高中数学复习学案函数的单调性 高考要求 了解函数单调性的概念，把握判定一些简单函数的单调性的方法会用函数单调性解决一些咨询题 知识点归纳 函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容在复习中要肯于在对定义的深入明白得上下功夫复习函数的性质，能够从〝数〞和〝形〞两个方面，从明白得函数的单调性定义入手，在判定和证明函数的性质的咨询题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用咨询题的过程中得以深化 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论函数y=f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质函数的单调性是对某个区间而言的，因此要受到区间的限制 1函数单调性的定义： 2 证明函数单调性的一样方法:①定义法：设2121,x x A x x <∈且；作差)()(21x f x f -〔一样结果要分解为假设干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清晰地判定出〕；判定正负号②用导数证明： 假设)(x f 在某个区间A 内有导数，那么()0f x ≥’，)x A ∈（ ⇔)(x f 在A 内为增函数；⇔∈≤)0)(A x x f ，（’)(x f 在A 内为减函数 3 求单调区间的方法：定义法、导数法、图象法 4复合函数[])(x g f y =在公共定义域上的单调性：①假设f 与g 的单调性相同，那么[])(x g f 为增函数；②假设f 与g 的单调性相反，那么[])(x g f 为减函数 注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集 5一些有用的结论：①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反；③在公共定义域内：增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数；增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数 ④函数)0,0(>>+=b a x b ax y 在(][)+∞-∞-,,ab ab 或上单调递增；在[)(]ab ab ，或00,-上是单调递减 题型讲解例1假设y=log a (2-ax)在［0，1］上是x 的减函数，那么a 的取值范畴是A (0，1)B (1，2)C (0，2)D [2，+∞)分析：此题存在多种解法，但不管哪种方法，都必须保证：①使log a (2-ax)有意义，即a ＞0且a ≠1，2-ax ＞0②使log a (2-ax)在[0，1]上是x 的减函数由于所给函数可分解为y=log a u ，u=2-ax ，其中u=2-ax 在a ＞0时为减函数，因此必须a ＞1；③[0，1]必须是y=log a (2-ax)定义域的子集解法一：因为f(x)在［0，1］上是x 的减函数，因此f(0)＞f(1)， 即log a 2＞log a (2-a)解法二：由对数概念明显有a ＞0且a ≠1，因此u=2-ax 在［0，1］上是减函数，y= log a u 应为增函数，得a ＞1，排除A ，C ，再令a=3,那么3log (23)y x =-的定义域为2(,)3-∞，但［0，1］不是该区间的子集故排除D ，选B 讲明：此题为1995年全国高考试题，综合了多个知识点，不管是用直截了当法，依旧用排除法都需要概念清晰，推理正确例2〔1〕求函数20.7log (32)y x x =-+的单调区间；〔2〕2()82,f x x x =+-假设2()(2)g x f x =-试确定()g x 的单调区间和单调性 解：〔1〕单调增区间为：(2,),+∞单调减区间为(,1)-∞，〔2〕222()82(2)(2)g x x x =+---4228x x =-++， 3()44g x x x '=-+，令 ()0g x '>，得1x <-或01x <<，令 ()0g x '<，1x >或10x -<<∴单调增区间为(,1),(0,1)-∞-；单调减区间为(1,),(1,0)+∞-例3设0a >，()x x e a f x a e=+是R 上的偶函数 〔1〕求a 的值；〔2〕证明()f x 在(0,)+∞上为增函数解：〔1〕依题意，对一切x R ∈，有()()f x f x -=，即1x x x xe a ae ae a e +=+ ∴11()()x x a e a e --0=对一切x R ∈成立，那么10a a-=，∴1a =±， ∵0a >，∴1a =〔2〕(定义法)设120x x <<，那么12121211()()x x x x f x f x e e e e -=-+- 2121121122111()(1)(1)x x x x x x x x x x x e e e e e e e+-++-=--=-， 由12210,0,0x x x x >>->，得21120,10x x x x e-+>->，2110x x e +-<，∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，∴()f x 在(0,)+∞上为增函数〔导数法〕∵1a =，(0,)x ∈+∞ ∴211()1()()0x xx x x x e f x e e e e e -''=+=-=> ∴()f x 在(0,)+∞上为增函数例4〔1〕假设()f x 为奇函数，且在(,0)-∞上是减函数，又(2)0f -=，那么()0x f x ⋅<的解集为___________解：由()0x f x ⋅<得0()0x f x <⎧⎨>⎩或0()0x f x >⎧⎨<⎩∵()f x 为奇函数，在(,0)-∞上是减函数， (2)0f -=∴由02()0x x f x <⎧⇒<-⎨>⎩；由02()0x x f x >⎧⇒>⎨<⎩∴()0x f x ⋅<的解集为(,2)(2,-∞-+∞例5 函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x 都有1212()()()f x x f x f x ⋅=+，且当1x >时()0,(2)1f x f >=， 〔1〕求证：()f x 是偶函数；〔2〕()f x 在(0,)+∞上是增函数；〔3〕解不等式2(21)2f x -< 解：〔1〕令121x x ==，得(1)2(1)f f =，∴(1)0f =，令121x x ==-，得(1)0f -=，∴()(1)(1)()()f x f x f f x f x -=-⋅=-+=，∴()f x 是偶函数〔2〕设210x x >>，那么221111()()()()x f x f x f x f x x -=⋅-221111()()()()x x f x f f x f x x =+-= ∵210x x >>，∴211x x >，∴21()x f x 0>， 即21()()0f x f x ->，∴21()()f x f x >∴()f x 在(0,)+∞上是增函数〔3〕(2)1f =，∴(4)(2)(2)2f f f =+=，∵()f x 是偶函数∴不等式2(21)2f x -<可化为2(|21|)(4)f x f -<，又∵函数在(0,)+∞上是增函数，∴2|21|4x -<，解得：x <<即不等式的解集为( 例6函数9()log (8)af x x x=+-在[1,)+∞上是增函数，求a 的取值范畴 分析：由函数9()log (8)a f x x x =+-在[1,)+∞上是增函数能够得到两个信息：①对任意的121,x x ≤<总有12()()f x f x <；②当1x ≥时，80a x x+->恒成立解：∵函数9()log (8)a f x x x =+-在[1,)+∞上是增函数，∴对任意的121,x x ≤<有12()()f x f x <， 即919212log (8)log (8)a a x x x x +-<+-，得 121288a a x x x x +-<+-，即1212()(1)0a x x x x -+<， ∵120x x -<，∴1210,a x x +> 121,a x x >- 12a x x >-， ∵211x x >≥，∴要使12a x x >-恒成立，只要1a ≥； 又∵函数9()log (8)a f x x x=+-在[1,)+∞上是增函数，∴180a +->， 即9a <，综上a 的取值范畴为[- 另解：〔用导数求解〕令()8a g x x x =+-，函数9()log (8)a f x x x=+-在[1,)+∞上是增函数， ∴()8a g x x x =+-在[1,)+∞上是增函数，2()1a g x x'=+， ∴180a +->，且210a x +≥在[1,)+∞上恒成立，得1a -≤< 学生练习1判定函数f(x)=ax/(x 2-1) (a≠0)在区间(-1,1)上的单调性2函数f(x)=a(a x -a -x )/(a -2) (a>0,且a≠1)是R 上的增函数，求a 的取值范畴 3设函数f(x)=ax x -+12 (a>0),求a 的取值范畴，使函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调函数 4函数y=322-+x x 的递减区间是 5求y=log 07(x 2-3x+2)的单调区间及单调性6求y=8+2log 05x -log 052x 的单调区间及单调性7函数y=lncos(x/3+π/4)的递减区间是8函数y=log a (2-ax)在[0,1]上是减函数，那么a 的取值范畴是9奇函数f(x)在定义域[-2,2]上递减，求满足f(1-m)+f(1-m 2)<0的实数m 的取值范畴 10a>0,a≠1,有f(log a x)=xa x a )1()1(22-- (1)求f(x)的表达式，并证明f(x)在(-∞,+∞)上是增函数；(2)求证：关于任意大于1的自然数n,f(n)>n 成立 11写出函数f(x)=log 05|x 2-x -12|的单调区间 12比较下面三个数的大小：4316.0-, 2316.0-, 235.0- f(x)在[0,+∞〕上是增函数，假设关于任意实数x ，不等式f(kx)+f(x -x 2-2)<0恒成立，求实数k 的取值范畴 14q>0,且q≠1,数列{a n }是首项和公比都为q 的等比数列，设b n =a n log 5a n (n ∈N),(1)当q=5时，求数列{b n }的前n 项和S n ；(2) 在(1)的条件下，求nn n na S ∞→lim ; (3)在数列{b n }中，关于任意自然数n ，当m>n 时，都有b m >b n ,求q 的取值范畴 15甲乙两地相距S 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/小时，汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v(单位：千米/小时)的平方成正比，比例系数为b,固定部分为a 元(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/小时)的函数，并指出那个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 16函数f(x)=log 05|sinx -cosx|的单调递增区间是 单调递减区间是参考答案：1 a>0,f(x)递减；a<0,f(x)递增2 a ∈(0,1)⋃(2,+∞)3 a ≥1时，f(x)递减； 0<a<1时，存在两点x 1=0,x 2=2a/(1-a 2) ,f(x 1)=f(x 2)=1,故无单调性4〔(-∞,-3)])5在(-∞,1)上递增；在(2,+∞)上递减6在(0,1/2]上递增；在[1/2,+∞)上递减 7 [6k π-3π/4,6k π+3π/4] k ∈Z8 (1,2) 9 -1≤m<1 10 (1)f(x)=a(a x -a -x )/(a 2-1);(2)用数学归纳法：f(n)>n ⇒f(n)+1>n+1,证明f(n+1)>f(n)+1>n+1 11作图，在(-3,1/2]和(4,+∞)上递减，在(-∞,-3)和[1/2,4)上递增〕 12 4316.0->2316.0-> 235.0- 13 -22-1<k<22-1 14 (1)S n =)55(1614511--⨯++n n n ;(2)5/4; (3)q>1或q<1/2 15 (1)y=S(a/v+bv) v ∈(0,c];(2)假设b a ≤c,那么当v=ba 时，全程运输成本最小； 假设b a >c,那么y 在(0,c]上为减函数，从而当v=c 时，全程运输成本最小 16 [k π+3π/4,k π+5π/4) (k ∈Z)；(k π+π/4,k π+3π/4] (k ∈Z) 课前后备注。