第三章 线性方程组
矩阵的秩
(概念及求法) 概念及求法)
一、矩阵秩的概念
行阶梯形矩阵的特点：（1）、可 划出一条阶梯线，线的下方全为零； （2）、每个台阶 只有一行，台阶 数即是非零行的行数，阶梯线的竖 线后面的第一个元素为非零元，即 非零行的第一个非零元．
任何矩阵 Am × n , 总可经过有限次初等行 变换 梯形， 把它变为行阶 梯形，行阶 梯形矩阵中非零行的行 数是唯一确定的 .
R ( B ) = 3.
三、小结
1. 矩阵秩的概念 2. 求矩阵秩的方法 (1)利用定义 (1)利用定义 (即寻找矩阵中非零子式的最高阶数 (即寻找矩阵中非零子式的最高阶数); 即寻找矩阵中非零子式的最高阶数); (2)初等变换法 (2)初等变换法 (把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵， 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵 阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩). 阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩
a T = ( a 1 , a 2 ,L , a n )
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 维向量写成一列，称为列向量 列向量， 矩阵， 等表示， 矩阵，通常用 a,b,α, β 等表示，如： a1 a2 a= M a n
注意 １．行向量和列向量总被看作是两个不同的 行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量； 向量； ２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算； 进行运算；
n
{
T
}
叫做 n 维向量空间． 维向量空间．
π = {x = ( x1 , x 2 ,L, x n ) a1 x1 + a 2 x 2 +L+ a n x n = b}
T
n维向量空间 Rn中的 n − 1 维超平面． 维超平面． 叫做
n 维向量的实际意义
确定飞机的状态， 确定飞机的状态，需 要以下6个参数 个参数： 要以下 个参数： 机身的仰角 机翼的转角 机身的水平转角
求矩阵 A 及矩阵 B = ( A b )的秩 .
~ ~ ~ 分析： 解 分析： B 的行阶梯形矩阵为 B = ( A, b ), 设 ~ 的行阶梯形矩阵， 则 A 就是 A 的行阶梯形矩阵， ~ ~ ~ 故从 B = ( A, b ) 中可同时看出 R( A) 及 R( B ).
1 2 B= −2 3
0 5 0 3 2 6 − 1 3 − 2 3 例4 设 A = , 求矩阵 A 的 2 0 1 5 −3 1 6 − 4 −1 4 秩，并求 A 的一个最高阶非零子式 ．
解 对A作初等行变换，变成行 阶梯形矩阵： 作初等行变换， 阶梯形矩阵：
0 5 0 3 2 6 − 1 3 − 2 3 A= 2 0 1 5 − 3 1 6 − 4 −1 4
子式的最高阶数 .
对于 A ， 显有 R( A ) = R( A).
T T
例1
1 2 3 求矩阵 A = 2 3 − 5 的秩 . 4 7 1
1 2 在 A 中， ≠ 0. 2 3
解
又 Q A的 3 阶子式只有一个 A， 且 A = 0，
∴ R ( A ) = 2.
显然，非零行的行数为 ， 显然，非零行的行数为2，
∴ R ( A ) = 2.
此方法简单！ 此方法简单！
二、矩阵秩的求法
因为对于任何矩阵Am×n ,总可经过有限次初 梯形. 等行变换把他变为行阶
问题：经过变换矩阵的秩变吗？ 问题：经过变换矩阵的秩变吗？
定理1 若 A ~ B,则 R( A) = R( B).
： 向量空 的
{( x, y,z) ax+by+cz=d} {r =( x, y,z)
P( x, y, z)
T
ax+by+cz=d}
T
r = ( x, y, z)
n 维向量没有直观的几何形象． n > 3时， 维向量没有直观的几何形象．
R = x = ( x1 , x 2 ,L, x n ) x1 , x 2 ,L, x n∈ R
Q R ( B ) = 3,
故 A 中必有 3 阶非零子式.
计算 A 的前三行构成的子式
3 2 2 0 5
3 2
5
5 =2 0 5 3 − 2 6 6 0 11
2 5 = −2 = 16 ≠ 0. 6 11
的一个最高阶非零子式. 则这个子式便是A 的一个最高阶非零子式
设 n 阶可逆矩阵 A ，
Q
3 − 2 2 −1 0 3 1 −2 5 0 例2 求矩阵 B = 的秩 . 0 0 0 4 −3 0 0 0 0 0
解 Q B是一个行阶梯形矩阵， 其非零行有 3行， 是一个行阶梯形矩阵，
∴ B 的所有 4 阶子式全为零 .
2 −1 3 而 0 3 − 2 ≠ 0, 0 0 4
r1 ↔ r4 r2 − r4
r3 − 2r1 r4 − 3r1
6 4 −4 −1 1 3 1 −1 0 − 4 0 − 12 9 7 − 11 0 − 16 12 8 − 12
r3 − 3r2
r4 − 4r2
1 6 − 4 −1 1 0 − 4 3 0 0 0 4 0 0 0 4
经有限次初等行变换矩阵的秩不变． 经有限次初等行变换矩阵的秩不变．
设A经初等列变换变为 B,即有R( A) = R( B).
初等变换求矩阵秩的方法： 初等变换求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵， 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩. 零行的行数就是矩阵的秩 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩
A ≠ 0, ∴ A 的最高阶非零子式为 A ,
R( A ) = n, 故 A 的标准形为单位阵 E , A ~ E .
可逆矩阵的秩等于阶数 ，故称可逆矩阵 为满秩矩阵 . 奇异矩阵为降秩矩阵 .
1 2 例5 设 A = − 2 3
−2 −4
− 1 1 8 0 2 , b = 3 4 −2 3 4 − 6 0 − 6 2
例如
(1,2,3,L, n)
n维实向量 维实向量 n维复向量 维复向量
(1 + 2i ,2 + 3i ,L, n + ( n + 1)i )
第2个分量 个分量 第1个分量 个分量
第n个分量 个分量
二、n 维向量的表示方法
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 维向量写成一行，称为行向量 行向量， 矩阵， 等表示， 矩阵，通常用 aT , bT ,αT , βT 等表示，如：
3 3 A 的 3 阶子式共有 C 4 • C 5 = 40 个 .
考察A的行阶梯形矩阵， 考察 的行阶梯形矩阵， 记A = ( a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ), 则矩阵 B = (a1 , a2 , a4 )的行 阶梯形矩阵为
1 6 − 1 0 − 4 1 0 0 4 0 0 0
r4 + 3r2
1 − 2 0 0 0 0 0 0
1 − 2 0 0 0 0 0 0
2 −1 2 1 0 0 0 0
1 0 5 1
r3 ÷ 5
r4 − r3
2 − 1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0
∴ R ( A ) = 2,
ϕ ψ
(− ≤ ϕ ≤ ) 2 2 (−π < ψ ≤ π )
π
π
(0 ≤ θ < 2π ) 飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z) 飞机重心在空间的位置参数
所以，确定飞机的状态，需用 维向量 所以，确定飞机的状态，需用6维向量 a = ( x, y, z,ϕ,ψ ,θ )
θ
课堂讨论
在日常工作、学习和生活中， 在日常工作、学习和生活中，有许多问题都 需要用向量来进行描述，请同学们举例说明． 需要用向量来进行描述，请同学们举例说明．
n维向量
（概念、表示方法、向量空间）
一、 n维向量的概念
定义1 定义1 n 个有次序的数 a1 , a2 ,L , an 所组成的数 维向量， 个分量， 组称为 n维向量，这 n个数称为该向量的 n个分量，
第i个数a i 称为第 i个分量 .
分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为实数的向量称为实向量， 实向量 分量全为复数的向量称为复向量. 分量全为复数的向量称为复向量. 复向量
−2 −4
− 1 1 8 0 2 4 − 2 3 3 − 6 0 − 6 4 2
r2 − 2r1 1 − 2 2 − 1 r3 + 2r1 0 0 4 2 0 0 2 1 r4 − 3r1 0 0 − 6 − 3
1 0 5 1
r2 ÷ 2 r3 − r2
4 − 1 − 8 − 8
r4 − r3
1 6 − 4 −1 4 1 − 1 0 − 4 3 0 0 0 4 − 8 0 0 0 0 0
由阶梯形矩阵有三个非零行可知 R( A) = 3.
求 A 的一个最高阶子式 . Q R( A) = 3, 知 A 的最高阶非零子式为 3阶 . 阶
∴ R ( B ) = 3.
1 例3 已知 A = 0 − 2 1 3 = 2 ≠ 0, 解 Q 0 2
3 − 2 2 2 − 1 3 ，求该矩阵的秩． 求该矩阵的秩． 0 1 5
计算A的 阶子式 阶子式， 计算 的3阶子式，
3 −2 1 3 2 3 −2 2 1 −2 2 =0 , 0 2 − 1 = 00 2 3 = 2 , − 1 3 = 00 − 1 3 = 0, = , −2 0 1 −2 0 5 0 1 5 −2 1 5 1