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离散数学第三版课后习题答案

所以,x∈A,xB∪C,即x∈A\(B∪C),由此可见(A\B)\CA\(B∪C)。
反之,对任一元素x∈A\(B∪C),则x∈A,且xB∪C,也就是说xA,xB,xC。所以x∈(A\B)\C,由此可见A\(B∪C)(A\B)\C。
因此A\(B\C)。
2)方法一:(A\B)\C
=A\(B∪C)(根据1))
5){,{{a,b}}}
7.给定自然数集合N的下列子集:
A={1,2,7,8}
B={x|x2<50}
C={x|x可以被3整除且0≤x≤30}
D={x|x=2K,K∈I∧O≤K≤6}
列出下面集合的元素:
1)A∪B∪C∪D
2)A∩B∩C∩D
3)B\(A∪C)
4)(A′∩B)∪D
[解]因为B={1,2,3,4,5,6,7},C={3,6,9,12,15,18,21,24,27,30},D={1,2,4,8,16,32,64,},故此
2)假。例如A={a},B={{a},{b}},C={{a},{b},{c}}从而A∈B∧BC,但AC。
3)假。例如A={a},B={{a,b}},C={{a,{a,b}},从而AB∧B∈C,但AC。
4)假。例如A={a},B={{a,b}},C={{a,b},b},从而AB∧B∈C,但AC。
6.求下列集合的幂集:
3)假。例如A={a},B={a,b},C={{a},a,b},从而ACB∧B∈C,但A∈C。
5.对任意集合A,B,C,确定下列命题的真假性:
1)如果A∈B∧BC,则A∈C。
2)如果A∈B∧BC,则AC。
3)如果AB∧B∈C,则A∈C。
3)如果AB∧B∈C,则AC。
[解] 1)真。因为BCx(x∈Bx∈C),因此A∈BA∈C。
1)A∪B∪C∪D={1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,15,16,18,21,24,27,30,32,64}
2)A∩B∩C∩D=
3)B\(A∪C)={4,5}
4)(A′∩B)∪D={1,2,3,4,5,6,7,8,16,32,64}
8.设A、B、C是集合,证明:
1)(A\B)=A\(B\C)
=A\(C∪B)(并运算交换律)
=A\((C∪B)∩Ⅹ)(0—1律)
=A\((C∪B)∩(C∪C′))(0—1律)
=A\(C∪(B∩C′)(分配律)
=(A\C)\(B∩C′)(根据1)
=(A\C)\(B∩C)(差集的定义)
方法二:对任一元素x∈(A\B)\C,可知x∈A,xB,xC,x∈A\C。又由xB,xB\C,x∈(A\C)\(B\C)\(B\C)。所以(A\B)\C(A\C)\(B\C)。
=(A\C)\B(根据1))
方法二:对任一元素x∈(A\B)\C,可知x∈A,xB,xC。由为x∈A,xC,所以,x∈A\C。又由xB,x∈(A\C)\B。所以,(A\B)\C(A\C)\B。
同理可证得(A\C)\B(A\B)\C。
9.设A、B是Ⅹ全集的子集,证明:
ABA′∪B=XA∩B′=
[解](采用循环证法)
2)∈
3){}
4)∈{}
5){a,b}∈(a,b,c,{a,b,c})
7){a,b}{a,b,{{a,b,}}}
8){a,b}∈{a,b,{{a,b,}}}
[解]1)真。因为空集是任意集合的子集;
2)假。因为空集不含任何元素;
3)真。因为空集是任意集合的子集;
2)(A\B)\C=(A\C)\(B\C)
3)(A\B)\C=(A\C)\B
[证明]1)方法一:(A\B)\C
=(A∩B′)∩C′(差集的定义)
=A∩(B′∩C′)(交运算的结合律)
=A∩(B∪C)′(deMorgan律)
=A\(B∪C)(差集的定义)
方法二:对任一元素x∈(A\B)\C,则xC,同时,x∈A\B,x∈A,xB,
1){a,b,c}
2){a,{b,c}}
3){}
4){,{}}
5){{a,b},{a,a,b},{a,b,a,b}}
[解]1){,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}
2){,{a},{{b,c}},{a,{a,b}}}
3){,{}}
4){,{},{{}},{,{}}}
反之,对任x∈(A\C)\(B\C),可知x∈A\C,xB\C。由x∈A\C,可知x∈A,xC。又因为xB\C及xC,可知xB。所以,x∈(A\B)\C。因此(A\B)\C(A\B)\C。
由此可得(A\B)\(B\C)(A\B)\C。
3)方法一:(A\C)\C
=A\(B∪C)(根据1))
=A\(C∪B)(并运算交换律)
4)真。因为是集合{}的元素;
5)真。因为{a,b}是集合{a,b,c,{a,b,c}}的子集;
6)假。因为{a,b}不是集合{a,b,c,{a,b,c}}的元素;
7)真。因为{a,b}是集合{a,b,{{a,b}}}的子集;
8)假。因为{a,b}不是集合{a,b,{{a,b}}}的元素。
4.对任意集合A,B,C,确定下列命题的真假性:
1)如果A∈B∧B∈C,则A∈C。
2)如果A∈B∧B∈C,则A∈C。
3)如果AB∧B∈C,则A∈C。
[解] 1)假。例如A={a},B={a,b},C={{a},{b}},从而A∈B∧B∈C但A∈C。
2)假。例如A={a},B={a,{a}},C={{a},{{a}}},从而A∈B∧B∈C,但、A∈C。
(1)先证ABA′∪B=X;
方法一:A′∪B=A′∪(A∪B)(因为条件AB及定理4)
2.用谓词法表示下列集合:
1){奇整数集合}
2){小于7的非负整数集合}
3){3,5,7,11,13,17,19,23,29}
[解]1){nnI(mI)(n=2m+1)};
2){nnIn0n<7};
3){ppNp>2p<30(dN)(d1dp(kN)(p=kd))}。
3.确定下列各命题的真假性:
1)
离散数学辅助教材
概念分析结构思想与推理证明
第一部分
集合论
离散数学习题解答
习题一(第一章集合)
1.列出下述集合的全部元素:
1)A={x|x∈N∧x是偶数∧x<15}
2)B={x|x∈N∧4+x=3}
3)C={x|x是十进制的数字}
[解] 1)A={2,4,6,8,10,12,14}
2)B=
3)C={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
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