恒成立问题二、恒成立问题解决的基本策略A 、两个基本思想解决“恒成立问题”思路1：()m f x ≥在x D ∈上恒成立max [()]m f x ⇔≥；思路2：()m f x ≤在x D ∈上恒成立min [()]m f x ⇔≤．如何在区间D 上求函数()f x 的最大值或者最小值问题，可以通过题目的实际情况，采取合理有效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导，等等方法求函数()f x 的最值．此类问题涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，希望大家多多注意积累．C 、分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略1、一次函数型若原题可化为一次函数型，则由数形结合思想利用一次函数知识求解，十分简捷．给定一次函数() (0)y f x ax b a ==+≠，若()y f x =在[, ]m n 恒有()0f x >，则等价于：()0()0f m f n >⎧⎨>⎩；同理，若在[, ]m n 恒有()0f x <，则等价于：()0()0f m f n <⎧⎨<⎩． 例3．对于满足2a ≤的所有实数a ，求使不等式212x ax a x ++>+恒成立的x 的取值围． 解：原不等式转化为：2(1)210x a x x -+-+>在2a ≤时恒成立，设2()(1)21f a x a x x =-+-+，则()f a 在[2, 2]-上恒大于0，故有：(2)0(2)0f f ->⎧⎨>⎩即2243010x x x ⎧-+>⎪⎨->⎪⎩，解得：3111x x x x ><⎧⎨><-⎩或或； ∴1x <-或3x >，即x ∈(－∞,－1)∪(3,+∞)．2、二次函数型例4．若函数()f x =R ，数a 的取值围． 解：由题意可知，当x R ∈时，222(1)(1)01a x a x a -+-+≥+恒成立， ①当210a -=且10a +≠时，1a =；此时，222(1)(1)101a x a x a -+-+=≥+，适合；②当210a -≠时，有222102(1)4(1)01a a a a ⎧->⎪⎨∆=---≤⎪+⎩即有221191090a a a a ⎧>⎪⇒<≤⎨-+≤⎪⎩； 综上所述，()f x 的定义域为R 时，[1, 9]a ∈．例5．已知函数2()3f x x ax a =++-，在R 上()0f x ≥恒成立，求a 的取值围．分析：()y f x =的函数图像都在x 轴及其上方，如右图所示：略解：()22434120a a a a ∆=--=+-≤，62a ∴-≤≤．变式1：若[]2,2x ∈-时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值围．分析：要使[]2,2x ∈-时，()0f x ≥恒成立，只需()f x 的最小值()0g a ≥即可． 解：22()()324a a f x x a =+--+，令()f x 在[]2,2-上的最小值为()g a ； ①当22a -<-，即4a >时，()(2)730g a f a =-=-≥；73a ∴≤，而4a >Q ，a ∴不存在； ②当222a -≤-≤，即44a -≤≤时，2()()3024a a g a f a ==--+≥，62a ∴-≤≤； 又44a -≤≤Q ，42a ∴-≤≤； ③当22a ->，即4a <-时，()(2)70g a f a ==+≥，7a ∴≥-； 又4a <-Q ，74a ∴-≤<-；综上所述，72a -≤≤．变式2：若[]2,2x ∈-时，()2f x ≥恒成立，求a 的取值围．法一：分析：题目中要证明()2f x ≥在[]2,2-上恒成立，若把2移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[]2,2-时恒大于等于0的问题．略解：2()320f x x ax a =++--≥，即2()10f x x ax a =++-≥在[]2,2-上成立；①()2410a a ∆=--≤， 222222a ∴--≤-+2 —2②24(1)0(2)0(2)02222a a f f a a ⎧∆=-->⎪≥⎪⎪⎨-≥⎪⎪-≥-≤-⎪⎩或；52a ∴-≤≤-；3、变量分离型若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的围已知，另一个变量的围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解．运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于x 取值围的任何一个数都有：()()f x g a >恒成立，则min ()()g a f x <；若对于x 取值围的任何一个数，都有：()()f x g a <恒成立，则max ()()g a f x >．例6．已知三个不等式：①2430x x -+<，②2680x x -+<，③2290x x m -+<．要使同时满足①②的所有x 的值满足③，求m 的取值围．略解：由①②得23x <<，要使同时满足①②的所有x 的值满足③，即不等式2290x x m -+<在(2, 3)x ∈上恒成立，即229m x x <-+在(2,3)x ∈上恒成立，又229x x -+在(2,3)x ∈上大于9；所以：9m ≤．例7．函数()f x 是奇函数，且在[1, 1]-上单调递增，又(1)1f -=-，若2()21f x t at ≤-+对所有的[1, 1]a ∈-都成立，求t 的取值围．解：据奇函数关于原点对称，(1)1f =；又因为()f x 在[1, 1]-是单调递增，所以max ()(1)1f x f ==；2()21f x t at ≤-+Q 对所有的[1,1]a ∈-都成立；因此，只需221t at -+大于或等于()f x 在[1, 1]-上的最大值1，2221120t at t at ∴-+≥⇒-≥；又∵对所有的[1, 1]a ∈-都成立，即关于a 的一次函数在[1, 1]-上大于或等于0恒成立，222020220t t t t t t t ⎧-≥⎪∴⇒≥=≤-⎨+≥⎪⎩或或即：(,2]{0}[2,)t ∈-∞-+∞U U ． 利用变量分离解决恒成立问题，主要是要把它转化为函数的最值问题．4、根据函数的奇偶性、周期性等性质若函数()f x 是奇（偶）函数，则对一切定义域中的x ：()()f x f x -=-（()()f x f x -=）恒成立；若函数()f x 的周期为T ，则对一切定义域中的x ：()()f x f x T =+恒成立．5、直接根据图像判断若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图像，则可以通过画图直接判断得出结果．尤其对于填空题这种方法更显方便、快捷．例8．对任意实数x ，不等式|1||2|x x a +-->恒成立，数a 的取值围．分析：转化为求函数|1||2|y x x =+--的最小值，画出此函数的图像即可求得a 的取值围． 解：令3, 11221, 123, 2x y x x x x x -<-⎧⎪=+--=--≤≤⎨⎪>⎩；在直角坐标系中画出图像如图所示，由图象可看出，要使对任意实数x ，不等式|1||2|x x a +-->恒成立，只需3a <-；故实数a 的取值围是3-∞-（，）． 本题中若将“|1||2|x x a +-->”改为“|1||2|x x a +--<”；同样由图象可得3a >． 利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的围．三、在恒成立问题中，主要是求参数的取值围问题，是一种热点题型，介绍一些基本的解题策略，在学习中学会把问题分类、归类，熟练基本方法．（一）换元引参，显露问题实质例9．对于所有实数x ，不等式：2222224(1)2(1)log 2log log 014a a a x x a a a ++++>+恒成立， 求a 的取值围． 解：因为22log 1a a +的值随着参数a 的变化而变化，若设22log 1a t a =+， 则上述问题实质是“当t 为何值时，不等式2(3)220t x tx t -+->恒成立”；这是我们较为熟悉的二次函数问题，它等价于：求解关于t 的不等式组：230(2)8(3)0t t t t ->⎧⎨∆=+-<⎩；解得0t <，即有22log 01a a <+，易得01a <<． （二）分离参数，化归值域问题例10．若对于任意角θ总有2sin 2cos 410m m θθ++-<成立，求m 的围．解：此式是可分离变量型，由原不等式得2(2cos 4)cos m θθ+<，又cos 20θ+>，则原不等式等价变形为2cos 2cos 2m θθ<+恒成立． 故2m 必须小于2cos ()cos 2f θθθ=+的最小值，这样问题化归为怎样求2cos cos 2θθ+的最小值． 由2cos ()cos 2f θθθ=+2(cos 2)4(cos 2)4cos 2θθθ+-++=+4cos 24cos 2θθ=++-+440≥-=； 即cos 0θ=时，有最小值为0，故0m <．（三）变更主元，简化解题过程 例11．若对于01m ≤≤，方程2210x mx m+--=都有实根，根的围．解：此题一般思路是先求出方程含参数m 的根，再由m 的围来确定根x 的围，但这样会遇到很多麻烦，若以m 为主元，则2(2)(1)m x x -=-，由原方程知2x ≠，得212x m x -=-； 又01m ≤≤，即21012x x -≤≤-；解之得112x -≤≤-或112x -+≤≤． （四）图象解题，用好数形结合例12．设(0 4]x ∈，ax >恒成立，求a 的取值围．解：若设1y =2211(2) 4 (0)x y y -+=≥表示为上半圆．设2y ax =，为过原点，a 为斜率的直线． 在同一坐标系 作出函数图像；依题意，半圆恒在直线上方时，只有0a <时成立，即a 的取值围为0a <． 例13．当(1, 2)x ∈时，不等式2(1)log a x x -<恒成立，求a 解：设21(1)y x =-，2log a y x =，则1y 的图像为右图是抛物线；要使对一切(1, 2)x ∈，12y y <恒成立，显然1a >，并且必须也只需当2x =时，2y 的函数值大于等于1y 的函数值；故log 21a >，∴12a <<．（五）合理联想，运用平几性质例14．不论k 为何实数，直线1y kx =+与曲线2222240x y ax a a +-+--=恒有交点，求a 的围．解：22()42x a y a -+=+，C （a ，0），当2a >-时，联想到直线与圆的位置关系，则有点A （0，1）必在圆上或圆，即点A （0，1）到圆心距离不大于半径，则有2124(2)a a a +≤+>-，得13a -≤≤． 评析：因为题设中有两个参数，用解析几何中有交点的理论将二方程联立，用判别式来解题是比较困难的。