= 0.15,
µn 为
5000
户中收视
该节目的户数，所以可应用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，即二项分布以正态 分布为极限定理。
解 ： 设 µn 为 5000 户 中 收 视 该 节 目 的 户 数 ， 则 µn ~ B(n, p) ， 其 中
n = 5000, p = 0.15 。 由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理， µn − np 近似服从 np(1− p)
显然需用到前一不等式，则只需算出 E(X + Y ) 与 D(X + Y ) 即可。
解：由于 E(X + Y ) = 0 ，
D( X + Y ) = DX + DY + 2Cov( X , Y ) = DX + DY + 2ρ XY DX DY = 1+ 4 + 2×1× 2× (−0.5) = 3 ，
( D )服从同一离散型分布。
分析：林德伯格-列维中心极限定理要求的条件是 X 1, X 2,", X n,"相互独
立、同分布、方差存在，这时，当 n 充分大时， Sn 才近似服从正态分布。 根据 条件分析选项即可。
解：显然选项 A 与 B 不能保证 X 1, X 2 , ", X n 同分布，可排除。 选项 C 给出了指数分布，此时独立同分布显然满足，而且由于是指数分布， 方差肯定存在，故满足定理条件。 选项 D 只给出其离散型的描述，此时独立同分布显然满足。 但却不能保证 方差一定存在，因此也应排除。 故选 C 。 注：本例重在考察中心极限定理的条件。
P{ X
− EX
≥ ε}≤
E[g( X − EX )] 。 g(ε )
分析：证明的结论形式与切比雪夫不等式非常相似，利用切比雪夫不等式的 证明思想试试看。
证明：设随机变量 X 的概率密度为 f (x) ，则有
P{ X − EX ≥ ε} = ∫ f (x)dx x−EX ≥ε
由于 g(x) > 0 ，且非降，故当 X − EX ≥ ε 时，有
布的随机变量序列，自然会想到辛钦大数定律。
解：由题设 X1, X 2,", X n 独立同分布于参数为 2 的指数分布，因此
X
2 1
,
X
22 , ",
X
2 n
也都独立同分布，且它们共同的期望值为
EX i2
=
DX i
+
(EX i )2
=
1 4
+
⎛ ⎜⎝
1 2
⎞2 ⎟⎠
=
1 2
。
∑ 根据辛钦大数定律，当 n
第四章 大数定律与中心极限定理
例 1．设随机变量 X 和Y 的数学期望分别为－2 和 2，方差分别为 1 和 4，而
相关系数为－0.5，则根据切比雪夫不等式有 P{ X + Y ≥ 6} ≤
。
分析：切比雪夫不等式： P{ X − EX
≥ ε}≤
DX ε2
或 P{ X − EX
<
ε}
≥
1−
DX ε2
，
例 5．假定某电视节目在 S 市的收视率为 15%，在一次收视率调查中，从市 的居民中随机抽取 5000 户，并以收视频率作为收视率，试求两者之差小于 1%的
概率。 分析：这个抽样调查中的重要问题用伯努利概型作为数学模型是很自然的，
所求的是
µn n
−
p
<
0.01发生的概率，其中 n
= 5000,
p
例 4．设随机变量 X 1, X 2 , ", X n 相互独立， Sn = X 1 + X 2 + "+ X n ，则根据
林德伯格-列维中心极限定理，当 n 充分大时， Sn 近似服从正态分布，只要
X 1, X 2 , ", X n 满足
。
( A )有相同的数学期望。
( B )有相同的方差。
( C )服从同一指数分布。
N(0,1) 分布，从而
⎧ P⎨
⎩
µn n
−
p
<
⎫ 0.01⎬
⎭
=
P
⎧⎪ ⎨
⎪⎩
µn − np < np(1− p)
0.01n ⎫⎪ ⎬
np(1− p) ⎭⎪
⎛ ≈ 2Φ ⎜⎜⎝ 0.01
n p(1 −
p)1.98)
−1
= 2× 0.97615 −1 = 0.9523 。
注：在实际工作中当然关心这个概率。 这是典型应用之一，即棣莫弗-拉普
注：这是切比雪夫不等式的推广。 当 g(x) = x2 时，即为切比雪夫不等式。
例 3．设随机变量序列 X 1, X 2 , ", X n 相互独立，且都服从参数为 2 的指数分
∑ 布，则当 n
→
∞ 时，Yn
=
1 n
n i =1
Xi2
依概率收敛于
。
(A) 0
(B) 1 2
(C) 1 4
(D) 1
分析：出现依概率收敛就要考虑应用大数定律，题设给出的是一列独立同分
同时要注意大数定律中所给的假设条件都是大数定律成立的充分条件，切不 要认为条件不满足的随机变量序列就一定不服从大数定律。
几个大数定律的适用场合： 伯努利大数定律仅适用于伯努利试验，讲的是频率收敛于概率。 切比雪夫大数定律用于独立序列且具有有界方差，比伯努利大数定律应用范 围大为扩展。 辛钦大数定律用于独立同分布场合，最适宜于在数理统计中应用。 显然，伯努利大数定律是辛钦大数定律的特殊情形，但是辛钦大数定律不是 切比雪夫大数定律的推广，因为它要求同分布。
→
∞
时， Yn
=
1 n
n i =1
Xi2
依概率收敛于其期望值
1 2
，
故应选择选项 B 。
注：几个大数定律条件、结论都非常相似，下面对其条件进行一下比较：
伯努利大数定律和辛钦大数定律都要求随机变量序列有独立性、同分布和有
限数学期望。
切比雪夫大数定律对条件有所放宽，不要求同分布，但要求有某种独立性。
但是只有辛钦大数定律不要求方差存在。
g( X − EX ) ≥ g(ε ) ， g( X − EX ) ≥ 1， g(ε )
所以
∫ ∫ P{ X − EX ≥ ε} =
f (x)dx ≤
g( X − EX ) f (x)dx
x−EX ≥ε
x−EX ≥ε
g(ε )
∫ ≤ 1
+∞
g( X − EX ) f (x)dx
g(ε ) −∞
= E[g( X − EX )] 。 g(ε )
故由切比雪夫不等式
P{ X + Y ≥ 6} ≤ D(X + Y ) = 1 。
62
12
注：还是用到第三章数字特征的一些性质。 除了切比雪夫不等式本身，这
也是另外的知识点。 本例还可改为求 P{ X − Y ≥ 6} ≤
，方法同上。
例 2．设 g(x) > 0(0 < x < +∞) ，且为非降函数。 设 X 为连续型随机变量且 E[g( X − EX )] 存在。 试证对任意 ε > 0 ，有