4 g ( x) x 1 a 3
【例6】设
f ( x) x 4 x
2
,
,若恒有
f ( x) g ( x)
成立,求实数
a
的取值范围. 的图象
y
解：在同一直角坐标系中作出 如图所示， f
f ( x)
及
g ( x)
( x)
的图象是半圆
( x 2) 2 y 2 4( y 0)
x [2,3] 上有解，求实数 m
的范围.
y ( x 1) 解法一：当 x [2,3] 时， 9 m . ∴ 2
1 9 2 [4, ] x 1 2
解法二： f (2) 0 或 f (3) 0 ，∴ m
9 . 2
友情提醒：
关于“恒成立”问题的策略还有很多，对于某 些“恒成立”题目，不一定用一种方法，还可用多种 方法去处理。这就要求我们养成良好的数学思维，有 良好的观察与分析问题的能力，灵活的转化问题能力， 使所见到的“恒成立”问题更有效地解决。
-2
g ( x) 的图象是平行的直线系 4 x 3 y 3 3a 0 要使 f ( x) g ( x) 恒成立，
则圆心 (2,0) 到直线
-4 -4 O
x
4 x 3 y 3 3a 0
解得
的距离满足
d
8 3 3a 5
2
5 a 5或a （舍去) 3
祝同学们成功，再见！
时有解
f min ( x) k• ,• xI
fmin ( x) k•• ,xI
时恒成立
, xI f ( x) k 在 x I 时有解 fmax ( x) k••
四. 恒成立与有解的区别：
【例７】设函数 在
f ( x) x2 mx m
，若
f ( x) 0
四、恒成立与有解的区别
恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异， 恰当使用，等价转化，切不可混为一团。
（1）不等式 （2）不等式 （3）不等式 （4）不等式
,x • I f ( x) k 在 x I 时恒成立 f max ( x) k•
f ( x) k 在 x I f ( x) k 在 x I
（2）恒成立问题与二次函数联系：
【例2】若函数
f ( x) 2
x 2 2 ax a
1 的定义域为 R,
则实数a Βιβλιοθήκη 取值范围为______________
x2 2 ax a
解：已知函数的定义域为 R ，即 2
1 0 2 x 2ax a 0 在 R 上恒成立，也即 2 恒成立，所以有 (2a) 4(a) 0
f ( ) 0 f ( x) 0在x [ , ] 上恒成立 f ( ) 0
（2）恒成立问题与二次函数联系：
类型2：设 f ( x) ax2 bx c(a 0) ，f ( x) 0 在区间 [ , ] 上恒成立问题： （2）当 a 0 时，f ( x) 0在x [ , ] 上恒成立
变换主元法 3.变换主元法
处理含参不等式恒成立的某些 问题时，若能适时的把主元变量和 参数变量进行“换位”思考，往往 会使问题降次、简化。
3. 变换主元法：
【例5】对任意 a [1,1] ，不等式 恒成立，求
解：令
x 2 (a 4) x 4 2a 0
x
的取值范围.
，则原问题转化为
数形结合法 4.数形结合法
数形结合思想在高考中占有非常重要的地位， 其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的 精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数 问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思 维有机结合.应用数形结合思想，要熟练掌握一些 概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征.
4. 数形结合法：
“恒成立”问题的解法
“恒成立”问题是数学中常见的问题，涉及到一 次函数、二次函数、指数函数、对数函数的性质、 图象,渗透着换主元、化归、数形结合、函数与方程 等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起 到了积极的作用. 因此也成为历年高考的一个热点。 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型: ①一次函数型； ②二次函数型； ③指数、对数型； ④三角函数型；⑤数列型等。解法通常使用: ①函 数最值法；②变量分离法；③数形结合法.
三、解决恒成立问题常用的方法
1
函数性质法
常用 方法
4
2
变量分离法
3
变换主元法
数形结合法
1.函数性质法 1. 函数性质法
（1）恒成立问题与一次函数联系：给定一次函数
y f ( x) ax b(a 0) ，若 y f ( x) 在
[m, n] 内恒有 f ( x) 0 ， 则根据函数的
（2）恒成立问题与二次函数联系： 【例3】已知函数 f ( x) x2 ax 3 a ，在 x 2,2 求 上 f ( x) 0 恒成立，
2


a 的取值范围.
a a2 解： f ( x) x a 3 ，令 f ( x) 在 2,2 上的最小值为 g (a) 2 4 a ⑴当 2 ，即 a 4 时， g (a) f (2) 7 3a 0 2 7 又 a 4 a 不存在. a 3 2
解得 1 a 0 .
（2）恒成立问题与二次函数联系：
类型2：设 f ( x) ax2 bx c(a 0) ，f ( x) 0 在区间 [ , ] 上恒成立问题： （1）当 a 0 时，f ( x) 0在x [ , ] 上恒成立 b b b ， 2a 或 或 2a 2a f ( ) 0 0 f ( ) 0
图像（直线）可得上述结论等价于
a 0 ⅰ） f ( m) 0
a 0 或ⅱ） f ( n) 0
f ( m) 0 . 亦可合并成 f ( n) 0
函数性质法 1.函数性质法
如图所示.同理，若在 [m, n] 内恒有 f ( x) 0
f ( m) 0 则有 f ( n) 0
讲座内容
1
恒成立问题常见的题型 恒成立问题解决的基本策略 解决恒成立问题常用的方法 恒成立与有解的区别
2
3
4
一、恒成立问题常见的题型
1. 函数、数列的恒成立问题
2. 由等式或不等式恒成立求参数的值或取值范围
3. 证明不等式恒成立
二、恒成立问题解决的基本策略
两个基本思想解决“恒成立问题”
思路1： m
恒成立
a f ( x)
a f ( x)max
f ( x)
a f ( x)min
若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围 已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个 变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成 函数的最值问题求解.
2. 变量分离法：
又 a 4 7 a 4 综上所述，7 a . 2
变量分离法 2.变量分离法
将含参数的恒成立式子中的参数分离出来，化成形如： a 或
f ( x)
或
a f ( x)
a f ( x)
则
恒成立的形式.
a f ( x)
恒成立
恒成立 a 的范围是 f ；a
( x) 的值域；
f ( ) 0 f ( ) 0
f ( x) 0在x [ , ] 上恒成立
b b b 2a 或 或 2a 2a f ( ) 0 0 f ( ) 0
（1）恒成立问题与一次函数联系
【例1】 如果当自变量满足 1 x 2 时，函数
f ( x) (m 1) x 4m 3 0 恒成立，求实数 m
的范围.
f (1) 0 解： f (2) 0
∴
4 m 3
（2）恒成立问题与二次函数联系：
类型1：设 f ( x) ax2 bx c(a 0) ，f ( x) 0 在全集 R 上恒成立问题： （1）f ( x) 0在x R 上恒成立 a 0且 0 （2） f ( x) 0在x R 上恒成立 a 0且 0
【例4】 当 x (1, 2) 时，不等式 x mx 4 0
2
恒成立，则
m 的取值范围是
.
解：当 x (1, 2) 时，由 x2 mx 4 0 2 x2 4 x 4 4 m 得 x .令 f ( x ) x x x 则易知 f ( x) 在 (1, 2) 上是减函数， 所以 f ( x)max f (1) 5 ，∴ m 5 .
f (a) ( x 2)a x 2 4x 4
x2
f (a) 0
恒成立（a [1,1] ）.当
时，可得
f (a) 0 ，不合题意.
当
x2
时，应有
f (1) 0 f (1) 0
解之得
x 1或x 3
∴
x 的取值范围为 (,1) (3,)
⑵当 2
a a a 2 ，即 4 a 4 时，g (a) f ( ) a 3 0 2 4 2
6 a 2 又 4 a 4 4 a 2
⑶当
a 2 ，即 a 4 时，g (a) f (2) 7 a 0 a 7 2
思路2：
f ( x)在x D上恒成立 m [ f ( x)]max