因式分解（四）待定系数法、求根法
【知识要点】待定系数法
有的多项式虽不能直接分解因式，但可由式子的最高次数与系数的特点断定其分解结果的因式形式。
如只含一个字母的三次多项式分解的结果可能是一个一次二项式乘以一个二次三项式，也可能是三个一次因式的积。
于是，我们可以先假设要分解因式的多项式等于几个因式的积，再根据恒等式的性质列出方程（组），进而确定其中的系数，得到分解结果，这种方法就称为待定系数法。
用待定系数法分解因式时需利用恒等式的如下重要性质：
如果a n x n ＋a n-1x n-1＋…＋a 1x ＋a 0≡b n x n ＋b n-1x n-1＋…＋b 1x ＋b 0，那么a n = b n,a n-1= b n-1…，a 1=b 1 a 0=b 0，即恒等式同次项的对应系数一定相等。
这里，“≡”表示“恒等于”，即对任何x 值，等式左边的值都等于右边的值。
【典型例题】
例1 若3233x x x k +-+有一个因式是1x +，求k 的值。
例2 已知32
4715ax bx x +--被31x +和23x -整除，求,a b 的值，并将该多项式分解因式。
例3 设32324x x xy kx y +---可分解为一次与二次因式之积，则k 为多少？
例4 若代数式(1)(2)(3)x x x x p ++++恰好能分解为两个二次整式的乘积。
（其中二次项系数均为1，且一次项系数相同），求P 的最大值。
例5 设()p x 是一个关于x 的二次多项式，且32
7561(1)()x x x m x p x a -+--=-+，其中,m a 是与x 无关的常数，求()p x 的表达式。
例6 多项式m y x y xy x +-++-5112101222可以分解为两个一次因式的积，求m 的值。
因式分解（四）待定系数法、求根法练习
1．已知225x x ++是42
x ax b ++的一个因式，求a b +的值。
2．如果22754324x xy ay x y ++-+-可分解为两个一次因式之积，求a 的值。
3．多项式2256x axy by x y ++-++的一个因式是2x y +-。
求a b +的值。
4．已知多项式2223286x xy y x y +--+-的值恒等于两个因式()()22x y A x y B ++-+乘积的值，求A B +的值。
5．若2x +是多项式32x x ax b +++的一个因式，且22
230a ab b ++≠，求分式2332224423ab a b a b a ab b -+-++的值。
6．若多项式32
x ax bx ++能够被()5x -和()6x -整除，那么a = ，b = 。
7．若()()x a x b k ---中含有因式x b +，则k = 。
8．已知多项式22
2341x xy y x y +----可以分解为()()23x y m x y n ++-+的形式，求m n +的值。
9．m 、n 为何值时，多项式432511x x x mx n -+++能被2
21x x -+整除？
10．分解因式：2235294x xy y x y +-++- 11．分解因式432435x x x x -+++
12．22823x xy y --可以化为具有整系数的两个多项式的平方差。
13．当m 为何值时，2223x xy y my +-+-能分解成两个整系数一次因式之积？
14．把多项式43244521x x x x -+-+写成一个多项式的完全平方式。
15．已知多项式：()()21222234++++=+++nx x mx x x x x ，求m 与n 的值。
16．二元二次六项式15174622-+--+y x y mxy x 可以分解为两个关于x 、y 的二元一次三项式的乘积，求m 的值。
17．设21212
++ax x 可分解为两个一次因式的积，且各因式的系数都是正整数，则满足条件的整数a 共有多少个？
18．设y kx xy x x 42323---+可分解为一次因式与二次因式之积，求k 的值。
19．k 为何值时，多项式222352x xy ky x y -++-+能分解成两个一次因式的积？
20．证明：45455454
+是合数。
21．已知多项式32ax bx cx d +++除以1x -时，所得的余数是1，除以2x -时所得的余数是3，那么多项式32ax bx cx d +++除以()()12x x --时，所得的余式是 。
22．若a 是自然数，且432
4153027a a a a -+-+的值是一个质数，求这个质数。
23．已知b ，c 是整数，二次三项式c bx x ++2即是25624++x x 的一个因式，也是5284324+++x x x 的一个因式，求1=x 时，c bx x ++2的值。
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