【解析】设 ， ，则原式 .
【答案】
【例14】分解因式
【考点】因式分解
【难度】5星
【题型】解答
【关键词】换元法
【解析】原式
原式
【答案】
【例15】分解因式：
【考点】因式分解
【难度】5星
【题型】解答
【关键词】换元法
【解析】咋一看，很不好下手，仔细观察发现： ，
故可设 ，则 .
故原式=
.
【答案】
【例16】分解因式：
【难度】6星
【题型】解答
【关键词】因式定理
【解析】本题有理根只可能为 . 当然不可能为根(因为多项式的系数全是正的)，经检验 是根，
所以原式有因式 ，
原式
容易验证 也是 的根，
，
所以
【答案】
【例25】分解因式：
【考点】因式定理
【难度】6星
【题型】解答
【关键词】因式定理
【解析】原式的有理数根只可能为： ， ， ， ， ，
设 ，原式
【答案】
【例11】分解因式
【考点】因式分解
【难度】5星
【题型】解答
【关键词】湖北黄冈竞赛，换元法
【解析】原式
设 ，原式
【答案】
【例12】分解因式：
【考点】因式分解
【难度】6星
【题型】解答
【关键词】换元法
【解析】原式
原式
【答案】
【例13】分解因式：
【考点】因式分解
【难度】6星
【题型】解答
【关键词】换元法
则原式
【答案】
【例18】分解因式：
【考点】因式分解
【难度】6星
【题型】解答
【关键词】重庆市竞赛，换元法
【解析】设 ，则原式=
【答案】
【例19】分解因式：
【考点】因式分解
【难度】5星
【题型】解答
【关键词】换元法
【解析】为方便运算，更加对称起见，我们令
【答案】
【例20】分解因式：
【考点】因式分解
【难度】6星
【题型】解答
【关键词】2000年，第12届，“五羊杯”初中数学竞赛，换元法
【解析】设 ，显然
由公式 知，此时有
故原式
【答案】
【例21】分解因式：
【考点】因式分解
【难度】6星
【题型】解答
【关键词】1991年，贵州省初中数学竞赛，换元法
【解析】原式
设 ，则
原式
【答案】
【例22】分解因式：
【考点】因式分解
设 ，原式
【答案】
【例9】分解因式：
【考点】因式分解
【难度】5星
【题型】填空
【关键词】1994年，第6届，“五羊杯”初中数学竞赛试题，换元法
【解析】原式
设 ，原式
【答案】
【例10】分解因式：
【考点】因式分解
【难度】5星
【题型】填空
【关键词】1994年，第6届，“五羊杯”初中数学竞赛试题，换元法
【解析】原式
换元法、待定系数法、因式定理及其它
板块一：换元法
【例1】分解因式：
【考点】因式分解
【难度】4星
【题型】解答
【关键词】换元法
【解析】将 看成一个字母，可利用十字相乘得
原式
，其实也可用十字相乘的思想解答
【答案】
【例2】分解因式：
【考点】因式分解
【难度】5星
【题型】解答
【关键词】希望杯培训试题，换元法
【解析】方法1：将 看作一个整体，设 ，则
原式
【答案】见解析
【例7】若 ， 是整数，求证： 是一个完全平方数.
【考点】因式分解
【难度】5星
【题型】解答
【关键词】换元法
【解析】
令
∴上式
即
【答案】见解析
【例8】在有理数范围内分解因式：
【考点】因式分解
【难度】，“五羊杯”初中数学竞赛试题，换元法
【解析】原式
即，如果
那么 ， ，…， ， .
【例29】用待定系数法分解因式：
【考点】因式分解
【难度】6星
【题型】解答
【关键词】待定系数法
【解析】原式的有理根只可能为 ，但是这2个数都不能使原式的值为 ，所以原式没有有理根，因而也没有(有理系数的)一次因式．
故 或
故 ，解得 ，所以
事实上，分解式是惟一的，所以不用再考虑其它情况.
【答案】
【例28】分解因式：
【考点】因式定理
【难度】6星
【题型】解答
【关键词】因式定理
【解析】如果多项式的系数的和等于 ，那么1一定是它的根；如果多项式的偶次项系数的和减去奇次项系数的和等于0，那么 一定是它的根．现在正是这样：
所以 是原式的因式，并且
【答案】
板块三：待定系数法
如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等.
【题型】解答
【关键词】因式定理
【解析】 的因数是 ， ， 的因数是 ， ．
因此，原式的有理根只可能是 ， (分母为1)， ．
因为 ， ，
于是 是 的一个根，从而 是 的因式，
这里我们可以利用竖式除法，此时一般将被除式按未知数的降幂排列，
没有的补0：
可得原式
【答案】
【例24】分解因式：
【考点】因式定理
【难度】6星
【题型】解答
【关键词】1994年，石家庄市初中数学竞赛，换元法
【解析】设 ，则
原式
【答案】
板块二：因式定理
因式定理：如果 时，多项式 的值为 ，那么 是该多项式的一个因式.
有理根：有理根 的分子 是常数项 的因数，分母 是首项系数 的因数.
【例23】分解因式：
【考点】因式定理
【难度】6星
原式=
方法2：将 看作一个整体，设 ，则
原式=
方法3：将 看作一个整体，过程略.如果学生的能力到一定的程度，甚至连换元都不用，直接把 看作一个整体，将原式展开，分组分解即可，
则原式 .
【答案】
【例3】分解因式：
【考点】因式分解
【难度】4星
【题型】解答
【关键词】换元法
【解析】
【答案】
【例4】分解因式：
经检验 是一个根，所以 是原式的因式，进而可得：
【答案】
【例26】分解因式：
【考点】因式定理
【难度】6星
【题型】解答
【关键词】因式定理
【解析】
【答案】
【例27】分解因式：
【考点】因式定理
【难度】6星
【题型】解答
【关键词】因式定理
【解析】常数项 的因数为 ， ， ， ， ， ，
把 代入原式，得
所以 是原式的根， 是原式的因式，并且
【考点】因式分解
【难度】5星
【题型】解答
【关键词】换元法
【解析】由于题中以整体形式出现的式子有两个，共4个地方，故采取换元法后会大大简化计算过程，
不妨设 ，则原式=
【答案】
【例17】分解因式：
【考点】因式分解
【难度】5星
【题型】解答
【关键词】1997~1998年，天津市初二数学竞赛决赛，换元法
【解析】设
【考点】因式分解
【难度】4星
【题型】解答
【关键词】换元法
【解析】
【答案】
【例5】分解因式：
【考点】因式分解
【难度】4星
【题型】解答
【关键词】换元法
【解析】
【答案】
【例6】证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方．
【考点】因式分解
【难度】4星
【题型】解答
【关键词】换元法
【解析】设这四个连续整数为： 、 、 、
【答案】见解析
【例30】要使 为完全平方式，则常数 的值为________