魏 泳 涛魏 泳 涛10.1 计算下列情形中系统对定轴的动量矩:(a)均质圆盘质量为m ,半径为r ,以角速度ω转动(b)均质偏心圆盘半径为r ,偏心距为e ,质量为m ,以角速度ω转动; (c)十字杆由两个均质细杆固连而成,OA 长为l 2、质量为m 2,BC 长为l ,质量为m 。
以角速度ω绕Oy 轴转动。
(a)(b)(c)魏 泳 涛 魏 泳 涛10.2 如图所示,质量为m 的偏心轮在水平地面上作平面运动。
轮子轴心为A ,质心为C ,e AC =,轮子半径为R ,对轴心A 的转动惯量为A J ;C 、A 、B 三点在同一铅直线上。
(1)当轮子只滚不滑时,若A v 已知,求轮子的动量和对地面上B 点的动量矩。
(2)当轮子又滚又滑时,若A v 、ω已知,求轮子的动量和对地面上B 点的动量矩。
魏 泳 涛 魏 泳 涛10.3 撞击摆由质量为1m 的摆杆OA 和质量为2m 的摆锤B 组成。
若将杆和锤视为均质细长杆和等厚圆盘,并已知杆长为l ,盘的半径为R ,求摆对轴O 的转动惯量。
魏 泳 涛魏 泳 涛 魏 泳 涛10.4 为求物体对于通过其质心C 之轴AB 的转动惯量C J 。
用两杆AD 、BE 和这物体固结,并借这两杆将物体挂在水平轴DE 上,轴AB 平行于DE ,使其绕DE 轴作微小摆动,测出摆动周期T 。
如物体的质量为M ,轴AB 和DE 之间的距离为h ,杆AD 、BE 的质量忽略不计,求转动惯量C J 。
解:从左向右看,如图θθαsin mgh J J D D -== 而)(2mh J J C D +=所以θθsin )(2mgh mh J C -=+ 当微小摆动时,θθ≈sin 所以 0)(2=++θθmgh mh J C 根据单自由度系统振动特性,有 2π211mh J mgh T C += 即: )π4(22gh T mgh J C -=魏 泳 涛 魏 泳 涛 10.5 如图所示,有一轮子,轴的直径为mm 50,无初速地沿倾角 20=θ的轨道只滚不滑,5秒内轮心滚过的距离为mm 3=s 。
求轮子对轮心的回转半径。
魏 泳 涛魏 泳 涛10.6 小球的质量为m ,连在细线的一段,线的另一端穿过光滑水平面上的小孔O ,令小球在水平面上沿半径为r 的圆作匀速圆周运动,速度为v ,如将绳往下拉,使圆的半径缩小为2r ,求此时小球的速度和线的拉力。
魏 泳 涛 魏 泳 涛10.7 一半径为R 、质量为M 的均质圆盘可绕通过其中心的铅垂轴无摩擦地转动,质量为m 的人在圆盘上相对于圆盘按规律221at s =绕此轴作半径为r 的圆周运动,开始时,圆盘和人静止,求圆盘的角速度和角加速度。
2222mr MR mra +=α魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛10.8 滑轮重W F 、半径为R ,对转轴O 的回转半径为ρ。
一绳子绕在滑轮上,一端系一重为P F 的物体A 。
滑轮上作用一不变转矩M ,忽略绳的质量,求重物A 上升的加速度和绳的拉力。
解:设物体A 上升速度为v ,则系统对转轴O 的动量矩为v gRF R F R v g F vR g F L O 2W 2P 2W P ρρ+=+= 根据对定点的动量矩定理:R F M tv gR F R F t L O P 2W 2P d d d d -=+=ρ 所以:2W 2P P )(d d ρF R F gR R F M t v a +-== 容易求得绳子的拉力2W 2P 2W P 2W 2P P P P P )()(ρρρF R F F MR F F R F R R F M F F a g F F T P ++=+-+=+=魏 泳 涛魏 泳 涛10.9 质量为1m 和2m 的两重物,分别挂在两条绳子上,绳又分别绕在半径为1r 和2r 并装在同一轴的鼓轮上,已知鼓轮对转轴O 的转动惯量为J ,系统在重力作用下发生运动,求鼓轮的角加速度。
魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛10.10 均质圆柱重P F ,半径为r ,放置如图并给以初角速度0ω。
设在A 和B 处的动摩擦系数皆为f ,问经过多少时间圆柱才静止?解:圆柱受力如图。
因为质心静止,所以B A F N =A B F mg N -=由于是动滑动摩擦,所以有B B fN F =B B A A N f fF fN F 2===于是有B A B N f mg F mg N 2-=-=所以:21f mg N B += 由此得221f mg f F A += 21ffmg F B += 根据动量矩定理,有:α221)(mr r F F B A =+ 所以:r f f fg )1()1(22++=α,方向与0ω相反 )1(2)1(020f fg r f t ++==ωαω魏 泳 涛 魏 泳 涛10.11 图示两轮的半径各为1R 和2R ,其质量各为1m 和2m ,两轮以胶带相连接,各绕两平行的固定轴转动。
如在第一个带轮上作用矩为1M 的主动力偶,在第二个带轮上作用矩为2M 的阻力偶。
带轮可视为均质圆盘,胶带与带轮间无滑动,且胶带质量不计。
求第一个带轮的角加速度。
魏 泳 涛 魏 泳 涛10.12 圆轮A 重1P F ,半径为1r ,可绕OA 杆的A 端转动;圆轮B 重2P F ,半径为2r ,可绕其轴转动。
现将A 轮放在轮B 上。
两轮开始接触时,轮A 的角速度为1ω,轮B 处于静止。
放置后,轮A 的重量由轮B 支持,略去轴承的摩擦和杆OA 的重量,两轮可视为均质圆盘,并设两轮间的动摩擦系数为f 。
问自轮A 放在轮B 上起,到两轮间没有滑动时止,经过多少时间?魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛10.13 手柄AB 受力偶M 的作用,通过鼓轮C 水平拖动物体D ,如图所示。
鼓轮的半径为r ,质量为1m ,可视为均质圆柱体。
物体D 的质量为2m ,它与水平面间的动滑动摩擦系数为f 。
手柄、绳索的质量及轴承摩擦都忽略不计,求物体D 的加速度。
解:系统所受的所有力中,除物体D 在水平面内滑动摩擦力,其余力对鼓轮转轴的矩都为零。
摩擦力:g fm F 2=设物体A 速度为v ,则系统对轴动量矩为:rv m m r v r m vr m h O )21(2112212+=⋅+= 根据对定点的动量矩定理,有M Fr tv r m m t h O +-=+=d d )21(d d 12 所以:rm m gr fm M r m m gr fm M t v a )2()(2)21(d d 122122+-=+-==魏 泳 涛魏 泳 涛 10.14 如图所示,板的质量为1m ,受水平力F 作用,沿水平面运动,板与平面间的动摩擦系数为f 。
在板上放一质量为2m 的均质实心圆柱,此圆柱对板只滚动而不滑动。
求板的加速度。
(1) (2) (3) 将再将上式代入(3),得到 312S a m F = 带入(1)后,得到2121212113)(333)(m m g m m f F m m g m m f F a ++-=++-=魏 泳 涛魏 泳 涛10.15 在图示机构中,已知:物块A 质量为m ,纯滚动鼓轮B 质量为1m ,外半径为R ,内半径为r ,鼓轮对通过质心B 的垂直轴的转动惯量为B J ,不计滑轮D 及绳子质量。
若物块A 向下运动,同时带动鼓轮转动,试求物块A 的加速度。
有 (1) (2) (3) 将(3)代入(2),得到: a r R J r R R m T B ])()([2221+++= 代入(1)后,得到2212)()(r R m J R m r R mg a B ++++=魏 泳 涛 魏 泳 涛魏 泳 涛10.16 均质实心圆柱体A 和薄铁环B 的质量均为m ,半径都等于r ,两者用杆AB 铰接,无滑动地沿斜面滚下,斜面与水平面的夹角为 ,如图所示。
如杆的质量忽略不计,求杆AB 的加速度和杆的内力。
解: 详见教材例题11.11魏 泳 涛 魏 泳 涛魏 泳 涛10.17图示均质细长杆AB ,质量为m ,长度为l ,在铅垂位置由静止释放,借A 端的小滑轮沿倾角为θ的轨道滑下,不计摩擦和小滑轮的质量,求刚释放时点A 的加速度。
解: 在刚开始运动时,AB 杆的加速度为零。
设A 加速度为A a ,AB 杆角加速度为α,AB 杆受力图如下。
以A 为基点研究AB 杆质心C 的加速度, 在y 方向: θθsin cos t CA ma mg N =+- (1) 在x 方向: )cos (sin t θθCA A a a m mg -= (2) 对质心C 的相对动量矩定理: θαsin 21212Nl ml = (3) 由(3) θαsin 6ml N = (4) 注意到:2t αl a CA = (5) 将(4)、(5)代入(1),得到:魏 泳 涛 魏 泳 涛魏 泳 涛θθ2sin 31cos +=mg N (6) 将(6)式代入(4),并注意到(5)公式,得到θθαθθsin 3sin 6sin 31cos t 2CA ma ml mg N ==+= θθθ2t sin 31sin cos 3+=g a CA (7) 将(7)式代入(2)式θθθθ2t sin 31sin 4cos sin +=+=g a g a CA A魏 泳 涛魏 泳 涛 10.18 均质细杆AB 质量为m ,图示位置由静止开始运动。
若水平和铅垂面的摩擦均略去不计,试求杆的初始角加速度。
θθsin 2 ly C -=列出杆AB 的平面运动微分方程:A C N lm x m ==θθcos 2 (1) mg N lm y m B C -=-=θθsin 2(2) θθθcos 2sin 21212A B N lN lml -=(3)魏 泳 涛魏 泳 涛魏 泳 涛将(1)、(2)代入(3):θθθθθ22cos 22sin )2(2121 ml l lm mg l ml --= 所以θθsin 23lg =魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛10.19 图示均质圆柱的质量为m ,半径为r ,放在倾角为 60的斜面上。
一细绳缠绕在圆柱体上,其一端固定于点A ,此绳与A 相连部分与斜面平行。
若圆柱体与斜面间的摩擦系数31=f 。
试求其中心沿斜面落下的加速度。
解:柱可视作绕绳纯滚动,受力图如下rv =ω θcos mg N =θcos fmg F =柱对A 的动量矩:mrv mvr mr h A 23212=+=ω 柱对A 的动量矩定理:Fr mgr tv mr t h A 2sin d d 23d d -==θ 注意:N 对A 之矩与θcos mg 对A 之矩之和为零。
即:θθcos 2sin 23fmgr mgr mra -= 得到:g a 355.0=魏 泳 涛 魏 泳 涛10.20 图示均质球的质量为kg 10,半径为mm 100,与地面的动滑动摩擦系数25.0=f 。