初中圆复习、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2 、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

点与圆的位置关系1、点在圆内2、点在圆上3、点在圆外直线与圆的位置关系d r 点C在圆内;d r 点B 在圆上；d r 点A在圆外;1、直线与圆相离2、直线与圆相切d r 无交点;d r 有一个交点;3、直线与圆相交 d r 有两个交点;四、圆与圆的位置关系外离（图1）无交点 d R r ；外切（图2）有一个交点 d R r ;相交（图3）有两个交点内切（图4）有一个交点 d R r ；内含（图5）无交点 d R r ；J.R五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧推论1:（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB是直径②AB CD ③CE DE ④弧BC 弧BD ⑤ 弧AC 弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2 ：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在O O 中，••• AB // CD•••弧AC 弧BD六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

此定理也称1 推3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1 个相等，则可以推出其它的3 个结论，即：① AOB DOE :② AB DE ;③OC OF ;④弧BA弧BD七、圆周角定理1 、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即：••• AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角• AOB 2 ACB2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧;即:在。

O中C、D都是所对的圆周角CD推论2 ：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

即：在O O中，••• AB是直径或••• C 90••• C 90 二AB是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

即：在厶ABC中OC OA OB•••△ ABC是直角三角形或C 90注意：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

即：在。

O中，•••四边ABCD是内接四边形••• C BAD 180 B D 180DAE C九、切线的性质与判定定理1 、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：••• MN OA且MN过半径OA外端••• MN是O O的切线2 、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即：：PA、PB是的两条切线••• PA PB; PO 平分BPA十一、圆幂定理1、相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。

即：在。

O中，•••弦AB、CD相交于点P ,••• PA PB PC PD推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

即：在O O中，•••直径AB CD ,••• CE AE BE2、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

即：在。

O中，：PA是切线，PB是割线2••• PA PC PB3、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如右图)。

即：在。

O中，：PB、PE是割线2••• PC PB PD PE十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。

如图：0Q2垂直平分AB。

即P：v© O i、O O2相交于A、B两点二0102垂直平分AB十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：(1 )公切线长：Rt OQ2C 中，AB2 CO,2 OQ22 CO22；(2)外公切线长：CO2是半径之差；内公切线长：CO2是半径之和十四、圆内正多边形的计算(1 )正三角形在。

O中厶ABC是正三角形，有关计算在Rt BOD中进行：OD:BD:OB 1:、一3:2 ;(2 )正四边形同理，四边形的有关计算在Rt OAE中进行，OE:AE:OA 1:1: .2 :(3 )正六边形十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：(1)弧长公式：,n R180 ；(2 )扇形面积公式：。

n R21S IR360 2n：圆心角R:扇形多对应的圆的半径I :扇形弧长S:扇形面积2、圆柱：(1 )圆柱侧面展开图同理，六边形的有关计算在Rt OAB中进行, AB: OB : OA 1: 3:2.S表S侧2S底=2 rh 2 r(2)圆柱的体积：V r2h3、圆锥侧面展开图(1)S表S侧S底=Rr r1(2)圆锥的体积：V - r2h3十六、内切圆及有关计算(1)三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。

(2) △ ABC 中，/ C=90 ° , AC=b , BC=a , AB=c，则内切圆的半径1(3) S△ ABC= r (a b c)，其中a, b , c是边长，r是内切圆的半径。

(4) 弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。

如图，BC切O O于点B , AB为弦，/ ABC叫弦切角，/ ABC= / D。

C练习题1 •若O O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，那么点A与O O的位置关系是()A.点A在圆内B .点A在圆上c.点A在圆外D .不能确定2 .已知O O的半径为5,弦AB的弦心距为3,则AB的长是___________3 .如图，MN是半径为1的O O的直径，点A在O O上，/ AMN =30 ° , B为AN弧的中点，点P是直径MN 上一个动点，则求PA+PB的最小值4如图2，已知BD 是O O 的直径，O O 的弦AC 丄BD 于点E ，若/ AOD=60 °，则/ DBC 的度数为 _5 .与直线L 相切于已知点的圆的圆心的轨迹是 __________ .6 .已知直角三角形的两直角边长分别为 5和12，则它的外接圆半径 R= ________ ，内切圆半径r= ________ .7 . O O 的半径为6 , O O 的一条弦AB 为6 3，以3为半径的同心圆与直线 AB 的位置关系是 _________________8 .PA 、PB 是O O 的切线，切点是 A 、B ，/APB =50。

，过A 作O O 直径AC ,连接CB ，则/ PBC = ________9 .如图4, AB 是O O 的直径，弦 AC 、BD 相交于P ,贝U CD: AB 等于构成圆环面积为A . sin BPC C . tan BPC D . cot BPC10 .如图5，点则PC 的长是 A .,2 P 为弦AB 上一点，连结 OP ,过 PC 作 PC 丄OP , PC 交O O 于 C ,若 AP =4 , PB =2 ,C . 2.211 .圆的最大的弦长为 12 cm ，如果直线与圆相交，且直线与圆心的距离为d ，那么 A . d <6 cm6 cm< d <12 cm C . d > 6 cmd >12 cm 12 .如图6，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线, P 为切点，设AB =12，则两圆B . cos BPC 图5图413 .如图 7, PE 是O O 的切线，E 为切点，PAB 、PCD 是割线，AB =35 , CD =50 , AC : DB =1 : 2,则 PA= _____ .14 .如图8 , AB 是O O 的直径，点 D 在AB 的延长线上，且 BD =OB ，点C 在O O 上，/ CAB =30 ° , 求证：DC 是O O 的切线.15.如图，AB 既是O C 的切线也是O D 的切线，O C 与O D 相外切, O C 的半径r=2 , O D 的半径R=6，求四边形 ABCD 的面积。

（1） AC 是O O 的切线.（2）若 AD : DB =3 : 2 , AC =15，求O O 的直径.（12 分）图1017 .如图11 , AB 是O O 的直径，点P 在BA 的延长线上，弦 CD 丄AB ，垂足为E ,且PC 2=PE • PO . (1) 求证：PC 是O O 的切线；(2)若0E : EA =1 : 2 , PA =6，求O O 的半径；(3)求sin PCA 的值.(12分)图1118 .如图，O O 的两条割线 AB 、AC 分别交圆 0于D 、B 、E 、C ,弦DF//AC 交BC 于C .(1)求证：AC FG BC CG ；(2 )若CF = AE .求证：△ ABC 为等腰三角形.19. 如图，AB 是O O 的直径，弦 CD 丄AB 与点E ，点P 在O O 上，/ 1= / C , (1 )求证：CB // PD; 16 .如图10 , BC 是O O 的直径, A 是弦BD 延长线上一点，切线 DE 平分AC 于E ，求证:图6 图73(2 )若BC=3 , sinP= ，求O O 的直径。

520 .如图，△ ABC内接于O O, AB是O O的直径，PA是过A点的直线，/ PAC =Z B .(1)求证：PA是O O的切线；(2)如果弦CD交AB于E, CD的延长线交PA 于F, AC = 8 , CE : ED = 6: 5 , AE : EB = 2 : 3 ,求AB的长和/ ECB的正切值.21 •如图，在Rt△ ABC中，/ B = 90 °，/ A的平分线交BC于点D , E为AB上的一点，DE = DC，以D为圆心，DB长为半径作O D ,求证：(I) AC是O D的切线；(2 ) AB + EB = AC.22 •如图，AB是O O的直径，以OA为直径的O O1;与O O的弦AC相交于D , DE丄OC,垂足为E .(l)求证：AD = DC ;(2 )求证：DE是O。