The University of South China数字信号处理课程设计说明书学院名称指导教师班级学号学生姓名2010年6 月设计一个按因子I=5的内插器，要求镜像滤波器通带最大衰减为0.1dB ，阻带最小衰减为30dB ，过渡带宽不大于20/π，设计FIR 滤波器系数h(n)一、初始设计（1） 幅度指标 可以两种方式给出。

第一种，叫做绝对指标，它提出了对幅度回应函数|H （jw)| 的要求。

这些指标一般可直接用于FIR 滤波器。

第二种方法叫做相对指标，它以分贝（dB ）值的形式提出要求，其定义为：0|)(||)(|log 20max10≥-=jwjw e H e H dB 经过定义中所包含的归一化，所有滤波器的相对幅频特性最高处的值为0dB ，由于定义式中有一个负号，幅频特性小的地方，其dB 值反而是正的。

绝对指标：[0,wp]段叫通带，δ1是在理想通带中能接受的振幅波动或（容限） [ws, ]段叫做阻带，δ2是阻带中能接受的振幅波动或（容限）[wp,ws]叫做过渡带，在此段上幅度回应通常没有限制，也可以给些弱限制。

低通滤波器的典型幅度指标 相对指标（dB ）:p R 是通带波动的dB 值；s A 是阻带衰减的dB 值。

由于绝对指标中的)1(|)(|1max δ+=jw H ，因此 011log 201110>+--=δδp R ， )(ωj e G cω1 1+ p 1-ps p s11log 201210>>+-=δδs A 逆向的关系为 20201101101ppR R --+-=δ2020121010)1(s s A A --≈+=δδ（2）低通FIR 滤波器阶数的估计 πωωδδ2/)(6.1413)lg(20p s s p N ---≈（3）滤波器结构分析： 整数倍内插器的FIR 直接实现整数I 倍内插是在已知的相邻两个原采样点之间等间隔插入I-1个新的采样值。

对已知的采样序列)(11T n x 进行D/A 转移，得道原来的模拟信号)(t x a ，然后再对)(t x a 进行较高采样率的采样得到)(22T n y ，这里 21IT T = I 为大于1的整数，称为内插因子。

整数倍内插是先在已知采样序列)(11T n x 的相邻两个样点之间等间隔插入I-1个0值点，然后进行低通滤波器，即可获得I 倍内插的结果。

内插方案如图所示：)(11T n x )(22T n v )(22T n y图中↑ I 表示在)(11T n x 相邻样点之间插入I-1个0值采样，称为零值内插器。

)(11T n x 、)(22T n y 的傅里叶变换为：)(1jw e X 、)(2jw e Y ，二者均为周期函数，若二者都用模拟频率Ω表示，则(1jw e X =)(1T j e X Ω，周期为11/2T sa π=Ω；)(2jw e Y =)(2T i e Y Ω，周期为2sa Ω=112)//(2/2sa I I T T Ω==ππ。

)(22T n v =⎪⎩⎪⎨⎧±±=其它当02,,0n)(212I I I T n x↑ I )(22T n h)(22T n v 的傅里叶变换)(2jw e V 为)(2jw eV ==∑∞-∞=-222)(22n n jw e T n v )(1T j e X Ω=)(1jw e X 要想从)(2jw eV 得到)(2jw e Y ，就必须滤除这些镜像频谱。

所以，要求滤波器)(22T n h 的理想低通幅频特性如图所示。

实际工作中，c sa Ω>Ω21所以允许)(2jw e H 有一定的过渡带，可 用线性相位FIR 滤波器实现。

根据其功能，将)(22T n h 称为镜像滤波器。

|)(|2T j e H Ω2/1sa Ω- 0 2/1sa Ω 1sa Ω ΩI /π- 0 I /ππ 2π 镜像滤波器的理想幅频特性将理想镜像滤波器的阻带截止频率换算成数字频率为II T T T sa ππ==Ω11212 所以，理解情况下，镜像滤波器)(22T n h 的频率响应特性为)(2jw e H ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤πππ||I 0|w |0 22w I C 式中，C 为定标系数，因此输出频谱为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤πππ|| 0|w |0 )()(2222w I I e CX e Y jIw jw 而后得出：定标系数C=I 。

内插器的输入、输出关系 )()()(222222mT Tn h mT v T n y m -=∑∞-∞=频域输入、输出关系 )()()(222jw jw jw e H e V eY =)()()(z H z X z Y '=镜像滤波器)(22T n h 采用FIR 结构时，I 倍内插器的FIR 直接实现结构如图所示：)(11T n x )(22T n w h （0） )(22T n y12-z )(2T h12-z ])2[(2T N h - 12-z ])1[(2T N h -按整数因子I 内插系统的直接型FIR 滤波结构当满足线性相位条件[)(22T n h =))1((22T n N h --]时，可用线性相位结构实现，将乘法次数再减少一半。

取N=9，画出内插旗的线性相位FIR 直接高效实现结构，如图所示：)(11T n x h(0))(22T n y 12-z )(2T h 12-z12-z )2(2T h 12-z12-z )3(2T h 12-z12-z )4(2T h 12-z内插器的线性相位FIR 直接实现结构 ↑ I↑ I ↑ I↑ I↑ I↑ I ↑ I↑ I ↑ I ↑ I多相滤波器结构按整数因子I 内插系统的高效FIR 滤波器结构可以用一组较短的多相滤波器组实现。

如果FIR 滤波器总长度为M=NI ，则多相滤波器组由I 个长度为N=M/I 的短滤波器构成。

且I 个短滤波器轮流分时工作。

从m=0开始，整数因子I 内插系统的输出序列y(m)计算如下： ∑-==-=1)(*)()()()(N n kkn x n p n j x n p m y式中，m=jI+k;k=0,1,2,....,I-1;j=0,1,2,....。

显然，当m=jI+k 从0开始增大时，k 从0开始以I 为周期循环取值；j 表示循环周期数。

所以，实现式中的多相滤波器结构如下图所示。

I 个子滤波器均运行于低采样率x F 下，且系数少，计算量小，所以多相滤波器结构是一种高效结构。

输入端的x(n)每移入一个样值，I 个子滤波器分别计算出y(m)的I 个样值，选择电子开关以高采样率x F =I x F ，依次逆时针循环选取I 个子滤波器的输出，形成输出序列y(m)。

实现了整数因子I 内插功能。

x(n) 速率=I x F y(m)采样速率x y IF F =采样率x F 采样率x F整数因子I 内插系统的多相滤波器结构二、目标设计一个按因子I=5的内插器，要求镜像滤波器通带最大衰减为0.1dB ，阻带最小衰减为30dB ，过渡带宽不大于20/π，设计FIR 滤波器系数h(n))(1n p)(2n p )(1n p I -)(0n p1、低通FIR 滤波器技术指标 采样频率s F =8000Hz20/3π=p w （通带截止频率） 5/π=s w （阻带截止频率）pa =0.1dB (通带最大衰减）s a =30dB (阻带最小衰减）过渡带宽度 πωωω05.0=-=∆p s2、Remezord 函数的调用[n, fo, mo, w] = remezord([600 800], [1 0], [0.057 0.15], 8000); b = remez(n, fo, mo, w); %[h w] = freqz(b, 1, 128); %plot(w/pi, abs(h)); freqz(b, 1, 128);求得h(n)长度M=47，为了满足5的整数倍，取M=50，调用rezem 函数求得h(n)如下：h(0)=6.684246e-002=h(49) h(1)=-3.073256e-002=h(48)h(2)=-4.303671e-002=h(47) h(3)=-5.80309-002=h(46) h(4)=-6.759203e-002=h(45) h(5)=-6.493009e-002=h(44) h(6)=-4.657608e-002=h(43) h(7)=-1.386252-002=h(42) h(8)=2.674276e-002=h(41) h(9)=6.463158e-002=h(40) h(10)=8.776083e-002=h(39) h(11)=8.607556e-002=h(38) h(12)=5.500303e-002=h(37) h(13)=-1.800562e-003=h(36) h(14)=-7.220485e-002=h(35) h(15)=-1.370181e-001=h(34) h(16)=-1.740193e-001=h(33) h(17)=-1.631924e-001=h(32) h(18)=-9.215300e-002=h(31) h(19)=4.004513e-002=h(30) h(20)=2.202029e-001=h(29) h(21)=4.239994e-001=h(28) h(22)=6.191918e-001=h(27) h(23)=7.725483e-001=h(26) h(24)=8.68808e-001=h(25)多相滤波器实现结构中的五个多相滤波器系数如下：)}45(),40(),35(),30(),25(),20(),15(),10(),5(),0({)()(0h h h h h h h h h h nI h n p ==)}50(),45(),40(),35(),30(),25(),20(),15(),10(),5({)5()()}49(),44(),39(),34(),29(),24(),19(),14(),9(),4({)4()()}48(),43(),38(),33(),28(),23(),18(),13(),8(),3({)3()()}47(),42(),37(),32(),27(),22(),17(),12(),7(),2({)2()()}46(),41(),36(),31(),26(),21(),16(),11(),6(),1({)1()(54321h h h h h h h h h h nI h n p h h h h h h h h h h nI h n p h h h h h h h h h h nI h n p h h h h h h h h h h nI h n p h h h h h h h h h h nI h n p =+==+==+==+==+=从五个自滤波器的频响特性可以解释“多相滤波器”含义。