缺点：
CSG树只定义了物体的构成体素及构造 方式，没有反映物体的面、边、顶点等 有关信息，因此这种数据结构称为“不 可计算的”。
当真正进行物体的拼合运算并最终显示 物体时，还需将CSG树数据结构转换为 边界表示的数据结构。
6.1.4.3 边界表示法 (B-rep)
边界表示法及其与表面模型的区别 边界表示法的优缺点 实用系统中的CSG法和B-Rep法
2. 优点与缺点
(1)优点 详细记录了三维形体所有几何元素的几何 信息和拓扑信息，这在图像生成和模型表 面积计算等应用中表现出明显的优点；所 表示的实体不存在二义性。 (2)缺点
存储量大； 不能反映形体的构造过程
3. 实用系统中的CSG法和B-rep法
(1)由于CSG法描述实体的能力强，故几乎在所
例. 立方体的表面模型 表面模型的数据结构是在线框模型数据结构的 基础上增加面的有关信息。
e3
F2
常用的曲面类型：
表面模型中的几何形体表面可以由若干块面片组 成，这些面片可以是平面、解析曲面（如球面、 柱面、锥面等）、参数曲面（Bezier、B样条曲面 片等）。
曲面可通过以下的生成方式产生：
1. 通过一条或多条曲线构造曲面
有基于边界表示法的实用系统中，都采用CSG法 作为实体输入手段。
例如，有建立体素的命令，进行各种体素拼合的 命令，以及修改某个体素的命令等；当执行这些 命令时，相应地生成或修改边界表示数据结构中 的数据。
(2)在实用造型系统中，边界表示法已逐渐成 为实体的主要表示形式。这是因为：
• 用CSG法构造复杂的实体存在局限性。
A Wrench
Leaf Nodes: Primitives
or Transformation Data
CSG Binary Tree
6. CSG法的优点与缺点 优点：
用CSG法表示复杂实体非常简明，可惟一 地定义物体。 CSG法所表示的实体的有效性是由体素的 有效性和集合运算的正则性自动得到保证 。 CSG树描述物体非常紧凑，体素种类越多 ， CSG法所能定义的实体的覆盖域越宽。 在大多数实体造型系统中作为用户输入手
所提供的造型手段不符合工程师的设计习惯。
它只提供了点、线、面或体素拼合这些初级构形 手段，不能满足设计、制造对构形的需要。因为 设计工程师和制造工程师在设计一个零件时，总 是从那些对设计或制造有意义的基本特征出发进 行构思以形成所需的零件。其中的特征包括各种 槽（如方形槽、V形槽、燕尾槽、盲槽）、凹坑 、圆孔、螺纹孔、顶尖孔、退刀槽、倒角等。
棱线号
1
1 234
2
2 -5 -6 -7
3
-8
表
4
3 -1 -10 -5 -9
面 表
5
2 11 6 10
6
3 12 7 11
6.1.4.2 几何实体构造法(CSG法)
CSG模型是用简单实体(称为体素)通过集 合运算交、并、差构造复杂实体的方法。
1. 集合的交、并、差运算
2. 简单实体的构造
以上说明了几何实体构造法构造实 体的基本方法。但需要指出的是， 体素经集合论中的交、并、差运算 后可能产生客观上并不存在的实体 。下面以二维情况为例加以说明。
（1）优点
利用曲面造型能够构造诸如汽车、飞机、船舶、 模具等非常复杂的物体。
并且，由于表面模型比线框模型提供了形体更多 的几何信息，因而还可实现消隐、生成明暗图、 计算表面积、生成表面数控刀具轨迹及有限元网 格等。
（2）缺点 操作复杂，需具备一定的曲面造型知识。 由于缺乏面与体的关系，不能区别体内与体 外，不能指出哪里是物体的内部与外部信息，
组合曲面
组合曲面（Composite Surfaces）是由曲面片拼合成的 复杂曲面。
现实中，复杂的几何产品很难用一张简单的曲面进 行表示。
将整张复杂曲面分解为若干曲面片，每张曲面片由 满足给定边界约束的方程表示。理论上，采用这种分片 技术，任何复杂曲面都可以由定义完善的曲面片拼合而 成。
表面模型的优点与不足：
6.1.4.1 实体模型的概念
实体模型的核心问题是采用什么方法来表示实体
。与线框模型和表面模型的根本区别在于：实体模型 不仅记录了全部几何信息，而且记录了全部点、线、 面、体的信息。
为了确定表面的外法线方向，例如 规定正向指向体外。
表面F
特征造型的优点:
(1) 在更高的层次上从事产品设计工作： (2) 使设计人员将更多的精力用在创造性构
思上；
使产品设计更易为别人所理解；
使设计的图样更容易修改。
(2) 有助于加强产品设计、分析、工艺准备、 加
工、检验各部门之间的联系。
(3) 促进产品的集成信息模型的实现，因 为特征造型能够很好地表达产品的完整 的技术和生产管理信息。
1. B-rep法及其与表面模型的区别 （1） B-rep法
边界表示法是用物体封闭的边界表面描述物体的方法 ，这一封闭的边界表面是由一组面的并集组成的。
（2）边界表示中的层次结构
例子
Cube F1 F2 F3 F4 F5 F6
V4
F3 V3
E3
F2
E4 F1 E2
V1 E1
V2
六个面
E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10 E11 E12
线性拉伸面或柱状面
直纹面
旋转面
扫成面
Coons曲面
2. 由位于矩形网格上的一组输入点（称为控 制顶点）构造曲面。
Bezier曲面
B样条曲面
3. 通过插值其他曲面构造曲面
圆角曲面（Fillet Surface）：它为两个曲面间的 过渡曲面，性质为B样条曲面
说明：尽管定义曲面 的方式多种多样，但 它们都可以由NURBS 曲面统一表示。
(4) 有助于推动行业内的产品设计和工艺 方法的规范化、标准化和系列化。
(5) 促进智能CAD系统和智能制造系统的 逐步实现。
6.2.4 参数化特征造型系统
将参数化造型的思想用到特征造型中来，对产 品的特征进行参数化造型，就形成了参数化特征 造型，目前许多主流的实体造型系统如
I - DEAS 、Pro/Engineer、UnigraphicsⅡ等均 提供了有关功能。
6.2.5 发展趋势
CAD/CAPP /CAM集成 反向工程（Reverse Engineering） 面向网络的CAD应用
习题6
6-1 试分析几何造型系统线框模型和表面模型的 优缺点。
6-2 试分析几何造型系统三种模型的优缺点。 6-3 分析比较CSG法与B-rep法的优缺点。
12条边
V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8
八个顶点
（3）与表面模型的区别
边界表示法的表面必须封闭、有向，各张表面 间有严格的拓扑关系，形成一个整体；
而表面模型的面可以不封闭，面的上下表面都 可以有效，不能判定面的哪一侧是体内与体外 ；
此外，表面模型没有提供各张表面之间相互连 接的信息。
6.2.2 参数化几何造型
这种方法使用拓扑约束和尺寸约束来定义和修 改几何模型。将尺寸用变量表示，作为设计的 几何参数，以建立通用的几何模型。
优点
可快速设计出形状相似仅尺寸不同的一组零 件。具有动态修改几何模型的能力。 局限性
一般不能改变图形的拓扑结构。
6.2.3 基于特征的实体造型
特征造型是以实体造型为基础用具有一 定设计或加工功能的特征作为造型的基本单 元建立零部件的几何模型。
边之间连接关系的拓扑信息。
2. 线框模型的优缺点 优点:
构造模型时操作简便，处理速度快且占 用内存少。 特别适用于设计构思、建立 设计图的总体空间位置关系及图形的动态 交互显示。
利用投影变换，从三维线框模型可方便 地生成各种正投影图、轴测图和任意观 察方向的透视投影图。
缺点:
中间打孔的长方体
边界表示法采用了自由曲面造型技术， 能够构造像飞机、汽车那样具有复杂 外形的实体，用CSG法的体素拼合则 难以做到。
• 从CSG模型通过计算可直接转换成边界表示 模型，但反之不然。尚没有从边界表示模 型到CSG模型的一般转换算法，因此两种 表示法不可交换。
• 商业化造型系统的发展趋势是将线框表示、 曲面表示和实体表示统一在一个统一框架 中，用户根据实际问题的需要选取合适的 技术。而由边界表示转换为线框模型非常 简单。
6.1.2 线框模型 (Wireframe Model)
1. 线框模型的概念
由构成物体的一组顶点和边来表示物体的几 何形状，其中边可以是直线，也可以是曲线，如 园弧、二次曲线、B 样条曲线和Bezier曲线。
例. 立方体的线框模型及其计算机表示
线框模型
顶点表
棱线表
提供了定义形体的点、线的几何信息，以及点与
6.1 几何造型
6.1.1 概述 6.1.2 线框模型 6.1.3 表面模型 6.1.4 实体模型
6.1.1 概述
1. 几何造型是CAD系统的核心
产品设计: 用户设计所需要的几何产品。
几何造型：在计算机内生成所需要的几何形状。
计算机图形学：在输出设备上显示所生成的图形 。
2. 三维几何形体的计算机表示 两种信息：几何信息和拓扑信息 • 线框模型、表面模型和实体模型
两个要素: 被运动的对象，称为基体，可以为曲线、面
。 扫描运动的轨迹，称为扫描轨迹。
在以B-rep表示为主的实体系统中，扫描 表示法经常作为一种输入形体的手段
设计二维图形
调用扫描命令
生成三维实体
6.2 参数化特征造型技术
实体造型系统的不足 参数化几何造型（Parametric Modeling） 特征造型（Feature-based Modeling） 参数化特征造型系统 发展趋向