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V − E + F ＝ 2B − 2G + L (a) 14 − 21 + 9 ＝ 2×1 − 2×1 + 2 (b) 16 − 24 + 11 ＝ 2×1 − 2×0 + 1 (c) 16 − 28 + 13 ＝ 2×1 − 2×1 + 1
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符合欧拉公式的物体称为欧拉物体。
通过一系列增加和删除面、边、点的操作去构 造欧拉物体的过程称为欧拉运算。 现在已有一套欧拉算子供用户使用，保证在每 一步欧拉运算后正在构造中的物体符合欧拉公 式。
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1．Parasolid
Parasolid是用C语言开发的，其 前身是Romulus。为了在实体造型系 统中支持精确的曲面表示，1985年， Shape Data 公司开始了Parasolid的 开发。
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Parasolid的造型功能
交算法可以归为C（5，2）+ 5=15种。
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求交算法
代数方法 几何方法 离散方法 跟踪方法
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3.3.3.2 布尔运算
►常用的布尔运算有交、并和差。 ►在布尔运算中，所有参与运算的物体必须具
有相同的空间维数。 ►在布尔运算中，关键的问题是表面求交及拓
扑信息的分类处理。
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布尔运算
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线框造型的应用
线框造型主要用于二维绘图。 在其它的建模过程中，快速显示某些中间结果。 在许多CAD／CAM系统中将此种模式作为表
面造型与实体造型的辅助工具。
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3.3.2 表面造型
表面造型是在线框造型基础上发展起来的、利 用形 表达相应的形体。
布尔运算是一种正 则化的集合运算， 它保证两个基本体 素经过运算后所得 结果是有意义的， 并可进一步参与布 尔运算。
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布尔运算过程
(1)求交：参与运算的形体的各拓扑元素求交，求交的顺序采 用低维元素向高维元素进行。用求交结果产生的新元素 （维数低于参与求交的元素）对求交元素进行划分，形成 一些子元素。这种经过求交步骤之后，每一形体产生的子 拓扑元素的整体相对于另一形体有外部、内部、边界上的 分类关系。
表面造型可以为CAD／CAM中的其它场合提供数据， 例如数控刀具轨迹生成和有限元网格划分。
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3.3.3 实体造型的数据结构
Parasolid核心模型
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3.3.3.1 几何元素的求交算法
求交分类策略
通常，在几何造型系统中，用到的几何元素主要有25种： 点：3D点。 线：3D直线段、二次曲线(包括圆弧和整圆、椭圆弧和椭 圆、抛物线段、双曲线段)、 Bezier曲线 (有理和非有理)、 B样条曲线、NURBS曲线。 面：平面、二次曲面(包括球面、圆柱面、圆锥/台面、双 曲面、抛物面、椭球面和椭圆柱面)、Bezier曲面 (有理和 非有理)、B样条曲面、NURBS曲面。
(2)成环：由求交得到的交线将原形体的面进行分割，形成一 些新的面环。再加上原形体的悬边、悬点经求交后得到的 各子拓扑元素，形成一拓扑元素生成集。
(3)分类：对形成的拓扑元素生成集中的每一拓扑元素，取其 上的一个代表点，根据点/体分类的原则，决定该点相对 于另一形体的位置关系，同时考虑该点代表的拓扑元素的 类型（即其维数），来决定该拓扑元素相对于另一形体的 分类关系。
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3.3 基于线框、表面、实体和特征 统一表示的造型
几何造型的发展过程
几何造型是利用计算 机系统描述物体的几 何形状，建立产品几 何模型的技术。
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3.3.1 线框造型
所谓线框造型，就是利用产品形体的棱边和顶 点表示产品几何形状的一种造型方法 。
线框造型的数据结构是表结构。
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线框模型
顶点表和棱线表
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求交策略
为了建立一个通用的求交函数库，所要完成的求 交函数多达325种。
这些几何元素可以按照其维数归为三大类：点、 线、面。这样，求交方法就可分为：点点、点线、 点面、线线、线面、面面六种。点只有三维点一 种，比较简单。线和面又可分别归为二次曲线、 自由曲线和二次曲面、自由曲面两类。这样，求
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布尔运算过程
(4)取舍：根据拓扑元素的类型及其相对另一形体的 分类关系，按照集合运算的运算符要求，要决定 拓扑元素是保留还是舍去；保留的拓扑元素形成 一个保留集。
(5)合并：对保留集中同类型可合并的拓扑元素进行 合并，包括面环的合并和边的合并。
(6)拼接：以拓扑元素的共享边界作为其连接标志， 按照从高维到低维的顺序，收集分类后保留的拓 扑元素，形成结果形体的边界表示数据结构。
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3.3.3.4 两大几何造型平台
“几何引擎”
三维几何内核在70年代出现GKS/3D，以及80 年代的PHIGS等，后来流行的主流参数化特征 造型系统均采用了三维实体造型核心Parasolid 或ACIS。
BUILD-1系统, BUILD-2系统 , Romulus =〉 Parasolid和ACIS
表面造型的数据结构仍是表结构。
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表面模型
顶点表、边表、面表
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表面造型的应用
能够比较完整地定义三维立体的表面，所能描述的零 件范围广，特别是像汽车车身、飞机机翼等难于用简 单的数学模型表达的物体，均可以采用表面造型的方 法构造其模型，
利用表面造型能在图形终端上生成逼真的彩色图像， 以便用户直观地从事产品的外形设计，从而避免表面 形状设计的缺陷。
CAD技术基础
材料学院 华铸软件 廖敦明 liaodunming@
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第三章 产品造型
3.1 形体的机内表示 (参见李建军的书) 3.2 参数曲线与曲面 (参见孙家广的图形学P286) 3.3 基于线框、表面、实体和特征统一表
示的造型 (参见李建军的书 第5章 产品零件造型.doc )
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布尔运算过程
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布尔运算过程
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3.3.3.3 欧拉公式
欧拉公式常用于检验几何造型中所产生形体的合法性 及一致性，以保证产生的形体有意义。
对于多面体有以下著名的欧拉公式:
V − E + F ＝ 2B − 2G + L
式中V为顶点数，E为边数，F是面数，B相当于独立 的、不相连接的多面体数，G是贯穿多面体的孔的个 数，L是所有面上末连通的内环数。