（4分）
（8分）
（10分）
七.（20分）设 是数域 上的 维线性空间。
(1)（10分）设 ，已知 是 中的线性无关向量组； 是 中的线性无关向量组。证明 是 的线性无关向量组。
(2)（10分）设 是 的线性变换。证明： 是单射的充分必要条件是它是满射。
证明：(1)由于 ， .（2分）
设
那么 （4分）
秩 秩 ，
所以有秩 秩 = 。（5分）
（3分）
因为线性方程组 有解但不唯一，所以秩 ，故 .（5分）
(2)现在 的特征方程为 .因此特征值为 .（8分）
对应的特征向量分别为：
（10分）
将 单位化，得
令 ，（14分）
则有 .（15分）
六.（10分）设数域 上的3维空间 的线性变换 在基 下的矩阵为 .求线性变换 在基 下的矩阵。
解：线性变换 在基 下的矩阵为
4.设 与 分别是齐次线性方程组 与 的解空间，则
4.
5.若矩阵 且方程组 有非0解，则方程组 的解空间的正交补空间的维数是_____。5. 1
6.设 为3维列向量，若矩阵 相似于 ，则 _____。6. 2.
三.（10分）已知行列式 .求 ，其中 是元素 的代数余子式。
解：考虑行列式 ，按它的第二行展开。（3分）
由于 和 除了第二行外均相同，故 ，（7分）
而计算可得
.所以 .（10分）
四．（15分）设实二次型 ，求当 是何整数时二次型 是正定的，并求一个线性替换 将二次型 化为标准形。
解：此二次型的矩阵为： ，若要 为正定的，则要求其各级顺序主子式都大于零，（3分）
即
（8分）
因 为整数，故 （10分）；当 时
（1）（5分）将 和 用符号 的形式表示出来；
（2）（10分）求子空间 和 的维数和一组基。
解：（1）。解线性齐次方程组 得到子空间 的基础解系统：
，（2分）
同样道理可以得到子空间 的基础解系统：
，（4分）
所以 ， 。（5分）
（2）。显然可以看出，子空间 和 的维数都是3
，（7分）
矩阵经过行初等变换后可以得到：
(D)当 无解时，则 仅有零解
6.设 均为2阶矩阵，若 ，则分块矩阵 的伴随矩阵为（B）
（A） （B） （C） （D）
二、填空（共6小题，每小题5分，共30分）
1．方程组 ，当满足条件时，方程组有唯一解。
1. 互不相同
2.二次型 的矩阵为______________。2.
3．在 中定义线性变换 为： ，写出 在基 下的矩阵________________。3.
因此 。（6分）由已知 是 中的线性无关向量组； 是 中的线性无关向量组，得 .（8分）
所以பைடு நூலகம்是 的线性无关向量组。（10分）
(2)已知 ，（14分）
所以 是单射当且仅当 当且仅当 是满射.所以 是单射的充分必要条件是它是满射。（20分）
八、（15分）符号 表示由向量 生成的子空间。设有子空间 ， 。
，（10分）
作线性替换：
，即 ，则其为非退化的线性替换，（13分）
则经过此线性替换后可得到二次型的标准型： 。（15分）
五.（15分）设矩阵 ，已知线性方程组 有解但不唯一，试求：(1)（5分） 的值；(2)（10分）正交矩阵 ，使 为对角矩阵，求 和 。
解：(1)对线性方程组 的增广矩阵作初等行变换
一、单项选择题（每一题均有唯一最佳答案）（共6小题，每小题5分，共30分）
1．设 是非齐次线性方程组 的三个不同解，则下列向量中，（D）仍是 的解。
（A） （B） （C） （D）
2．设 是4阶矩阵，若 是 的一个基础解系，则 的基础解系可为（C）
（A） （B） （C） （D）
3．设 为3阶矩阵， 为3阶可逆矩阵，且 .若 ， 则 ( B )
，（9分）
所以可以看出向量 是 的一组基，从而 的维数是4。（12分）
由公式：维 维 维 维 ，可知：维 2，
解方程组 可以得到 的一组基：
。（15分）
九．（5分） 为 阶方阵，如果 ，则：秩 秩 = ，其中 是 阶单位矩阵。
2、由于 ，所以 ，所以秩 秩 ，（1分）
又因为 ，所以秩 秩 秩 ，（4分）
姓名：报考学科、专业：准考证号码：
密封线内不要写题
二O一四年招收硕士研究生入学考试答案
考试科目及代码：高等代数代码（601）
适用专业：数学
答题内容写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上一律无效考完后试题随答题纸交回。
考试时间3小时，总分值150分。
注意：以下试题中： 表示 的伴随矩阵， 表示 的转置， 表示 的对角元素的和， 表示 的秩。
(A) (B) (C) (D)
4.设 ,则 ( A ).
(A)构成2维向量空间(B)构成1维向量空间(C)不构成向量空间(D)构成3维向量空间
5．设 是的 矩阵， 是 维列向量，则下列命题正确的是（C）
(A)当 有非零解时，则 也有解
(B)当 有解时，则 必有无穷多解
(C)当 有唯一解时，则 也有唯一解