13．已知直线 与椭圆 的相交于 ， 两点，则 的最小值为______；若 ，则实数 的值是______.
14．设 的三边 ， ， 所对的角分别为 ， ， .若 ，则 ______， 的最大值是______.
三、填空题
15．现有5个不同编号的小球，其中黑色球2个，白色球2个，红色球1个，若将其随机排成一列，则相同颜色的球都不相邻的概率是______.
2020届浙江省湖州市高三上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 （ 为虚数单位），则复数 的模 （ ）
A．1B． C．2D．4
3．已知等差数列 的公差为2，若 ， ， 成等比数列，则 （）
19．如图，三棱锥 中， ， ， .
（1）求证： ；
（2）若二面角 的大小为 且 时，求 的中线 与面 所成角的正弦值.
20．已知 是数列 的前 项和，已知 且 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，若 ，求正整数 的最小值.
21．已知点 是抛物线 ： 的焦点，直线 与抛物线 相切于点 ，连接 交抛物线于另一点 ，过点 作 的垂线交抛物线 于另一点 .
解：因为等差数列 的公差为2，若 ， ， 成等比数列，
即
解得
故选：
【点睛】
本题考查等差数列基本量的计算，与等比中项的性质，属于基础题.
4．C
【分析】
画出可行域,再根据目标函数斜率的几何意义分析即可.
【详解】
画出可行域,易得 的几何意义为 到 的斜率,
又 .故 或
故 的取值范围是
故选：C
【点睛】
本题主要考查了线性规划中斜率的几何意义的方法,属于基础题型.
故此时
综上所述, .
故选：A
【点睛】
本题主要考查了数形结合求解函数零点的问题,需要画出对应的图像分析直线与曲线相切等的临界条件,属于中等题型.
9．B
【分析】
根据题意利用 与 的基本不等式,再转换为含 的二次不等式求解即可.
【详解】
若 取最小值,显然 异号且 .故 ,
即 ,故 ,
当且仅当 分别取 时等号成立.
A．-4B．-6C．-8D．-10
4．实数 、 满足约束条件 ，则目标函数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．若 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线 交双曲线于 ， 两点.若 长为5，则 的周长是（ ）
16．对任意 ，关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围是______.
17．正方形 的边长为2， ， 分别为 ， 的中点，点 是以 为圆心， 为半径的圆上的动点，点 在正方形 的边上运动，则 的最小值是______.
四、解答题
18．已知函数 .
（1）求 的值和 的最小正周期；
（2）设锐角 的三边 ， ， 所对的角分别为 ， ， ，且 ， ，求 的取值范围.
【详解】
根据 的图像,取绝对值可知 如图.当 的函数图像有三个交点时分两种情况
①当直线 与抛物线部分相交于三个点时,临界条件分别为 过原点时,此时 ,以及与抛物线相切,此时
判别式 ,故
②当直线 与抛物线部分相交于1个点,与 相交于两点,此时临界条件为直线 与 相切,此时
判别式 ,由图得 中 ,故 为临界条件.
②当 在 外时,不妨设 在 的延长线构成的角内.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了基本不等式以及二次不等式的综合运用,需要注意分析 的正负再利用基本不等式,属于中等题型.
10．D
【分析】
作 在底面 的投影为 ,再分别作 ,进而分析 的正切值再判断即可.
【详解】
作 在底面 的投影 ,再分别作 ,设 边长为 .
①当 在 内时,
易得 分别为 .由 可得
.
当 无限接近 时易得 接近0,故C错误.
（1）若 ，求直线 的方程；
（2）求三角形 面积 的最小值.
22．已知函数 ， .
（1）求证： 在 上单调递增；
（2）若关于 的方程 在区间 上有三个零点，求实数 的值；
（3）若对任意的 ， 恒成立（ 为自然对数的底数），求实数 的取值范围.
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
根据指数不等式的求解方法求出 再求并集即可.
【详解】
易得 .故 .
故选：B
【点睛】
本题主要考查了指数不等式的求解以及并集的运算,属于基础题型.
2．C
【分析】
根据复数模长的性质求解即可.
【详解】
由题 .
故选：C
【点睛】
本题主要考查了模长的性质与运算,属于基础题型.
3．B
【分析】
把 ， 用 和公差2表示，根据 ， ， 成等比数列，得到
解得.
【详解】
本题主要考查了双曲线的定义运用,属于基础题型.
7．D
【分析】
根据 的公式关于 的函数表达式分析即可.
【详解】
易得二项分布 为关于 的二次函数,对称轴为 ,故当 在 内增大时 先增大后减小.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了二项分布中方差的公式运用,属于基础题型.
8．A
【分析】
恰有三个零点则 的函数图像有三个交点,再画图分析求解即可.
A．13B．18C．21D．26
7．已知离散型随机变量 满足二项分布且 ，则当 在 内增大时，（ ）
A． 减小B． 增大
C． 先减小后增大D． 先增大后减小
8．已知函数 ，若函数 恰有三个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知实数 ， ， 满足 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C．-1D．
10．在三棱锥 中， 为正三角形，设二面角 ， ， 的平面角的大小分别为 ，则下面结论正确的是（ ）
A． 的值可能是负Βιβλιοθήκη B．C． D． 的值恒为正数
二、双空题
11．某几何体的三视图如图所示（单位： ），则该几何体的体积为______ ，表面积为______ .
12．二项式 的展开式中常数项等于______，有理项共有______项.
5．A
【分析】
分别求解两个不等式再判断即可.
【详解】
因为 为增函数,故 解得 ,又 解得 或 ,故“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了幂函数与绝对值不等式的求解与充分不必要条件的判断,属于基础题型.
6．D
【分析】
根据双曲线的定义求解即可.
【详解】
易得 的周长为 .
故选：D
【点睛】