3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．
4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
5．等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
1．三个推论
推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；
推论 2：经过两条相交直线有且只有一个平面；
推论 3：经过两条平行直线有且只有一个平面．
17. 如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 CDEF 为矩形， AD CD．证明： AB 平面 ADF ．
18. 如图，四棱锥 S ABCD 中，SD 底面 ABCD ，AB / /CD ，AD DC ，AB AD 1 ，DC 2 ， SD 2 ， E 为棱 SB 的中点．求证： SC 平面 ADE ．
13. 己知三棱 柱ABC A1B1C1, 点A1 在底面 ABC 上的射影恰为 AC 的中点 D ， BCA 90 ， AC BC 2, 又知 BA1 AC1. 求证： AC1 平面A1BC ．
14. 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PD 平面 ABCD ，E 为棱 PB 的中点，PB 2 ，PD 1，BPC 45 ．证 明： PC 平面 ADE ．
9. 如图，在三棱锥 P ABC 中，G 是棱 PA 的中点，PC AC ， 且 PB AB AC BC 2 ， PC 1.求证：直线 BG 平面 PAC ．
10. 如图，在三棱锥 P ABC 中， PA 面 AABBCC,,AACC AABB,,PPAA AADD22DDCC22,,AAEE AABB 33．求证：
立体几何系统提升精讲
1．多面体的表(侧)面积
因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面
面积之和．
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S 圆柱侧＝2πrl
3.柱、锥、台和球的表面积和体积
S 圆锥侧＝πrl
S 圆台侧＝π(r1＋r2)l
16.
★如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是菱形，ABC
3
四边形 ABEF 是直角梯形，FAB 2
， AF
BE ， AF
Hale Waihona Puke AB 2BE2 ．证明：CE
平
面 ADF ．
17. 在三棱锥 P ABC 中， H 为 PA 的中点， M , N 分别为棱 PA, PB 上的点，且 PN 3NB ， MN 平面 HBC ，求 PM : PA 的值．
11. ★如图所示,在四棱锥 C ABED 中,四边形 ABED 是正方形,点 G, F 分别是线段 EC, BD 的中点. 求证： GF / /平面ABC
12. ★如图，在直三棱柱 ABC－ A1B1C1 中，E 是棱 CC1 的中点，F 是 AB 的中点．求证：CF∥平面 AB1E ．
13. ★如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中，△ABC 是边长 为 4 的正三角形，侧面 BB1C1C 是矩形，D, E 分别是 线段 BB1, AC1 的中点． 求证： DE 平面 ABC ．
2．异面直线判定的一个定理
过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线互为异面直线．
1．直线与平面平行的判定与性质 判定
定义
定理
性质
图形
条件
a∩α＝∅
a⊂α，b⊄α，a∥b
a∥α
a∥α，a⊂β，α∩β ＝b
2
结论
a∥α
2.面面平行的判定与性质
定义
b∥α
判定
定理
a∩α＝∅
a∥b
性质
图形
条件
8
14. ★如图，在四棱锥 P ABCD 中，四边形 ABCD 为矩形， E, F 分别为 PC, BD 的中点．证明： EF / / 平面 PAD ．
15. ★如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， AB AC ， P 为 AA1 的中 点， Q 为 BC 的中点． 求证： PQ / / 平面 A1BC1 ．
12
7. 如图，四面体 P ABC 中，PA 平面 ABC ，PA AB 1，BC 3 ，AC 2 ．证明：BC 平面 PAB ．
8. 如图，四面体 ABCD 中，O、E 分别是 BD、BC 的中点， AB AD 2 ， CA CB CD BD 2 ．求证： AO 平面 BCD．
14
15. 如图，已知△ABC 是正三角形，EA，CD 都垂直于平面 ABC，且 EA AB 2 ， DC 1，F 是 BE 的中点， AF 平面 EDB．
16. 如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， AC BC ， AB 2 2 ， BC 2 ， AA1 2 ．证明： A1C 平面 AB1C1 ．
4. 如图，在三棱柱 ABC–A1B1C1 中，D 为 AC 的中点，O 为四 边形 B1C1CB 的对角线的交点．求证：OD∥平面 A1ABB1．
6
5. 如图，在长方体 ABCD－ A1B1C1D1 中，面 BMD1N 与棱 CC1 ，AA1 分别交于点 M，N，且 M，N 均为中点．求证：AC∥平面 BMD1N
为点 E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥 M EFGH 的体积为
；
3 在正四面体中，其侧面积与底面积之差为 8 3 ，则该正四面体外接球的
体积为
。
4 如果一个球的内接圆锥的母线长是这个球的半径的 3 倍，则圆锥的侧面积与球的表面积之比为
5 已知圆柱的体积为 1，则圆柱的表面积最小时，底面半径为
5
a∥b
2.平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定 理
如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面互相垂直
l⊂β ⇒α⊥β
l⊥α
3
性质定 理
如果两个平面互相垂直，那么在一个 平面内垂直于它们交线的直线垂直
名称
表面积
体积
几何体
柱体(棱柱和圆柱) 锥体(棱锥和圆锥)
S 表面积＝S 侧＋2S 底 S 表面积＝S 侧＋S 底
台体(棱台和圆台)
S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下
球
S＝4πR2
V＝Sh
V＝1Sh 3
V＝1(S 3
上＋S
下＋
S 上 S 下)h V＝4πR3
3
【知识拓展】 1．与体积有关的几个结论 (1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差． (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等． 2．几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为 a，球的半径为 R， ①若球为正方体的外接球，则 2R＝ 3a； ②若球为正方体的内切球，则 2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则 2R＝ 2a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R，则 2R＝ a2＋b2＋c2.
11
4. 如图，正方形 ABCD 所在平面与三角形 CDE 所在平面相交于 CD ， AE ⊥ 平面 CDE ．求 证： AB 平面 ADE ．
5. 如图所示，已知 P ABC 为正三棱锥，设 D 为 PB 的中点，且 AD PC ．求证：PC 平 面 PAB ．
6. 如图所示，已知四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为菱形， PA 平面 ABCD ， ABC 60 E 是 BC 的中点．证明： AE ⊥ 平面 PAD ．
2．直线与直线的位置关系
(1)位置关系的分类
平行直线 共面直线
相交直线
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
(2)异面直线所成的角
①定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的锐角(或
直角)叫做异面直0，线π a 与 b 所成的角(或夹角)． ②范围： 2 .
1
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 3∶1.
1．四个公理
公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行．
9
18. 如图，正方形 ABCD 的边长是 13，平面 ABCD 外一点 P 到正方形各顶点的距离都是 13， M , N 分别是 PA, BD 上的点，且 PM : MA BN : ND ．求证：直线 MN 平面 PBC ．
19. 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 N 在 BD 上，点 M 在 B1C 上，且 CM DN ．求证： MN 面 AA1BB1
证明类：
线面平行
1. 如图，在四棱锥 P ABCD 中， A B / / C D ．求证：CD∥ 平面 ABE．
2. 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面是棱长为1的菱形， M 是 PB 的中点．求证： PD //平面 ACM ．
3. 如图， 在正三棱柱 ABC A1B1C1 中，点 D 是 AB 的中点．求 证： BC1 / / 平面 A1CD ．
15
面面平行
1. 如图所示，在三棱柱 ABC A1B1C1 中，D 是 BC 上一点，且 A1B 平 面 AC1D ， D1 是 B1C1 的中点．求证：平面 A1BD1∥平面 AC1D ．
2. 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， M 、 N 、 P 分别是 C1C 、 B1C1 、 C1D1 的中点．求证：平面 MNP∥平面 A1BD ．