拉普拉斯方程应该和泊松方程是同胞兄弟了，都是扩散方程，用来描述散度场的。

只不过拉普拉斯方程是无源场，泊松方程是有源场。

预备内容：梯度、旋度、散度和拉普拉斯算子在曲线坐标下的表达式：
如果在某个曲线坐标系内位移微元（其中是坐标），那么便有：
梯度：散度：旋度：拉普拉斯算符：
对于直角坐标系、球坐标系和柱坐标系来说，的值为：
于是，我们便可以轻松地默写球坐标下拉普拉斯算符的表达式\^o^/
下面进入正题
1.直角坐标系
当出现金属平板之类的边界条件时，使用直角坐标系较为方便。

在直角坐标系下，拉普拉斯方程的表达式为：
i）二维问题
假设沿z轴平移V保持不变，于是方程便简化为二维形式：
我们假设V可以写成两个函数相乘的形式：
（乍看之下这不是一个很合理的假设。

但是我们很快可以看到为什么可以这样做）
代入原方程并在两边除以V:
因为两部分之和为0，因此我们可以假设一个是正数另一部分是负数：（这里以含x的部分为正含y的部分为负为例）
很显然，这两个方程的解就是：
注记：这里决定哪一部分是正数哪一部分是负数要由边界条件来确定。

比如说，沿x方向到达无限远时电势为零，x就应该含有指数衰减项，因此令含x的部分为正数。

于是，方程的一个解是
对所有可能的k求和，可以得到通解：
常数A,B,C,D的值需要由边界条件来确定。

通常情况下，通过边界条件可以把k化成含有正整数的式子。

将求和号改成对n求和，可以看到，第二个括号里的项便是傅里叶级数。

狄利克雷定理保证了这个级数可以拟合任何边界条件。

傅里叶系数可以由积分来确定。

ii)三维问题
三维问题的处理方法与二维的情形类似。

同样，假设是这种形式：
同样，代入方程并在两边同除以V:
假设含x的部分是正的，含y和z的部分是负的：
很显然，上面这些方程的解为：
方程的一个解就是对于k和l求和便得到了通解。

与二维问题类似，通过边界条件可以确定所有常数的值。

同样，可以拟合用于确定边界条件的二元函数。

由于三角函数具有正交性，确定这里的系数的方式与傅里叶级数的方法十分类似。

2. 球坐标系
对于边界是球形的情形使用球坐标系更加方便
这里只研究具有轴对称性的问题，即V中不含有。

于是，利用一开始提到的拉普拉斯算符在曲线坐标系中的表达式，写出球坐标下的拉普拉斯方程，并删掉含有的项可以得到：
与前面一样，我们假设解是乘积形式：
代入方程并在两边同除以V:
很容易就可以得到第一个方程的解：
然而，第二个方程的解就没有这么简单了。

我们必须要用勒让德多项式来写出它：
勒让德多项式可以由罗德里格公式来定义：
前几个勒让德多项式
罗德里格公式仅对非负整数成立。

此外，它仅仅提供了一个解。

对于一个二阶微分方程来说，显然对于每一个l应该有两个解。

一般来说，另外一个解在或时发散，在物理上是不可取的。

但是，有的时候z轴是只能无限接近而无法取到的，这时别的解需要被考虑。

不管怎么样，一般来说，解是：
勒让德多项式的性质与三角函数十分类似。

它在的区间内构成一个完备集，而且它是正交的：
因此，勒让德多项式同样可以用来拟合边界条件。

可以用傅里叶技巧确定系数。

3. 柱坐标系
当出现带电金属线、带电金属导管之类的时候使用柱坐标系较为方便。

这里我们只考察柱对称的情形（V不依赖于z）
再一次用开头提到的公式写出拉普拉斯方程并删掉含有z的项：
假设
代入并两边除以V：
令
很容易求出这两个方程的解：
因此方程的一个解就是。

对其关于l求和就是通解。

同样，常数的值要由边界条件来确定。

第二个括号里的项是傅里叶级数，可以用于拟合边界条件。