高等代数习题及答案
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篇一：高等代数试题及答案
中国海洋大学 2007-2008学年第2学期期末考试试卷
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五(10分)证明：设A为n级矩阵,g(x)是矩阵A的最小多项式,则多项式f(x)以A为根的充要条件是g(x)|f(x).
六(10分)设V是数域P上的n维线性空间,A,B是V上的线性变换，且AB?BA.证明:B的值域与核都是A的不变子空间.
?a
???
七(10分)设2n阶矩阵A??
????b
?
ab?
ba
??
b????
?,a?b,求A的最小多项式. ???a?
八(10分)设f是数域P上线性空间V上的线性变换,多项式p?x?,q?x?互素,且满足p?f?q?f
??0(零变换)
??,S
?ker?q?f
求证：V?W?S,W?ker?p?f??
中国海洋大学 2007-2008学年第2学期期末考试学院 (A卷)答案
一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√二.解：
?1?A=?1
?1??1
1111
1111
1??1?1??1?
3
，｜?E?A|??(??4)，所以特征值为0，4（3重）.
将特征值代入，求解线性方程组(?E?A)x?0，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量： ?1＝( 12,12,112,2) ，?2＝(-0,0) ，
?3＝(-
?
0) ，?4＝(-
6
?
6
?
6
2
.
??1
?
?。