离散数学考试试题（A 卷及答案）一、（10分）求(P ↓Q )→(P ∧⌝(Q ∨⌝R ))的主析取范式解：(P ↓Q )→(P ∧⌝(Q ∨⌝R ))⇔⌝(⌝( P ∨Q ))∨(P ∧⌝Q ∧R ))⇔(P ∨Q )∨(P ∧⌝Q ∧R ))⇔(P ∨Q ∨P )∧(P ∨Q ∨⌝Q )∧(P ∨Q ∨R )⇔(P ∨Q )∧(P ∨Q ∨R )⇔(P ∨Q ∨(R ∧⌝R ))∧(P ∨Q ∨R )⇔(P ∨Q ∨R )∧(P ∨Q ∨⌝R )∧(P ∨Q ∨R )⇔0M ∧1M⇔2m ∨3m ∨4m ∨5m ∨6m ∨7m二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人。
乙说：王教授不是上海人，是苏州人。
丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。
王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。
试判断王教授是哪里人？解 设设P ：王教授是苏州人；Q ：王教授是上海人；R ：王教授是杭州人。
则根据题意应有： 甲：⌝P ∧Q乙：⌝Q ∧P丙：⌝Q ∧⌝R王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。
所以，丙至少说对了一半。
因此，可得甲或乙必有一人全错了。
又因为，若甲全错了，则有⌝Q ∧P ，因此，乙全对。
同理，乙全错则甲全对。
所以丙必是一对一错。
故王教授的话符号化为：((⌝P ∧Q )∧((Q ∧⌝R )∨(⌝Q ∧R )))∨((⌝Q ∧P )∧(⌝Q ∧R ))⇔(⌝P ∧Q ∧Q ∧⌝R )∨(⌝P ∧Q ∧⌝Q ∧R )∨(⌝Q ∧P ∧⌝Q ∧R )⇔(⌝P ∧Q ∧⌝R )∨(P ∧⌝Q ∧R )⇔⌝P ∧Q ∧⌝R⇔T因此，王教授是上海人。
三、（10分）证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。
证明 设R 是非空集合A 上的二元关系，则tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。
若'R 是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系，则由闭包的定义知r (R )⊆'R 。
则sr (R )⊆s ('R )＝'R ，进而有tsr (R )⊆t ('R )＝'R 。
综上可知，tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。
四、（15分）集合A ＝{a ，b ，c ，d ，e }上的二元关系R 为R ＝{<a ，a >，<a ，b >，<a ，c >，<a ，d >，<a ，e >，<b ，b >，<b ，c >，<b ，e >，<c ，c >，<c ，d >，<c ，e >，<d ，d >，<d ，e >，<e ，e >}，(1)写出R 的关系矩阵。
(2)判断R 是不是偏序关系，为什么？解 (1) R 的关系矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000011000101001011011111)(R M (2)由关系矩阵可知，对角线上所有元素全为1，故R 是自反的；ij r ＋ji r ≤1，故R 是反对称的；可计算对应的关系矩阵为：)(1000011000101001011011111)(2R M R M =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 由以上矩阵可知R 是传递的。
五、（10分）设A 、B 、C 和D 为任意集合，证明(A －B )×C ＝(A ×C )－(B ×C )。
证明：因为<x ，y >∈(A －B )×C ⇔x ∈(A －B )∧y ∈C⇔(x ∈A ∧x ∉B )∧y ∈C⇔(x ∈A ∧y ∈C ∧x ∉B )∨(x ∈A ∧y ∈C ∧y ∉C )⇔(x ∈A ∧y ∈C )∧(x ∉B ∨y ∉C )⇔(x ∈A ∧y ∈C )∧⌝(x ∈B ∧y ∈C )⇔<x ，y >∈(A ×C )∧<x ，y >∉(B ×C )⇔<x ，y >∈(A ×C )－(B ×C )所以，(A －B )×C ＝(A ×C －B ×C )。
六、（10分）设f ：A →B ，g ：B →C ，h ：C →A ，证明：如果h g f ＝I A ，f h g ＝I B ，g f h ＝I C ，则f 、g 、h 均为双射，并求出f －1、g －1和h －1。
解 因I A 恒等函数，由h g f ＝I A 可得f 是单射，h 是满射；因I B 恒等函数，由f h g ＝I B 可得g 是单射，f 是满射；因I C 恒等函数，由g f h ＝I C 可得h 是单射，g 是满射。
从而f 、g 、h 均为双射。
由h g f ＝I A ，得f －1＝h g ；由f h g ＝I B ，得g －1＝f h ；由g f h ＝I C ，得h －1＝g f 。
七、（15分）设<G ，*>是一代数系统，运算*满足交换律和结合律，且a *x ＝a *y ⇒x ＝y ，证明：若G有限，则G 是一群。
证明 因G 有限，不妨设G ＝{1a ，2a ，…，n a }。
由a *x ＝a *y ⇒x ＝y 得，若x ≠y ，则a *x ≠a *y 。
于是可证，对任意的a ∈G ，有aG ＝G 。
又因为运算*满足交换律，所以aG ＝G ＝Ga 。
令e ∈G 使得a *e ＝a 。
对任意的b ∈G ，令c *a ＝b ，则b *e ＝(c *a )*e ＝c *(a *e )＝c *a ＝b ，再由运算*满足交换律得e *b ＝b ，所以e 是关于运算*的幺元。
对任意a ∈G ，由aG ＝G 可知，存在b ∈G 使得a *b ＝e ，再由运算*满足交换律得b *a ＝e ，所以b 是a 的逆元。
由a 的任意性知，G 中每个元素都存在逆元。
故G 是一群。
八、（20分）（1）证明在n 个结点的连通图G 中，至少有n －1条边。
证明 不妨设G 是无向连通图（若G 为有向图，可略去边的方向讨论对应的无向图）。
设G 中结点为1v 、2v 、…、n v 。
由连通性，必存在与1v 相邻的结点，不妨设它为2v （否则可重新编号），连接1v 和2v ，得边1e ，还是由连通性，在3v 、4v 、…、n v 中必存在与1v 或2v 相邻的结点，不妨设为3v ，将其连接得边2e ，续行此法，n v 必与1v 、2v 、…、1-n v 中的某个结点相邻，得新边1-n e ，由此可见G 中至少有n －1条边。
（2）给定简单无向图G ＝<V ，E >，且|V |＝m ，|E |＝n 。
试证：若n ≥21-m C ＋2，则G 是哈密尔顿图。
证明 若n ≥21-m C ＋2，则2n ≥m 2－3m ＋6 （1）。
若存在两个不相邻结点u 、v 使得d(u )＋d(v )＜m ，则有2n ＝∑∈V w w d )(＜m ＋(m －2)(m －3)＋m ＝m 2－3m ＋6，与（1）矛盾。
所以，对于G 中任意两个不相邻结点u 、v 都有d(u )＋d(v )≥m 。
由定理10.26可知，G 是哈密尔顿图。
离散数考试试题（B 卷及答案）一、（10分）使用将命题公式化为主范式的方法，证明(P→Q)→(P∧Q)⇔(Q→P)∧(P∨Q)。
证明：因为(P→Q)→(P∧Q)⇔⌝(⌝P∨Q)∨(P∧Q)⇔(P∧⌝Q)∨(P∧Q)(Q→P)∧(P∨Q)⇔(⌝Q∨P)∧(P∨Q)⇔(P∧⌝Q)∨(⌝Q∧Q)∨(P∧P) ∨(P∧Q)⇔(P∧⌝Q)∨P⇔(P∧⌝Q)∨(P∧(Q∨⌝Q))⇔(P∧⌝Q)∨(P∧Q)∨(P∧⌝Q)⇔(P∧⌝Q)∨(P∧Q)所以，(P→Q)→(P∧Q)⇔(Q→P)∧(P∨Q)。
二、（10分）证明下述推理：如果A努力工作，那么B或C感到愉快；如果B愉快，那么A不努力工作；如果D愉快那么C不愉快。
所以，如果A努力工作，则D不愉快。
解设A：A努力工作；B、C、D分别表示B、C、D愉快；则推理化形式为：A→B∨C，B→⌝A，D→⌝C A→⌝D(1)A附加前提(2)A→B∨C P(3)B∨C T(1)(2)，I(4)B→⌝A P(5)A→⌝B T(4)，E(6)⌝B T(1)(5)，I(7)C T(3)(6)，I(8)D→⌝C P(9)⌝D T(7)(8)，I(10)A→⌝D CP三、（10分）证明∀x∀y(P(x)→Q(y))⇔(∃xP(x)→∀yQ(y))。
∀x∀y(P(x)→Q(y))⇔∀x∀y(⌝P(x)∨Q(y))⇔∀x(⌝P(x)∨∀yQ(y))⇔∀x⌝P(x)∨∀yQ(y)⇔⌝∃xP(x)∨∀yQ(y)⇔(∃xP(x)→∀yQ(y))四、（10分）设A＝{∅，1，{1}}，B＝{0，{0}}，求P(A)、P(B)－{0}、P(B)⊕B。
解P(A)＝{∅，{∅}，{1}，{{1}}，{∅，1}，{∅，{1}}，{1，{1}}，{∅，1，{1}}}P(B)－{0}＝{∅，{0}，{{0}}，{0，{0}}－{0}＝{∅，{0}，{{0}}，{0，{0}}P(B)⊕B＝{∅，{0}，{{0}}，{0，{0}}⊕{0，{0}}＝{∅，0，{{0}}，{0，{0}}五、（15分）设X＝{1，2，3，4}，R是X上的二元关系，R＝{<1，1>，<3，1>，<1，3>，<3，3>，<3，2>，<4，3>，<4，1>，<4，2>，<1，2>}(1)画出R 的关系图。
(2)写出R 的关系矩阵。
(3)说明R 是否是自反、反自反、对称、传递的。
解 (1)R 的关系图如图所示：(2) R 的关系矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0111011100000111)(R M (3)对于R 的关系矩阵，由于对角线上不全为1，R 不是自反的；由于对角线上存在非0元，R 不是反自反的；由于矩阵不对称，R 不是对称的；经过计算可得 )(0111011100000111)(2R M R M =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，所以R 是传递的。
六、（15分）设函数f ：R ×R →R ×R ，f 定义为：f (<x ，y >)＝<x ＋y ，x －y >。
(1)证明f 是单射。
(2)证明f 是满射。
(3)求逆函数f －1。
(4)求复合函数f －1 f 和f f 。