中国矿业大学(北京)
《高等数学A1》试卷（B 卷）
得分：
一、填空题（每空3分，共30分）
1．极限=+-→)21ln(arctan lim 30x x
x x 1
6
-
2. 设x e x f arctan )(=，则微分=
)(x df 21x
x
e
dx e
+ 3．函数⎪⎩⎪
⎨⎧=≠-+=0,0,1
sin )(2x a x x
e x x
f ax 在0=x 处连续，则=a 1- 4．设)(x y y =是由方程1+=+x e xy y
确定的隐函数，则=)0(''y 3- 5．设x
e x x
f 2)(=，则=)0()
100(f
99
1002⋅
6. 抛物线x x y +=2在点)0,1(-处的曲率为2
7. 若曲线123+++=bx ax x y 有拐点)0,1(-，则=b 3
8. =+⎰-
xdx x x cos )(22
π
π 2-π
9. 已知⎰
+='C x dx x
x f 2)
(ln ，则=)(x f C e x +2 10. 以x Ce y x += 为通解的微分方程是.01'=-+-x y y
二、计算（每小题6分，共12分）
1、求极限2013sin cos
lim
(1cos )ln(1)
x x x x x x →+++ 解：原式=x
x x x x 1
cos
sin 3lim
21
20+→=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+→
→x x x x x x 1cos lim sin 3lim 2100
=2
3
2、设
()2arctan ln 1x t y t t =⎧⎪⎨=-+⎪⎩
，求dy dx ，22dx y d . 解: 222
21
11211t dy
t t t dx
t -
+==+-+，()()22222122(1)111t t d y t t dx t '+-=
=
+-+ 三、（6分）设方程
y =
确定y 是x 的函数，求'y .
解:取对数得：()()211
ln ln 1ln 2ln arcsin 339
y x x x =
-+-- 方程两边同时求导得：
121111131329arcsin y y x x x -'=⋅+⋅---，得 21111131329arcsin y x x x ⎫
-'=⋅
+⋅---
四、计算题（共14分）
1. （7分）求不定积分1
sin 2cos dx x x
⎰ 解: 2
2111csc sec sin 2cos 2sin cos 2dx dx x xdx x x x x ==⎰⎰⎰ ()111
csc tan csc tan tan csc cot 222
xd x x x x x x dx =
=⋅-⋅-⋅⎰⎰ 1111
csc tan csc csc tan ln csc cot 2222
x x xdx x x x x C =⋅+=⋅+-+⎰
2. （7分）设()cos ,01,01x
x x x f x x e <⎧⎪=⎨≥⎪+⎩，求
()⎰
-2
1dx x f .
解:
()()21
1
01
1011cos 1x
f x dx f t dt x xdx dx e ---==++⎰⎰
⎰⎰
=()0
1
0101
10101sin sin sin 111x x
x x e xd x dx x x xdx d e e e -------+=--+++⎰⎰⎰⎰ =1
11cos1sin1ln 2
e -+---
五、(8分) 求函数x e x x f -=2)(的单调增减区间、极值和凹凸区间、拐点。

解：x e x x y --=)2('2, 0'=y 得,0=x 或2
)24(''2+-=-x x e y x ，0''=y 得22±=x .
列表知：单增区间]2,0[，单减区间),0,(-∞),2[+∞
凹区间：),22(),22,(+∞+--∞，凸区间：]22,22[+- 极小值为：0)0(=f ，极大值为：24)2(-=e f
拐点：))22(,22(),)22(,22(222222--+-++--e e
六、（8分）计算两条抛物线2
2,x y x y ==在第一象限所围图形的面积，并求该
平面图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积.
面积3211
1
2
30
000211
333
A x dx x x =-=-=⎰
⎰
体积()
11
252
1
12
20
0032510
x x V dx x dx π
π
πππ=-=⋅-⋅=⎰⎰
七、（共14分） 1、(7分) 求方程
x
x
x y dx dy sin =
+ 满足条件 1==πx y 的解。

解：此方程为一阶线性微分方程，
x
x
x Q x x P sin )(,1)(=
= 由公式，通解为
()
.cos 'sin '1sin x x C xdx C x dx e x x C e y x dx
x dx -=+=⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰+⎰=⎰⎰-
代入初始条件，得.1'-=πC 故
.cos 1x
x y --=π
2、(7分) 设)(x f 在],0[a 上连续，在),0(a 内可导，且0)(=a f ，证明存在一点
),0(a ∈ξ，使得 .0)(')(=+ξξξf f
证明：设()()F x xf x =， 则()F x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导，且()()0,(0)0F a af a F ===， 由洛尔定理，存在(0,)a ξ∈使得'()0F ξ= 即'()()0f f ξξξ+=
八、（8分）证明：当,2e b a e <<< ).(4ln ln 222a b e a b ->-- 证：令x e x x f 224ln )(--=，),(2e e x ∈ 则24ln 2)('--=
e x x
x f 0ln 12
)(''2
<-=x x x f 所以)('x f 单调递减，当),(2e e x ∈时有，.0)(')('2=>e f x f 所以)(x f 单调递增，).()(a f b f >即： ).(4ln ln 222a b e a b ->--。