花落，“惆
火车轴
厂房吊车梁
●对称（平面）弯曲 (Planar bending)
对称平面 F2
F1
(b)
F2
F1
(a)
A
B
(c)
平面弯曲：梁的轴线在变形后仍保持在同一平面( 荷载作用面)内，即梁的轴线成为一条平面曲线。
梁的荷载和支座反力
一、梁的荷载 1 集中力：作用在微小局部上的横向力； 2 集中力偶：作用在通过梁轴线的平面（或与该面 平行的平面）内的力偶。
F Me
3 分布荷载：沿梁长连续分布的横向力。
q(x) q(x)=C
荷载集度： 分布荷载的大小 均布荷载 非均布荷载
用q(x)表示
二、梁的支座及支座反力 ●支座形式 1 固定铰约束
2 可动铰约束
3 固定支座
FRx F Ry
FR
MR
FRx
F Ry
●计算简图 确定梁的“计算简图” 包含：
⑴ 以梁的轴线经代替实际的梁； ⑵ 以简化后的支座代替实际的支座；
2 梁的任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面左 侧（或右侧）所有竖向力对该截面形心力矩的代数和 （包括外力偶、约束反力偶）；且截面左边顺时针（ 右边逆时针）的力矩使截面产生正号的弯矩。
例2 试利用上述结论写出图示梁1-1截面上的剪力和 弯矩的表达式。
e
c
l
q
1 F1 FQ
d b
M1
Me
f
α
FRB
F2
F
F
●按梁的横截面 ⑴等截面梁：横截面沿梁的长度没有变化； ⑵变截面梁：横截面沿梁的长度有变化。
汽车钢板弹簧
鱼腹梁
15.2 梁的内力及其求法
一、求梁的内力的方法——截面法 ●内力的形式及名称
1 F1
F2
A
1
FRA a
l
FRB
A
FRA
a
M
FQ
Fy 0 MO 0
FQ M
剪力 弯矩
N或kN N·m或kN·m
●内力的求法
A
FRA
a
M
FQ
Fy 0
F RA F Q0 F QF RA
MO 0
M F R A a 0 M F R A a
F1 FQ M
F2
B?
FRA
●内力的正负号
⑴剪力
FQ
FQ
左上右下为正
M
⑵弯矩
M
向上凹变形为正
FQ
FQ
左下右上为负
M
M
向上凸变形为负
例1 图示简支梁受两个集中力作用，已知F1=12kN，
Mmax =121/72qa2
例8 作梁的内力图
P=3kN
M1=2kNm
M2=6kNm
q=1kN/m
A
FRA=5kN
B
FRB=4kN
2m
2m
2m
2m
FQ (kN)
3
2+
2+
2 8
6
6
6
4
M(kNm)
q qa
q
qa a
qa F Q
aa 2qa
qa
qa M qa 2 / 2
qa 2 / 2
2qa 2
分段是以集中力、集中力偶的作用位置及分布荷 载的起点和终点为界 （ ? ）
解：(1)求支座反力
FRA 5ql
A(O)
F CD
Me
B
FRA
FRB 4ql
l/3 l
l/3 FRB
(2)分三段AC、CD、DB列出剪力方程和弯矩方程 AC段
FQxFRA5ql
M xF R Ax5qlx
CD段 DB段
FQ x FRAF4ql
B
l/3
l/3
l
dMx
dx
FQ
x
dFQ x qx
dx
5ql x
M x 3ql2 4qlx
4ql2 4qlx
5ql
FQ
x
4ql
4 q l
qx0
二、剪力图、弯矩图的规律
q
=0
>0
FQ
M
直线段
FQ > 0
=0
M
<0
>0
<0
<0 >0 <0
★结论（规律）：
(1)当梁的支承情况对称，荷载也对称时，则弯矩 图永为对称图形，剪力图永为反对称图形；
(2)求1-1截面的剪力FQ1、弯矩M1 根据1-1截面左侧的外力计算可得：
FQ1 F R AF1587kN
M1 F R A 2 F 2 1 .5 2 6 k N m
根据1-1截面右侧的外力计算可得
FQ1 q3FRB7kN
M1 q 3 2 .5 F R B 4 2 6 k N m
●剪力图和弯矩图一般是连续的 。在集中力作 用处剪力图发生突变，突变的数值等于集中力的大 小，方向与集中力的方向相同；在有集中力偶作用 的地方弯矩图发生突变，突变的数值等于集中力偶 的大小，方向为“顺下逆上”。
15.4 弯矩、剪力、荷载集度之间的关系
一、弯矩、剪力、荷载集度之间的关系
F
Me
A(O) C D
A FRA 1
2
B FRB
1m
1.5m
3m
F1
A
FRA
F2 M2
FQ2
Fy 0 F Q 2 F R A F 1 F 2 0 F Q 2 7 k N
FQ2FRAF1F2
FQ2 FRB
M O
0
M 2 F R A 2 F 1 1 . 5 F 2 0 . 5 0 M 2 7 k N m
M 2 F R A 2 F 1 1 .5 F 2 0 .5
FQ2FRAF1F2
FQ
F1
M 2 F R A 2 F 1 1 .5 F 2 0 .5
结论：
M FRA
F2 M2 FQ2
1 梁的任一横截面上的剪力在数值上等于该截面左 侧（或右侧）所有竖向力（包括斜向外力的竖向分力 、约束反力）的代数和；且截面左边向上（右边向下 ）的外力使截面产生正号的剪力。
实际支承→理想支承 ⑶ 以简化后的荷载代替实际的荷载。
三、梁的分类 ●按支座情况 ⑴简支梁：一端固定铰，一端可动铰
⑵外伸梁：一端或两端向外伸出的简支梁
⑶悬臂梁：一端固定支座，另一端自由
●按支座反力的求解方法
⑴静定梁：用平衡方程可求出未知反力的梁；
FAy
FAx A
B
FB
MA
A
FAx
FAz
⑵超静定梁：仅用平衡方程不能求出全部未知反 力的梁。
MxF R A x F x l3 3 q l2 4 q lx
FQ x FRAF4ql
Mx F R A x F x l3 M e 4 q l2 4 q l x
A(O)
F CD
Me
B
FRA
l/3 l
l/3 FRB
(3)画剪力图、弯矩图，标出特征值
FRA 5ql FRB 4ql
5ql
FQ
x
4
q
l
4 q l
5ql x
M x 3ql2 4qlx
4ql2 4qlx
F
Me
A(O)
C 12 D
B
12
FRA l/3 l
l/3 FRB
5 ql
FQ图
4ql
M图
5ql2 3
ql2 3
4 ql2 3
结论：
●当梁上荷载有变化时，剪力方程和弯矩方程 不可能用一个统一的函数式来表达，必须分段列出 其表达式。分段是以集中力、集中力偶的作用位置 及分布荷载的起点和终点为界。
Me
q
A
C
B
a FRA 3a
FRB
解：(1)求支座反力
11
MA 0 FRB 6 qa
Fy 0
FRA
7 6
qa
(2)作剪力图
FRA
7 6
qa
FRB
11 6
qa
(3)作弯矩图
x
7 6
qa
q
7
6
a
Me
q
A C
a FRA 3a
7/6qa
FQ图
x
M图
B FRB
11/6qa
M max
Me
1q 1 a 1a 1 q1a 1 1a 1 12 q21 a 6 6 6 1272
F =8kN 1
q=12kN/m 2
A
1
2 1.5m B
FRA 2m
1.5m
FRB
3m
15.3 内力图──剪力图和弯矩图
为了形象地看到内力的变化规律，通常将剪力、弯 矩沿梁长的变化情况用图形表示出来，这种表示剪力 和弯矩变化规律的图形分别称为剪力图和弯矩图。
具体作法是：
剪力方程： FQFQx 函数图形 弯矩方程： MMx
0.5m F1 1
F2 2
1m
A
FRA 1
2
B FRB
1m
1.5m
3m
0.5m F1 M1 A
FQ1 FRA 1m
Fy 0 F R AF 1F Q 10 F Q 13 kN
MO 0 M 1 F R A 1 F 1 0 .5 0 M 1 9 k N m
(3)求2-2截面上的内力
0.5m F1 1 F2 2 1m
F2=10kN，试计算指定截面1-1、2-2的内力。
0.5m F1 1
F2 2
1m
A
FRA 1
2
B FRB
1m