2. 柱坐标一般用于二维问题：
二维问题的解：
( A0 B0 ln r )(C0 D0 )
n n n
( An r Bn r )(Cn cos n Dn sin n ) [r ( An sin n Bn cos n）
n n
或写成： A0 B0 ln r C0 D0 ln r
在球内总电场作用下，介质的极化强度为
0 P内 e 0 E ( 0 ) E 3 0 E0 2 0
介质球的总电偶极矩为
0 4 3 3 p R0 P 40 R0 E0 3 2 0
球外区域电势
所产生的电势
1 的第二项就是这个电偶极矩
1 2 ,
1 2 0 R R
比较Pn的系数，得:
0 3 b1 E0 R0， 2 0 3 0 c1 E0 2 0 bn cn 0， (n 1)
3 0
所有常数已经定出，因此本问题的解为
0 E0 R cos 1 E0 R cos 2 0 R2 3 0 2 E0 R cos 2 0
导体面上电荷面密度为
3 0
0 R
3 0 E0 cos
R R0
例4 导体尖劈电势V，分析它的尖角附近的电场。
解：用柱坐标系 1 2 0， (0 2 ) r 2 2 r r r r ϕ的通解形式为 A0 B0 ln r C0 D0 在尖劈θ=0面上，ϕ =V与r无关，由此
② 正确写出边界条件，不能有遗漏。
例1 一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带
电荷Q，同心地包围一个半径为R1的导体球（R1 <R2）。使这个导体球接地，求空间各点的电势 和这个导体球的感应电荷。 解：以球心为原点建立球坐标系，导体壳外和壳内 的电势均满足方程 2 0 ，问题具有球对称 性，电势 不依赖于角度θ和φ。设导体壳外 和壳内的电势分别为 b 1 a ， ( R R3 ) R d 2 c ， ( R2 R R1 ) R
例2：电容率为 的介质球置于均匀外电场E0中， 求电势。
解：以介质球的球心为坐标原点，以E0方向为极轴
建立球坐标系。 设球的半径为 R0 ，球外为真空。介质球的存在
使空间分为两均匀区域—球外区域和球内区域。 两区域内部都没有自由电荷，因此电势 均满 足拉普拉斯方程。
以 1 代表球外区域的电势， 2 代表球内的电势。 两区域的通解为： bn n 1 (an R n1 )Pn (cos )， ( R R0 ) R n
边界条件为： （1）内导体接地 2
1 R 0 （2）整个导体球壳为等势体 2 R R 1 R R
R R1
2
3
（3）球壳带总电荷Q，因而 1 2 2 2 Q R d R d R R 0 R R3 R R2 Q Q1 ， 由这些边界条件得 a 0，b 40 40 Q1 Q1 c ，d 40 R1 40
间中没有其他自由电荷分布。
如果我们选择这些导体的表面作为区域V的边界，则 V 内部自由电荷密度ρ＝0，电势所满足的泊松方程化 为比较简单的情形：
2 0
这就是拉普拉斯方程。
注意：求解区域内ρ＝0，产生电场的电荷全部分布 于V 的边界上，他们的作用通过边界条件反映出来。 所以，这类问题可归结为求拉普拉斯方程满足边界 条件的解。
n
r (Cn sin n Dn cos n） ]
若二维问题又具有轴对称性，则电势与θ 无关 A B ln r
3. 分离变量法的解题步骤：
① 根据界面的形状选择适当坐标系。 ② 建立坐标系，写出场量所满足的方程，写出通 解。 ③ 写出边界条件和衔接条件(即：不同区域分界面 上的边值关系)。 ④ 根据定解条件，求出通解中的积分常数。 ⑤ 将求出的积分常数代入通解表达式，得到实际 问题的解。 关键步骤：① 充分利用对称性，写出简单的通解。
n
anm, bnm, cnm, dnm为积分常数，在具体问题中由边 界条件确定。
若问题具有轴对称性，取此轴为极轴，通解为
bn (an R n 1 )Pn (cos ) R n
n
其中
P0 cos 1 ， P1 cos cos，
b a R
若问题具有球对称性
dn 2 (cn R n1 )Pn (cos )， ( R R0 ) R n
n
无穷远处，
1 E0 R cos E0 RP1 (cos ), 因而 a1 E0，an 0 (n 1)
R 0 处， 2 应为有限值，因此
dn 0
在介质球面上（R=R0），
3
p R 0 E0 R0 cos 3 2 40 R 2 0 R 1
例3 半径为R0的导体球置于均匀外电场E0中， 求电势和导体上的电荷面密度。
解：用导体表面边界条件，照上例方法可解出导体
球外电势
E0 R E0 R cos 2 cos R
二、分离变量法
分离变量法就是将场量的函数表达式中不同坐标相 互分离，即将场量分解为单一坐标函数的乘积的形 式，求出通解。然后再根据给定的边界条件求出实 际问题的的解。 不同坐标系中拉氏方程的通解不同。 1. 球坐标中的通解：
bnm ( R, , ) (anm R n 1 )Pnm (cos ) cos m R n,m d nm m n (cnm R n 1 )Pn (cos ) sin m R n,m
0 0 E 0 En 2 0 E 1 1 0 1 A1r
很小时,v1趋于1/2， 面电荷密度很大，趋于1/r1/2
其中
R3 1 Q1 1 Q 1 1 R1 R2 R3
利用这些值，得电势的解
Q Q1 1 ， ( R R3 ) 40 R Q1 1 1 ， ( R2 R R1 ) 2 40 R R1
导体球上的感应电荷为
2 2 0 R d Q1 R R R1
V An r sin n
n
n
在尖角附近r→ 0 ，上式求和式的主要贡献来自r的 最低次幂项，即n=1项
V A1r sin 1
1
电场为： Er 1 A1r 1 1sin 1 r 1 1 1 E 1 A1r cos 1 r 尖劈两面上的电荷面密度为：

A r B r C cos D sin


A0C0 V , B0 0, C 0
0.
因r→ 0时ϕ有限，得
B0 B 0.
在尖劈θ=2π-α 面上， ϕ=V与r无关，必须
D0 0， sin 2 0 n n 1,2 , 因此v的可能值为 νn α 2 π 考虑这些条件，ϕ可以重写为
§2.3 拉普拉斯方程 分离变量法
本章的基本问题：
电场由电势描述；
电势满足泊松方程+边界条件。
具体的工作： 解泊松方程 只有在界面形状是比轻简单的几何曲面时， 这类问题的解才能以解析形式给出，而且视
具体情况不同而有不同解法。
本节和以下几节我们研究几种求解的解析方法。
一、拉普拉斯方程
在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的． ① 例如： 电容器内部的电场是由作为电极的两个 导体板上所带电荷决定的。 ② 电子光学系统的静电透镜内部，电场是 由分布于电极上的自由电荷决定的。 这些问题的特点是： 自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空