()527x x -+--=,527x x ---+=,5x =(范围内不成立),当52x -<<时,∴()()527x x ++-=,527x x +-+=,77=,∴4,3,2,1,0,1x =----,当2x >时,∴()()527x x ++-=,527x x ++-=,24x =,2x =,2x =(范围内不成立). ∴综上所述,符合条件的整数x 有:5,4,3,2,1,0,1,2-----;③由②的探索思想,对于任何有理数x ,36x x -+-有最小值为3. 【点评】【题干】设,,a b c 都是实数,且0a a +=,ab ab =,0c c -=,那么化简a b a c +-的值为( )A. 2c b -B. 2b a -C. bD. b -所以原式 【答案】C【解析】由已知得0,0,0a b c ≤≤≥,所以原式()()()b a bc b c a =-++--+-b a b c b c a b =-++-++-=.【点评】【题干】若有理数,,m n p 满足1m n p m n p++=,则23mnpmnp =________. 【答案】23-【解析】有理数,,m n p 满足1m n p m n p++=,所以,,0m n p ≠;根据绝对值的性质:①当0,0,0m n p >><时,原式1111=+-=,则2233mnp mnp =-;② 当0,0,0m n p ><>时,原式111=1=-+,则2233mnp mnp =-;③ 当0,0,0m n p <>>时,原式1111=-++=,则2233mnp mnp =-.【点评】五、利用绝对值的非负性解题0a ≥,a 为任意值都满足这一条性质,这就是绝对值的非负性.另:平方数也是非负数.【题干】已知2ab -与1b -互为相反数,试求代数式()()1111ab a b ++⨯+()()()()112220122012a b a b ++++⨯++⨯+()()120122012a b ++⨯+的值.【答案】20132014【解析】根据题意得:210ab b -+-=.解得:2,1a b ==,则原式111223=+⨯⨯ 1111111201311201320142232013201420142014++=-+-++-=-=⨯. 【点评】【题干】已知()255a b b b +++=+,且210a b --=,那么ab =________. 【答案】19-【解析】由210a b --=知:210a b --=,∴21b a =-,∴()255a b b b +++=+可以简化为:()2312424a a a -++=+,① 当240a +>即2a >-时,310a -=所以13a =,② 当240a +<即2a <-时,()()2231243124a a a a -++=---24a =+,∴291070a a --=,解得a =a =2a <-不符,这种情况不存在.综上可知:13a =,13b =-,∴19ab =-. 【点评】【题干】已知()2120x y x +++=,则yx =_________.【答案】1【解析】绝对值与平方项均恒非负,两者之和0=,两者分别0=,10x +=,1x =-;20y x +=,()2212y x =-=--=;()211y x =-=.【点评】六、比较有理数大小的常用方法1)代数法:正数大于非正数,零大于一切负数. 2)数轴法:数轴右边的数比左边的数大.3)绝对值法:对于两个负数,绝对值大的反而小.4)特殊值法:给题目中的字母一个特定的值,然后代入求值,进而比较大小. 【题干】三个有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示,则( )A.111c a c b a b >>--- B. 111b c c a b a >>--- C.111c a b a b c >>--- D. 111a b a c b c>>--- 【答案】B【解析】由图可见c b a <<.所以0,0a b a c b c a c <-<-<-<-,由此110a c a b <<-- ①,110a c b c <<--②,由①得:110c a b a >>--③,由10a b>-及④可知应排除A ,故A 错误;由③和②得:B 正确;由10b c>-及③可知应排除C ,故C 错误;由②得:110c a c b>>--④,由②知,应排除D ,故D 错误. 【点评】【题干】已知10a -<<,试将a ,a -,2a ,1a按从小到大的顺序排列. 【答案】21a a a a<<<- 【解析】假设12a =-;21111,,,2224a a a a =--===-;∴21a a a a<<<- 【点评】【题干】设0a b c >>>,1,,,b c a c a ba b c m n p a b c+++++====,则,,m n p 之间的关系为( )A .m p n >>B .n p m >>C .p m n >>D .m p n >> 【答案】D【解析】∵1a b c ++=,∴1,1,1b c a a c b a b c +=-+=-+=-,∴b c m a+=111a a a -==-+,111a c b n b b b +-===-+,111a b c p c c c+-===-+. ∵0a b c >>>,∴1110a c b >>>,∴111111a c b +>-+>-+,即m p n >>.【点评】七、初步理解分类讨论的思想(零点分段法)分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结果,最后综合各类结果得到整个问题的解答,实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零为整”的数学策略. 【题干】化简:121x x --++ 【答案】见解析.【解析】①3x ≥,原式1213122x x x x x =--++=-++=-;②13x ≤<,原式121314x x x x =--++=-++=;③11x -≤<,原式121x x =--++()111122x x x x x =-+++=+++=+;④1x <-,原式()121x x =---+ ()()111122x x x x x =-+--=-+--=--.【点评】【题干】化简:2136x x x +--+-. 【答案】见解析.【解析】∵由210x +=、30x -=、60x -=分别求得:1,3,62x x x =-==,当12x <-时,原式()()()213622x x x x =-++---=-+;当132x -<<时,原式()21x =+()()3624x x x +---=+;当36x ≤<时,原式()()213x x =+-- ()610x --=;当6x ≥时,原式()()()213622x x x x =+--+-=-;∴原式122,2124,3210,3622,6x x x x x x x ⎧-+<-⎪⎪⎪+-≤<=⎨⎪≤<⎪⎪-≥⎩【点评】【题干】已知m 、n 为整数,且21m m n -+-=,求m n +的值.【答案】3或5或6或2 【解析】当20m -=时,1m n -=,∴2,1m n ==或3n =,∴3m n +=或5.当21m -=时,0m n -=,∴3m =或1n =,n m =,∴6m n +=或2.综上,3m n +=,或5,或6,或2.【点评】八、体会数形结合思想数形结合思想是一种重要的数学方法,数形结合就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想,本章中的“数”就是有理数,“形”就是数轴,由于任意一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示,就把数和形巧妙的结合起来了,数轴是数形结合常用的工具,运用数形结合思想可解决与数轴有关的各种问题.【题干】(2013湖北省咸宁市1)在数轴上,点A (表示整数a )在原点的左侧,点B (表示整数b )在原点的右侧.若2013a b -=,且2AO BO =,则a b +的值为________.【答案】671-【解析】如图,0a b <<. ∵2013a b -=,且2AO BO =,∴2013b a -=①,2a b =-②,由①②,解得671b =,∴2671a b b b b +=-+=-=-.【点评】【题干】数,a b 在数轴上对应的点如右图所示,化简a b b a b a a ++-+--.【答案】见解析.【解析】0,0,0,0a b a b b a <>+<->,所以原式a b b a b a a=--+-+-+2222a b a a b a b =-+-=-++=.【点评】【题干】如图所示,若点A 是有理数a 在数轴上对应的点,则关于a 、a -、1的大小关系正确的是( )A. 1a a <<-B. 1a a <-<C. 1a a <-<D. 1a a -<<【答案】A【解析】∵实数a 在数轴上原点的左边,∴0a <,但1,1a a >->,则有1a a <<-.【点评】。