第七章 假设检验一、教材说明本章主要介绍统计假设检验的基本概念和基本思想、正态总体参数的统计假设的显着性检验方法.。
1、本章的教学目的与要求（1）使学生了解假设检验的基本概念； （2）使学生了解假设检验的基本思想； （3）使学生掌握假设检验的基本步骤；（4）使学生会计算检验的两类错误，搞清楚两类错误的关系；（5）使学生掌握正态总体参数的假设检验，主要是检验统计量及其分布，检验拒绝域的确定；（6）使学生灵活运用所学知识解决实际问题。
2、本章的重点与难点本章的重点是正态总体参数的各种假设检验中的检验统计量及其分布，难点是假设检验拒绝域的确定。
二、教学内容下面主要分3节来讲解本章的主要内容。
§ 假设检验的基本概念对总体分布或分布中的某些参数作出假设，然后利用样本的观测值所提供的信息，运用数理统计的分析方法,检验这种假设是否成立，从而决定接受或拒绝“假设”,这一统计推断过程，称为假设检验。
1.引例我们先举一个简单的实例来说明假设检验的基本思想及推理方法. 例1：某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包得的袋装糖重是一个随机变量, 它服从正态分布.且知标准差为0.015千克.当机器正常时, 其均值为0.5千克,某日开工后为检验包装机是否正常, 随机地抽取它所包装的糖9袋, 称得净重为(千克): , 问机器是否正常分析：用μ和σ分别表示这一天袋装糖重总体X 的均值和标准差，则)015.0,(~2μN X ,其中μ未知。
问题: 已知总体2(,)X N μσ:,且00.015,σσ==根据样本值判断0.5μ=还是0.5μ≠。
提出两个对立假设00:0.5H μμ==（原假设或零假设）和 10:H μμ≠(备择假设).再利用已知样本作出判断是接受假设0H ( 拒绝假设1H ) , 还是拒绝假设0H (接受假设1H ). 如果作出的判断是接受0H , 则0μμ=即认为机器工作是正常的, 否则, 认为是不正常的.因为X 是μ的无偏估计量，所以，若0H 为真，则0μ-x~(0,1)X N -，衡量0μ-x的大小。
于是可以选定一个适当的正数k ,当观察值xX k ≥时，拒绝假设0H ;反之，当观察值x 满足时k nX <-/0σμ，接受假设0H 。
因为当0H为真时，~(0,1)X U N =,由标准正态分布分位点的定义得:假设检验过程如下: 在实例中,(1)若取定 0.05, α=则/20.025 1.96,k u u α===我们有 又已知0 9, 0.015, n σ==由样本算得 0.511, x =即有 2.2 1.96,=>于是根据小概率事件实际不可能性原理,拒绝假设0H , 认为包装机工作不正常. (2)若取定 0.01, α=则/20.005 2.58,k u u α=== 2.2 2.58, =<于是接受假设0H , 认为包装机工作正常.注:上述α称为显着性水平.此例表明假设检验的结论与选取的显着性水平α有密切的关系.所以,必须说明假设检验的结论是在怎样的显着水平α下作出的. 2.假设检验的基本思想及推理方法 1)假设检验基本思想（1） 在假设检验中，提出要求检验的假设，称为原假设或零假设，记为0H ，原假设如果不成立，就要接受另一个假设，这另一个假设称为备择假设或对立假设，记为1H 。
（2） 假设检验的依据——小概率原理：小概率事件在一次试验中实际上不会发生。
（3） 假设检验的思路是概率性质的反证法。
即首先假设成立，然后根据一次抽样所得的样本值得信息，若导致小概率事件发生，则拒绝原假设，否则接受原假设。
（4） 假设检验可能犯的两类错误：① 第一类错误（弃真错误）：即假设0H 为真而被拒绝，记为α，即00{|}P H H α=拒绝为真。
② 第二类错误（存伪错误）：假设0H 不真而被接受，记为β，即00{|}P H H β=接受不真。
③ 当样本容量n 一定时，,αβ不可能同时减少，在实际工作中总是控制α适当的小。
2)假设检验的程序对任何实际问题进行假设检验，其程序一般为五步，即： ⑴根据题意提出零假设0H （或相应备选假设1H ）。
⑵构造样本统计量并确定其分布；⑶给定显着性水平α，查表确定临界值，从而得出接受域和拒绝域； ⑷由样本观测值计算出统计量的值；⑸作出判断：若统计量的值落入拒绝域则拒绝0H ，若统计量的值落入接受域则接受0H 。
3)假设检验的主要方法U 检验法、t 检验法、2χ检验法、F 检验法。
例2 已知某产品使用寿命X 服从正态分布，要求平均使用寿命不低于1000小时，现从一批这种产品中随机抽出25只，测得平均使用寿命为950小时，样本方差为100小时。
则可用（ ）① t--检验法 ②2χ--检验法 ③Z--检验法 ④F--检验法 解 选①例3 假设检验时，只减少样本容量，犯两类错误的概率（ ） ①都增大 ②都减少③不变 ④一个增大，一个减少 解 选①例4 正态总体()n X X X N X ,,,,,~212Λσμ为样本，,11∑==ni i X n X 假设检验()为已知数0220:σσσ≤H ，在显着性水平α下，则当()20122σχ∑=-=ni ixx（ ）时拒绝0H①()221;n αχ≥- ②()2121n αχ-≤-③()21n αχ≤- ④()21n αχ≥-解 由于当0H 成立时,*2*222(1)(1),n S n S σσ--≤而*222(1)(1)n S n χσ--:,故*2*22222(1)(1)((1))((1))n S n S P n P n ααχχασσ--≥-≤≥-=,于是选④§ 单个正态总体的假设检验⑴2200X :N(μ,σ),σ已知，检验假设H ：μ=μU 检验法：①001000H H μμμμμμμμ≠><：= （：或或）②统计量0(0,1)()U N H -=:成立时。
③给出22{}P U u u αααα>=，，查正表定.④ 由样本值12n x x x L L （，，，） 计算u 的值 ⑤ 判断：若/2||u u α>0，则拒绝H（这是对双侧检验提出的U 检验法步骤，若是单侧可仿比）（2）2200X ∼N(μ,σ),σ未知，检验假设H ：μ=μt 检验法：①001000H H μμμμμμμμ≠><：= （：或或）②0(1)()T t n H -=-:成立时。
③给出22{(1)}(1).P T t n t n αααα>-=-，，查t 分布表定④由样本值计算T 的值.⑤判断：若0022(1),(1),t t n H H t n αα≥--则拒绝，否则接受（若是单侧可查t 表定 同样得出拒绝域）.（3）222200(,),H X N μσσσσ:未知，检验假设：= ①2222000H σσσσ≠1：=（H ：） ②*2221022(1)(1)()i n Sn H χχσσ=-==-∑:n-2i（X -X ）成立时。
③给出2222122{(1)}{(1)}2P n P n ααααχχχχ-<-=>-=，，查2χ分布表定22(1)n αχ-及212(1).n αχ--④由样本值计算2χ的值 ⑥ 判断：若222200122(1)(1)n n H H ααχχχχ->-<-或，则拒绝，反之则接受. （一）已知方差例5 设某产品的某项质量指标服从正态分布，已知它的标准差150σ=，现从一批产品中随机地抽取26个，测得该项指标的平均值为1637。
问能否认为这批产品的该项指标值为1600(0.05α=) ？解 (1)提出原假设： H 0：μ=1600，H 1：μ≠1600； (2)选取统计量X U =(3)对于给定的显着性水平0.05α= ，查标准正态分布表 (4)计算统计量观察值 (5)结论 121.258 1.96u uα-=<=接受原假设H 0即不能否定这批产品该项指标为1600。
（二）未知方差，检验00μμ=：H例6某厂生产乐器用合金弦线，其抗拉强度服从均值为10560（kg/2cm ）的正态分布。
现从一批产品中抽取10根测得其抗拉强度（单位：kg/2cm ）为： 10512 10623 10668 10554 10776 10707 10557 10581 10666 10670⑴对显着性水平α=，问这批产品的抗拉强度有无显着变化？ ⑵对显着性水平α=，结果如何？（已知()()()()0.050.0250.010.0059 1.833,9 2.262,9 2.821,9 3.250t t t t ====）解 ①假设检验10560,10560:10≠=μμ：对H H ②方差未知时，检验数学期望选用统计量()*22011~1()1n i i X T H T T n Sx x n ==-=--∑在成立时，其中 ③对给定样本值，计算得()4.1063110670106231015210111=+++==∑=Λn i i x n x所以，统计量的样本值0* 2.788x t μ-=== ④当显着性水平α=时，拒绝域为()0.0259 2.262T t ≥=，02.788 2.262,0.05,t H α=>=这里落入拒绝域，所以在不应接受即认为抗拉强度有显着变化。
当显着性水平α=时，拒绝域为 0.005||(9) 3.250T t ≥=，即认为这批产品的抗拉强度无显着性变化。
例7已知某种元件的寿命服从正态分布，要求该元件的平均寿命不低于1000 小时，现从这批元件中随机抽取25 只，测得平均寿命 980X =小时 标准差65s =小时 试在显着水平0.05α= 下，确定这批元件是否合格（附表0.900.950.975(24) 1.138,(24) 1.171,(24) 2.064t t t ===）分析 元件是否合格，应通过寿命低于1000 小时来判断（1000≥小时都合格），这里对总体均值的单测检验， 2σ未知，用 t -检验法解 ①提出检验假设0010:1000,:1000H H μμμμ==<=②选取统计量*X T μ-=，当 0H 成立时~(1)T t n - ③由样本观测值，计算统计量所取的值。
这里*980,65x s ==得98010001.53865t -==-④对显着水平0.05α= 拒绝域（临界域）10.95(1)(24) 1.711t t n t α-≤--=-=- 因为0.95(24) 1.711t t >-=- ，未落入拒绝域，应接受0H ，否定1H ：即认为这批元件合格。
(三)未知均值,检验2020:σσ=H例5 某工厂生产的铜丝折断力(单位:斤)服从正态分布()28,μN ,某日随机抽取了10根进行折断力检验,测得平均折断力为斤,样本方差为,在05.0=α下,检验2208:=σH 对()()()7.29,023.199,8:2025.02975.0221==≠χχσH解 用-2χ检验法,检验统计量为2022σχnnS =对05.0,10==αn 拒绝域为:()()023.199120975.02212==-≥-χχχαn 或()()7.29120975.0222==-≤χχαn x有样本观察值,计算得65.10816.681022=⋅=χ 因为()()()()023.19,7.29,965.102975.02025.02=∈=χχχ所以接受0H 。